《弹性力学》课程教学资源（习题与解答）弹性力学期末考试卷及答案

名词解释（共10分，每小题5分）1．弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。一：填空（共20分，每空1分）1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为LMT2；面力是2.作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为LMT：体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L"MT2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。二，绘图题（共10分，每小题5分）分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。tx图3-1共6页第1页

共 6 页 第 1 页 名词解释（共 10 分，每小题 5 分） 1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 一． 填空（共 20 分，每空 1 分） 1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关系式，它可以 分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。 2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为 L-2MT-2 ；面力是 作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号 的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内 力，应 力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。 3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于 远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起 的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内。 4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。 5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 、 单元分析 、 整体分析 三个主要步骤。 二． 绘图题（共 10 分，每小题 5 分） 分别绘出图 3-1 六面体上下左右四个面的正的应力分量和图 3-2 极坐标下扇面正的应力分量。 图 3-1

0y-Ix图3-2三.简答题（24分）1．（8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比Ⅱ等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2.（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于x平面，外力沿板厚均勾分布，只有平面应力分量，，T,存在，且仅为xy的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面外力沿z轴无变化，只有平面应变分量sx，6,，,存在，且仅为xy的函数。3.（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：√*Φ=0[(o, +mty), =J(在s=s.上)(2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，S=S。）：[(mo,+lt,),=J,第2页共6页

共 6 页 第 2 页 图 3-2 三． 简答题（24 分） 1. （8 分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分） 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律， 从而使物理方程成为线性的方程。 3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些 物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性 常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸 和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力 学的微分方程都简化为线性微分方程。 2. （8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分 别为： 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于 xy 平面，外 力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量 x , y , xy  存在，且仅为 x,y 的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于 xy 平面， 外力沿 z 轴无变化，只有平面应变分量 x  , y  , xy  存在，且仅为 x,y 的函数。 3. （8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 求解，应力函数 必须满 足哪些条件？ 答：（1）相容方程： 0 4    （2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，  s  s ）：     在 上      s s m l f l m f y s y xy x s x yx         

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。四。问答题(36)1．（12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚8=1）qxh/2FNh/2FMq11亨y图5-1解：在主要边界y=土h/2上，应精确满足下列边界条件：(a)(o,)N-/2 =-qx/l, (μa)-h/2 =0 ;=0,(tx=-9在次要边界x=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚8=1时，h(o1)rody=-FN,[h2(o)r-oydy=-M, (th(t)ody=-F)在次要边界x=1上，有位移边界条件：(u)-/=0，（)-/=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：(o.)dy=-Fy +gl/, m(o.)ro dy=-M-F,1-+h, [m(cmo dy=-F,-9l(T2（10分）试考察应力函数Φ=cxy，c>0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出2.图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。h20X1/211图5-2atoatdatd解：（1）相容条件：将=cxy代入相容方程0，显然满足。ax4axay2Oy4a?d=6cxy,0,=0,T,=-3cy2（2）应力分量表达式：.Oy2h3ch即上下边，面力为（o）（3）边界条件：在主要边界y：上，/2=±3chx，()2共6页第3页

共 6 页 第 3 页 （3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 四． 问答题(36) 1. （12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界 条件。（板厚  1） 图 5-1 解：在主要边界 y   h 2上，应精确满足下列边界条件：   qx l y h y    2  ，  0 2  yh yx  ；   0 2  yh  y ，  1 2 q y h yx     在次要边界 x  0 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚  1时，         2 2 0 h h x x FN  dy ，         2 2 0 h h  x x ydy M ，         2 2 0 h h S x  xy dy F 在次要边界 x  l 上，有位移边界条件：   0 xl u ，   0 xl v 。这两个位移边界条件可以改用三 个积分的应力边界条件代替：   dy F q l h h  x x N       2 2  0 1 ，   6 2 2 2 2 0 ql qlh ydy M F l S h h x x           ，   2 2 2 0 ql dy F h h S x xy         2. （10 分）试考察应力函数 3   cxy ，c  0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出 图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。 图 5-2 解：（1）相容条件：将 3   cxy 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4              x x y y ，显然满足。 （2）应力分量表达式： cxy y x 6 2 2       ， y  0， 2 3cy  xy   （3）边界条件：在主要边界 2 h y   上，即上下边，面力为  chx y h y 3 2     ，  2 2 4 3 ch y h xy    

