2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案（绝密试题）一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-'MT2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量,=100MPa，,=50MPa，T,=10/50MPa，则主应力,=150MPa，,=0MPa，α,=3516'。8、已知一点处的应力分量，,=200MPa，,=0MPa，T,=-400MPa，则主应力o,=512MPa,0,=-312 MPa,α,=-37°57'_。9、已知一点处的应力分量，,=-2000MPa，,=1000MPa，T,=-400MPa，则主应力O,=1052MPa,2=-2052MPa，α,=-82°32'_。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分，15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的，16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为1
1 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L -1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量 x =100 MPa， y =50 MPa， xy =10 50 MPa，则主应力 1= 150MPa， 2= 0MPa，1= 35 16 。 8、已知一点处的应力分量， x =200 MPa， y =0 MPa， xy =−400 MPa，则主应力 1= 512 MPa， 2=-312 MPa，1=-37°57′。 9、已知一点处的应力分量， x =−2000 MPa， y =1000 MPa， xy =−400 MPa，则主应力 1= 1052 MPa， 2= -2052 MPa，1=-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相 同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=l；在其他结点Ni=0及ZN=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况：二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内打“／”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。(/)5、如果某一问题中，.=t=t,=0，只存在平面应力分量,，,，y，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（/）6、如果某一问题中，6.==,=0，只存在平面应变分量6，6，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（V）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（V）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（V）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（/）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（V）四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1),=Ax+By，,=Cx+Dy，T,=Ex+Fy;(2),=A(x2+y2),,=B(x2+y),T=Cxy:其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程[00,0=0axay(aa)；（2）在区域内的相容方程（J0+0,0；（3）在边界上的应力00,0T=0Layax[(lo, +mTμ),=,(s)边界条件（4）对于多连体的位移单值条件。(mo,+/t)=f,(s)（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此2
2 了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时， 也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1；在其他结点 Ni=0 及∑Ni=1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小， 以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移 和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。 （√） 5、如果某一问题中， z = zx = zy =0 ，只存在平面应力分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√） 6、如果某一问题中， z = zx = zy =0 ，只存在平面应变分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ） 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1） Ax By x = + ， Cx Dy y = + ， Ex Fy xy = + ； （2） ( ) 2 2 A x y x = + ， ( ) 2 2 B x y y = + ， Cxy xy = ； 其中，A，B，C，D，E，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx ；（2）在区域内的相容方程 ( ) 0 2 2 2 2 + = + x y x y ；（3）在边界上的应力 边界条件 ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = m l f s l m f s y s y xy x s x yx ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此
外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,=-Oxy22+C,x3，,=-C2xy2，=-C,y3-C,y，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数Ci，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程[00, fota=0xay00,ot=0dy"ax得-Oy?+3C,x2-3C,y2-C,x?=0(-3C2x)-2C,x)=0即[(3C, -C, )x2 -(Q+3C, )y2=0[(3C,+2C,)xy=0由x，y的任意性，得[3C,-C,=0Q+3C,=03C,+2C,=0C-0gC=9C2由此解得，6323、已知应力分量,=-q，,=-q，t,=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量,=-q，,=-q，t,=0，代入平衡微分方程00, ot+X=0axy00, oT+Y=0dyax可知，已知应力分量,=-9，,=-q，T,=0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：3
