《流体力学》课程教学资源（PPT讲稿）第4章 旋涡理论和势流理论

山东理工大学SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY旋涡理论和势流理论4流体微团的运动分析有旋运动和无旋运动理想流体运动微分方程欧拉积分和伯务利积分旋涡的基本概念速度环流和斯托克斯定理旋涡运动的基本定理>二元旋涡的速度分布和压强分布速度势和流函数>几种简单的平面势流及其叠加>直均流绕圆柱体无环流动和有环流动

山东理工大学 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4 旋涡理论和势流理论 ➢ 流体微团的运动分析 ➢ 有旋运动和无旋运动 ➢ 理想流体运动微分方程 ➢ 欧拉积分和伯努利积分 ➢ 旋涡的基本概念 ➢ 速度环流和斯托克斯定理 ➢ 旋涡运动的基本定理 ➢二元旋涡的速度分布和压强分布 ➢速度势和流函数 ➢几种简单的平面势流及其叠加 ➢直均流绕圆柱体无环流动和有环流动

山东理工大学旋涡理论和SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY势流理论4.1流体微团的运动分析.流体与刚体的主要区别在于它有流动性，极易变形O转动变形流体微团的运动可以分为三部分：平移变形平移转动2线变形角变形

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 4 . 1 流体微团的运动分析 流体与刚体的主要区别在于它有流动性，极易变形。 流体微团的运动可以分为三部分：平移 转动 变形 平移 转动 变形 线变形 角变形

旋涡理论和山东理工大学SHANDONG UNIVERSITYOFTECHNOLOGY势流理论t+△tCB*YO这个规律称为流体微团运动的亥姆霍兹速度分解定理

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 o x y t t+△t B C M A' B' C' M A ' 这个规律称为流体微团运动的亥姆霍兹速度分解定理

旋涡理论和山东理工大学4SHANDONG UNIVERSITY OFTECHNOLOGY势流理论说明·流体具有流动性，因此即使在一个很小的力的作用下，只要时间足够长，流体微团均可发生很大的变形。·分析流体微团变形运动时，不是看变形量的大小，而是看变形速度的大小。·分析流体微团运动的基本量，引入线变形速度、剪变形角速度和平均旋转角速度

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 • 流体具有流动性，因此即使在一个很小的力的作用下，只 要时间足够长，流体微团均可发生很大的变形。 • 分析流体微团变形运动时，不是看变形量的大小，而是看变 形速度的大小。 •分析流体微团运动的基本量，引入线变形速度、剪变形角速 度和平均旋转角速度。 说 明

旋涡理论和山东理工大学4SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY势流理论线变形速度d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过△t在t时刻a、b、c、时刻后由b点的 v的作用下，会产生线变形。和d点dxayaxowydyavyovydxdy+yy+'y+yaxayovadyov,dyvx8yOyOvy-dydtaxayayOv,-dxaxVyVaedxbabVOvsddtaxax+X

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过Δt 时刻后由b点的 和d点 的作用下，会产生线变形。 x a b y d c vx vy a’ b’ d c’ ’ dx x vx   dy y vy   dy y v v y y   + dx x v dy y v v y y y   +   + dy y v v x x   + dx x v v x x   + dx x v v y y   + dy y v dx x v v x y x   +   + dydt y vy   dxdt x vx   线变形速度

旋涡理论和山东理工大学4SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY势流理论OvxdxdtOVxOx8xaxdxdtovy三个方向的线变形6yyO6.Oz对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不发生改变：Ovowou不可压缩流体的8x+8,+8.=0=0axOz连续性方程Oy

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 三个方向的线变形 对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不发生改变： + + = 0 x y z    = 0   +   +   z w y v x u z v y v x v dxdt dxdt x v z z y y x x x   =   =   =   =    不可压缩流体的 连续性方程

旋涡理论和山东理工大学4SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY势流理论剪变形角速度ovEavydy讨论b点的dx和d点的作用，经时间dt后，由于这两个ayax使原图形发生角变形。速度增量，owydyavovedxdyyy+V-axyoyOvx dydtoyovrdyowsdx+OvdyyCdV+COyayaxdavydxbaxVyAatVxovydxdt.oyedxβaVItaxaxx

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 剪变形角速度 讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt后，由于这两个 速度增量，使原图形发生角变形。 x a b y d c vx vy b’ a’ c’ d’ Δα Δβ dx x v   y dy y vx   dy y v v x x   + dx x v vy   + y dy y v v y y   + dx x v dy y v v y y y   +   + dx x v vx   + x dy y v dx x v v x x   +   + x dydt y vx   dxdt x v   y

旋涡理论和山东理工大学4SHANDONG UNIVERSITY OFTECHNOLOGY势流理论ou didyavdidxavouayOxβ~ tan(β)= -dtAα= tan(Aα)=dtaxdxdyayavovydtovyayax(Aα+β)1avxY:+2ax2dt2dtay三个平面内的1(ovov20zax剪变形角速度(ovOvYx2Ozay剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半 三个平面内的 剪变形角速度 z  y  x  ( ) dt y u dy dtdy y u   =     tan  = ( ) d t x v d x dtdx x v   =     tan  = ( )           +   =         +   =           +   =           +   =  +  = z v y v x v z v x v y v dt dt x v y v dt z z x z x y x y 2 1 2 1 2 1 2 2  

旋涡理论和山东理工大学SHANDONG UNIVERSITY OFTECHNOLOGY势流理论平均旋转角速度流体微团的旋转是指过同一点若干条直线旋转的平均值，其平均值等于过该点的直角角平分线转过的角度。ovsdydtovawydxdyV+oyaxCay1ovydy:oyovCOVTddxdyd:ovxdyNsaxayVbdyydxvAadxdtVyaxVxaxAβabavedxV.+ox

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 平均旋转角速度 流体微团的旋转是指过同一点若干条直线旋转的平均值，其平均 值等于过该点的直角角平分线转过的角度。 d’ b’ a’ c’ Δβ Δα a b d c vx vy dy y v v y y   + dx x v vx   + x dy y v vx   x - dx x v v y y   + dx x v dy y v v y y y   +   + dy y v dx x v v x x   +   x - dydt y v   x - dxdt x vy  

山东理工大学旋涡理论和4SHANDONGUNIVERSITY OF TECHNOLOGY势流理论平均旋转角速度：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以表示。duOax1@2矢量表达(Aα +β)0ou2dt0=oi+o,j+o.kaz2owa平均旋转角速度是流体微团中过某一点无限多条直线旋转角速度的平均值

山东理工大学 4 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 旋涡理论和 势流理论 平均旋转角速度：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以ω表示。 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 z y x v u x y u w z x w v y z      = −     = −     = −   ( ) 矢量表达 dt z 2     +  = → → → → = i + j+ k  x y z 平均旋转角速度是流体微团中过某一点无限多条直线旋转角 速度的平均值