在次要边界x=0.x=1上，面力的主失和主矩为(o.)/dy=6chdy=0(o.)rody= 0112L(o(ox)x-0ydy = 02[ 3cy'dy =-三h()dy=-{"()ody=-3y'dy=-h44弹性体边界上的面力分布及在次要边界x=0.x=上面力的主失量和主矩如解图所示。（14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力q，如图5-3所示，试求应力3.分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，=0）0Xb/2b/29pgty图5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，=0，(1）假设应力分量的函数形式。α，=0ad(2)推求应力函数的形式。此时，体力分量为J，=0,，=pg。将α，=0代入应力公式，ayad=0对x积分，得%=(t),(a)有，ay?ay(b)Φ = yf(x)+ fi(x)。其中f(x)，f(x)都是x的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程4=0，得a=0dx4dr这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的第4页共6页

共 6 页 第 4 页 在次要边界 x  0, x  l 上，面力的主失和主矩为                                     2 2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 2 0 4 3 0 0 h h h h x xy h h x x h h x x h c dy cy dy ydy dy                                                2 2 2 3 2 2 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 6 6 0 h h h h x xy h h h h x x l h h h h x x l h c dy cy dy clh ydy cly dy dy clydy    弹性体边界上的面力分布及在次要边界 x  0, x  l 上面力的主失量和主矩如解图所示。 3. （14 分）设有矩形截面的长竖柱，密度为  ，在一边侧面上受均布剪力 q, 如图 5-3 所示，试求应力 分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故 可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量  0  x ） 图 5-3 解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩 形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量  0  x ， (1) 假设应力分量的函数形式。  0  x (2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为 f x  0, f y  g 。将  0  x 代入应力公式 2 2 y x      有 0 2 2      y  x 对 x 积分，得 f x y    ， （a） yf x f x    1 。 （b） 其中 f x ， f x 1 都是 x 的待定函数。 (3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程 0 4   ，得     0 4 1 4 4 4   dx d f x dx d f x y 这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的 y 值都应该满足），可见它的

d*f(x)d*f.(x)2=0，两个方程要求：0.系数和自由项都必须等于零。dxsdx*f(x)= Ax3 + Bx? + Cx, f(x)= Dx3 + Ex?(c)f(x)中的常数项，f(x)中的一次和常数项已被略去，因为这三项在β 的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数Φ = y(Ax3 + Bx? +Cx)+ (Dx + Ex?)(d)（4）由应力函数求应力分量。a'd-xf,=0,(e)Oxay?ad-yf,=6Axy+2By+6Dx+2E-pgy,(f)aax?ad-3Ax?-2Bx-C.(g)Txy =axoy(5）考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边x=土b/2的主要边界条件：(o.)=±b/2 = 0, (g)-b/2 =0, (tg)s+b/z=g。将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：-3 Ab* +Bb-C =0(tm)(ox)=±b/2=0，自然满足；(h)=-b/24Ab"-Bb-C=q(t()=+b/2B=-得(j)由(h)(i)2b考察次要边界V=0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为(o) dx= +0(6Dx+2E)dx=2Eb= 0;得E=0(,)xdx= (6Dx+2E)xdx= b得D=0=0，2Ab3()d=-3Ax+1x-0-bC=0(k)=4bqC=9A=-由（h）（j)（k）得6,X将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：共6页第5页

共 6 页 第 5 页 系数和自由项都必须等于零。   0 4 4  dx d f x ，   0 4 1 4  dx d f x ，两个方程要求 f x  Ax  Bx  Cx 3 2 ，   3 2 f 1 x  Dx  Ex (c) f x 中的常数项， f x 1 中的一次和常数项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为 y 的一 次和常数项，不影响应力分量。得应力函数     3 2 3 2   y Ax  Bx  Cx  Dx  Ex (d) （4）由应力函数求应力分量。 0 2 2      x  x xf y  ， (e) yf Axy By Dx E gy x  y  y           6 2 6 2 2 2 ， (f) Ax Bx C x y xy           3 2 2 2  . (g) (5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边 x  b 2的主要边界条件：   0 2   x xb ，  0 2  xb xy  ，  q x b xy   2  。 将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：   0 2   x xb ，自然满足；   0 4 3 2 2       Ab Bb C x b xy  (h)   Ab Bb C q x b xy       2 2 4 3  (i) 由（h）（i） 得 b q B 2   （j） 考察次要边界 y  0 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为   6 2  2 0 2 2 0 2 2            dx Dx E dx Eb b b y b b  y ； 得 E  0     0 2 6 2 3 2 2 0 2 2            Db xdx Dx E xdx b b y b b  y ， 得 D  0   0 4 3 3 2 2 2 0 2 2                      bC Ab x C dx b q dx Ax b b y b b xy  （k） 由（h）（j）（k）得 2 b q A   , 4 q C  将所得 A、B、C、D、E 代入式（e）（f）（g）得应力分量为：

6%y-2y0,=0,0,=-6%xfg=3%x+%x-4y-pgy,62D4b共6页第6页

共 6 页 第 6 页  0  x ， y gy b q xy b q  y      2 6 ， 4 3 2 2 q x b q x b q  xy   