3 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 3 1 2 Qxy C x x =− + ， 2 2 2 3C xy y =− ， C y C x y xy 2 3 3 =− 2 − ，体力不计，Q 为 常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx 得 − − = − + − − = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 3 2 2 2 1 2 C xy C xy Qy C x C y C x 即 ( ) ( ) ( ) + = − − + = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 2 2 1 3 C C xy C C x Q C y 由 x，y 的任意性，得 + = + = − = 3 2 0 3 0 3 0 2 3 2 1 3 C C Q C C C 由此解得， 6 1 Q C = ， 3 2 Q C =− ， 2 3 Q C = 3、已知应力分量 x =−q， y =−q ， xy =0 ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和 相容方程。 解：将已知应力分量 x =−q， y =−q ， xy =0 ，代入平衡微分方程 + = + + = + 0 0 Y y x X x y y xy x yx 可知，已知应力分量 x =−q， y =−q ， xy =0 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略 不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程：
a(o,-Vo)=2(1+VvoH1axayOyax?将已知应力分量,=-9，,=-q，=0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：a220ta2ay2xl-Vyax?1-vaxoy1-V将已知应力分量,=-q，,=-q，=0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1) 8,=Axy, 8,=By3, Y,=C-Dy?;(2) 6,=Ay2,8,=Bxy, Yy=Cxy;(3)6,=0,6,=0,Y=Cxy;其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即'e.+0'6y_0"1may2ax?axoy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A+2By=C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则s,=0，8,=0，=0（1分）。5、证明应力函数β=by?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b0）。h/240h/21/21/21解：将应力函数β=by?代入相容方程X
4 y x x y xy x y y x − = + − + 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2(1 ) 将已知应力分量 x =−q， y =−q ， xy =0 代入上式，可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程： y x x y xy x y y x − = − − + − − 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ) ( 1 ( 将已知应力分量 x =−q， y =−q ， xy =0 代入上式，可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 （1） Axy x = ， 3 By y = ， 2 C Dy xy = − ； （2） 2 Ay x = ， Bx y y 2 = ， Cxy xy = ； （3） x =0， y =0， Cxy xy = ； 其中，A，B，C，D 为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 y x x y x y xy = + 2 2 2 2 2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。 （2） 2A+2By=C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 x =0 ， y =0， xy =0 （1 分）。 5、证明应力函数 2 =by 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， b0 ）。 解：将应力函数 2 =by 代入相容方程 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
atp+2atpatp_Yax4axay2ay4可知，所给应力函数(0=bv?能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为o°Φ=2b, 0,=0,Ty=0.Oy?ax?axoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h1=0, m=-1,了,=-(t,)h=0,J,=-(o,)上边，=01=2h[=0,m=l,丁=(t,)h=0，了,=(o,)±=0;下边，21[=-1,m=0,了,=-(α)_/=-2b,J,=-(t,)/=0 ;左边，x:2'1右边，[=l, m=0,J,=(o,) =2b,f,=(t) =0 。2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数0=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数β=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a+0）。h/2x0h/21/21/2fy解：将应力函数=axy代入相容方程*'+2-0'* +'=-0ax4"axay2ay可知，所给应力函数β=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为5
5 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 2 =by 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 b y x 2 2 2 = = ， 0 2 2 = = x y ， 0 2 = =− x y xy 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， ( ) 0 2 =− = =− h y x xy f ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， ( ) 0 2 = = = h y x xy f ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 =− =− =− ， ( ) 0 2 =− = =− l x y xy f ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 = = = ， ( ) 0 2 = = = l x y xy f 。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此， 应力函数 2 =by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数 =axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， a0 ）。 解：将应力函数 =axy 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 =axy 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
apa?oao-0，Tm==0,,"ox2aay2xoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：hI=0,m--1,了--(t,)-=a,J,=-(o,)-=0;上边，2 h下边，[=0,m=l,丁=(t,)=-a,了,=(o,)_±=0;21左边，[=-1,m=0,了,=-(α)/=0,J,=-(t,)=a;21右边，[=l,m=0,了,=(o)_,=0,,=(t,)=-a。2可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力α，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数P=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，0即设,=0。由此可知b=0pgqO."ay?将上式对v积分两次，可得如下应力函数表达式p(x,y)-f(x)y+f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得tyd*f(x) d"f.(x)-0dxtdx4这是V的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的V值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即d' f(x)=0,d' f(x)=0dx4dx4这两个方程要求fi(x)=Ax*+Bx*+Cx+I ,f(x)=Dx3+Ex?+Jx+K6
6 O x y b q g 0 2 2 = = y x ， 0 2 2 = = x y ， a x y xy =− =− 2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， f h a y x =− xy = =− 2 ( ) ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， f h a y x = xy =− = 2 ( ) ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， ( ) 0 2 =− = =− l x x x f ， f l a x y =− xy = =− 2 ( ) ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， ( ) 0 2 = = = l x x x f ， f l a x y = xy =− = 2 ( ) 。 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a。因此，应力函数 =axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分 量。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压， 即设 x =0 。由此可知 0 2 2 = = y x 将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式 ( , ) ( ) ( ) 1 2 x y = f x y+ f x 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0 ( ) ( ) 4 2 4 4 1 4 + = dx d f x dx d f x y 这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它）， 可见它的系数和自由项都应该等于零，即 0 ( ) 4 1 4 = dx d f x ， 0 ( ) 4 2 4 = dx d f x 这两个方程要求 f x =Ax +Bx +Cx+I 3 2 1 ( ) ， f x =Dx +Ex +Jx+K 3 2 2 ( )
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得P=y(Ax3+Bx?+Cx)+Dx+Ex?对应应力分量为apaayap=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pg)6ax?ap-=-3Ax?-2Bx-CTyaxoy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，[=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有-(t xy) =0=C=0右边，x=b，[=l，m=0，沿y方向的面力为g，所以有(t,）x=b=-3Ab2-2Bb=q上边，y=0，l=0，m=-1，没有水平面力，这就要求t，在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即J"(tg)y dx=0将t的表达式代入，并考虑到C=0，则有[(-3Ax-2Bx)dx=-Ax3-Bx3|8=-Ab’-Bb2-0而[（t,）=o-0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求,在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即f(o,), dx=0,(o,)y=0 xdx=0将，的表达式代入，则有[(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex=3Db?+2Eb=0(6Dx+2E)xd-2Dx*+Ex2|8=2Db'+Eb2-0由此可得q，B=%, C=O, D=0, E=0不b?b应力分量为7
7 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 3 2 3 2 =y(Ax +Bx +Cx)+Dx +Ex 对应应力分量为 0 2 2 = = y x y Ax B Dx E gy x y = + + + − = (6 2 ) 6 2 2 2 Ax Bx C x y xy =− − − =− 3 2 2 2 以上常数可以根据边界条件确定。 左边， x=0，l=−1，m=0 ，沿 y 方向无面力，所以有 −( xy ) x=0 =C=0 右边， x=b，l=1，m=0 ，沿 y 方向的面力为 q，所以有 ( xy ) x=b=−3Ab −2Bb=q 2 上边， y=0， l=0，m=−1，没有水平面力，这就要求 xy 在这部分边界上合成的主 矢量和主矩均为零，即 ( ) 0 0 0 = = dx y b xy 将 xy 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有 ( 3 2 ) 0 3 2 0 3 2 0 2 − − =− − =− − = Ax Bx dx Ax Bx Ab Bb b b 而 ( ) 0 0 0 0 = = dx y b xy 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 y 在这部 分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 ( ) 0 0 0 = = dx y b y ， ( ) 0 0 0 = = xdx y b y 将 y 的表达式代入，则有 (6 2 ) 3 2 3 2 0 2 0 2 0 + = + = + = Dx E dx Dx Ex Db Eb b b (6 2 ) 2 2 0 3 2 0 3 2 0 + = + = + = Dx E xdx Dx Ex Db Eb b b 由此可得 2 b q A=− ， b q B= ，C=0， D=0， E=0 应力分量为
1-3G,=2g-pgy,T,=g,=0,7hlhhh虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离1=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为av%，其中√是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，f.fuaxay+"+V,ap试导出相应的相容方程。OTay2Ox2axdy证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量α，，，{y应当满足平衡微分方程[aootxav=0axayax(1分)dgaty_av-0[ayaxay还应满足相容方程(af. af,a20（对于平面应力问题）axOxay(afaf,a-a（对于平面应变问题）0+0ax?Oy?1-μaxay并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为otarVaaxayaT=0a-Va.oyax这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为(0,-V)axa根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得aA0-V_0ATyx"oxay同样，将第二个方程改写为8
8 x =0 , gy b x b y y q − =2 1−3 , = 3 −2 b x b x xy q 虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远 离 y=0 处这一结果应是适用的。 8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 x V f x =− ， y V f y =− ，其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为， V y x + = 2 2 ， V x y + = 2 2 ， x y xy =− 2 ，试导出相应的相容方程。 证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 x ， y ， xy 应当满足平衡微分方程 = − + = − + 0 0 y V y x x V x y y xy x yx （1 分） 还应满足相容方程 ( ) ( ) + + =− + + y f x f x y x y x y 1 2 2 2 2 （对于平面应力问题） ( ) + − + =− + y f x f x y x y x y 1 1 2 2 2 2 （对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1 分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为 ( ) ( ) = − + = − + 0 0 x V y y V x xy y yx x 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 ( ) ( ) x yx y V x − − = 根据微分方程理论，一定存在某一函数 A（x，y），使得 y A x V − = ， x A yx − = 同样，将第二个方程改写为
a）（1分）Oy9可见也一定存在某一函数B（x，y)，使得0,-V_OBaBTr"yax由此得OA_OBaxay因而又一定存在某一函数(xy)，使得，B=00A-00ayax代入以上各式，得应力分量ap.a'p.ap+V,+Va.aTxyoy2yax?yaxay为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数(xy）必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得a2a2Yag.1apa2a2（1+）ax?ax2ax2Oy?y2OvaaYaoao0ax2v? oy?ax?(ax?avH简写为V*=-(1-μ)V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得(o00+0+vatar21ax?oy? ay?"Q20-0a2+axax2avh简写为1-2V0=1-μ9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为β，试用纯三次的应力函数求解。9
9 ( ) ( ) y yx x V y − − = （1 分） 可见也一定存在某一函数 B（x，y），使得 x B y V − = ， y B yx − = 由此得 y B x A = 因而又一定存在某一函数 (x,y) ，使得 y A = ， x B = 代入以上各式，得应力分量 V y x + = 2 2 ， V x y + = 2 2 ， x y xy =− 2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数 (x,y) 必须满足一定的方程， 将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得 ( ) V x y V x V x y y + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) V x y V x y y x x y + + + + =− + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 简写为 V 4 2 =−(1−) 将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得 V x y V x V x y y + − = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 V x y V x y y x x y + − + + =− + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 简写为 V 4 2 1 1 2 − − =− 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求 解
VC0解：纯三次的应力函数为p=ax +bx? y+cxy +dy相应的应力分量表达式为apa"pap-xf,=2cx+6dy,0,-2bx-2cy-yf,=6ax+2by-pgy,a.t.ay2Ox2axoy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y=0，l=0，m=-1，没有水平面力，所以有-(ty),=0=2bx=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-(α,)y=0=6ax=0对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为,=2cx+6dy,,=-pgy, T=-2cy（元）斜面，y=xtanα，[=cos=-sinα，m=cos(-α)cosα，没有面力，所以有+α（2(lo,+mtx),ysxtane =0(mg,+lt=0由第一个方程，得-(2cx+6dxtanα)sinα-2cxtanacosα=-4cxsinα-6dxtanαsinα=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-4c-6dtana-0由第二个方程，得2cxtanasinα-pgxtanaαcosa=2cxtanaαsinaα-pgxsinα=010
10 解：纯三次的应力函数为 3 2 2 3 =ax +bx y+cxy +dy 相应的应力分量表达式为 xf cx dy y x x 2 6 2 2 − = + = , yf ax by gy x y y − = + − = 6 2 2 2 , bx cy x y xy 2 2 2 =− − =− 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数， 是否能满足应力边界条件。 上边， y=0，l=0，m=−1 ，没有水平面力，所以有 −( xy ) y=0 =2bx=0 对上端面的任意 x 值都应成立，可见 b=0 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 −( y ) y=0 =6ax=0 对上端面的任意 x 值都应成立，可见 a=0 因此，应力分量可以简化为 cx dy x =2 +6 ， gy y =− ， cy xy =−2 斜面， y=xtan ， sin 2 cos =− l= − + ，m=cos(−)=cos ，没有面力，所以有 ( ) ( ) + = + = = = 0 0 tan tan y x y xy y x x yx m l l m 由第一个方程，得 −(2cx+6dxtan)sin−2cxtancos=−4cxsin−6dxtansin=0 对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 −4c−6dtan=0 由第二个方程，得 2cxtansin−gxtancos=2cxtansin−gxsin=0 O x y g