2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-"MT2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性，6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。和2、平面问题分为平面应力问题平面应变问题的正负号规6、在弹性力学中规定，切应变以时为正，。时为负，与定相适应。直角变小变大切应力7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。孔附近的应力高度集中应力集中的局部性四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1) ,=Ax+By,,=Cx+Dy,T,=Ex+Fy;(2) 0,=A(x2+y2),,=B(x+y),T=Cxy;1
1 2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L -1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 2、平面问题分为 和 。 平面应力问题 平面应变问题 6、在弹性力学中规定，切应变以 时为正， 时为负，与 的正负号规 定相适应。 直角变小 变大 切应力 7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远 大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 ，由于孔口存在 而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内。 孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1） Ax By x = + ， Cx Dy y = + ， Ex Fy xy = + ； （2） ( ) 2 2 A x y x = + ， ( ) 2 2 B x y y = + ， Cxy xy = ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程[ao, otn=0axy(a?a；（2）在区域内的相容方程(o,+,0；（3）在边界上的应力00, 0=0(ax?ay?ayax[(lo +mtu),= (s)边界条件（4）对于多连体的位移单值条件。[(mo,+It,),=J,(s)（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,=-Qxy2+C,x3，,=--Czxy，,=-C23-Cxy，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程[a0, fo =0axay00, 0tg=0ayax得-Oy2+3C,x2-3C,y?-C,x2=0-3C,xJ-2C,xy=0即[(3C,-C, )x? -(O+3C,)y2 =0[(3C,+2C,)x)=0由x，y的任意性，得[3C,-C,=0+3C,=03C,+2C,=0QQ.g由此解得，C.C,,c26*234、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1) 8,=Axy,8,=By,Ym=C-Dy;2
2 其中，A，B，C，D，E，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx ；（2）在区域内的相容方程 ( ) 0 2 2 2 2 + = + x y x y ；（3）在边界上的应力 边界条件 ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = m l f s l m f s y s y xy x s x yx ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 3 1 2 Qxy C x x =− + ， 2 2 2 3C xy y =− ， C y C x y xy 2 3 3 =− 2 − ，体力不计，Q 为 常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 = + = + 0 0 y x x y y xy x yx 得 − − = − + − − = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 3 2 2 2 1 2 C xy C xy Qy C x C y C x 即 ( ) ( ) ( ) + = − − + = 3 2 0 3 3 0 2 3 2 2 2 1 3 C C xy C C x Q C y 由 x，y 的任意性，得 + = + = − = 3 2 0 3 0 3 0 2 3 2 1 3 C C Q C C C 由此解得， 6 1 Q C = ， 3 2 Q C =− ， 2 3 Q C = 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 （1） Axy x = ， 3 By y = ， 2 C Dy xy = − ；
(2)6=Ay2，8y=Bxy，=Cxy;(3)6,=0,8,=0,Y=Cxy;其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即06x0'0'ay2ax?axoy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A+2By=C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则s,=0，6,=0，=0（1分）。5、证明应力函数0=bv能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b=0）。h/2x0h/21/21/2+ty解：将应力函数Q=by2代入相容方程'0+2-*'0 +*9-0ax4axay2Qy4可知，所给应力函数=by?能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为0'Φ=2b,0,"0x*00-0, Ty000."oyaxoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：y=-号, 1-0, m-1, J,--(g)±=0, ,=-(o)-=0;上边，J2h下边，[=0,m=l,=(t,) h=0,了,=(o,)=0;2-243
3 （2） 2 Ay x = ， Bx y y 2 = ， Cxy xy = ； （3） x =0， y =0， Cxy xy = ； 其中，A，B，C，D 为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 y x x y x y xy = + 2 2 2 2 2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。 （2） 2A+2By=C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 x =0 ， y =0， xy =0 （1 分）。 5、证明应力函数 2 =by 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， b0 ）。 解：将应力函数 2 =by 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 2 =by 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 b y x 2 2 2 = = ， 0 2 2 = = x y ， 0 2 = =− x y xy 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， ( ) 0 2 =− = =− h y x xy f ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， ( ) 0 2 = = = h y x xy f ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
左边，[=-1,m=0,=-(α,)/=-2b,J,=-(t,)=021，[=l,m=0,了=(α)=2b,了,=(t),=0。右边，2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数0=bv?能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，at0）。h/2X0h/21/21/2y解：将应力函数=axy代入相容方程'0+2 0'° +°-0ax4Oxy2Oy4可知，所给应力函数Q=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为000,0,0x'@=0,TayaorQy?axoy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h上边，[=0,m=-1,了=--(t,)h=a,了,=-(α,)-,=0 ;122 .hI=0,m=l,了=(t,)±=-a，了,=(o,)±=0 ;下边，21[=-1,m=0,J,=-(o,)/=0,J,=-(t)左边，=a:21，[=l,m=0,了,=(α)μ,=0,J,=(t)_,=-a。右边，24
4 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 =− =− =− ， ( ) 0 2 =− = =− l x y xy f ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， f l b x x ( x ) 2 2 = = = ， ( ) 0 2 = = = l x y xy f 。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此， 应力函数 2 =by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数 =axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题（体力不计， a0 ）。 解：将应力函数 =axy 代入相容方程 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 可知，所给应力函数 =axy 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 0 2 2 = = y x ， 0 2 2 = = x y ， a x y xy =− =− 2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为： 上边， 2 h y=− ，l=0，m=−1， f h a y x =− xy = =− 2 ( ) ， ( ) 0 2 =− = =− h y y y f ； 下边， 2 h y= ，l=0，m=1， f h a y x = xy =− = 2 ( ) ， ( ) 0 2 = = = h y y y f ； 左边， 2 l x=− ，l=−1，m=0， ( ) 0 2 =− = =− l x x x f ， f l a x y =− xy = =− 2 ( ) ； 右边， 2 l x= ，l=1，m=0， ( ) 0 2 = = = l x x x f ， f l a x y = xy =− = 2 ( ) 。 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力9，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数の=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，O即设,=0。由此可知b00-0pgqO1ay2将上式对>积分两次，可得如下应力函数表达式p(x,y)-f(x)y+f2(x)TL0000将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得tyaf() df()-0dx4dx4这是V的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的V值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即d'f(x)=0,d' f(x)-0dxdx4这两个方程要求fi(x)=Ax3+Bx2+Cx+I ,f(x)=Dx +Ex2+Jx+K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得β=y(Ax+Bx*+Cx)+Dx3+Ex?对应应力分量为aaOyap=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgy61ax?a"=-3.Ax2-2Bx-CTyaxoy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，[=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有-(t xy)x=0=C=05
5 O x y b q g 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a。因此，应力函数 =axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分 量。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压， 即设 x =0 。由此可知 0 2 2 = = y x 将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式 ( , ) ( ) ( ) 1 2 x y = f x y+ f x 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0 ( ) ( ) 4 2 4 4 1 4 + = dx d f x dx d f x y 这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它）， 可见它的系数和自由项都应该等于零，即 0 ( ) 4 1 4 = dx d f x ， 0 ( ) 4 2 4 = dx d f x 这两个方程要求 f x =Ax +Bx +Cx+I 3 2 1 ( ) ， f x =Dx +Ex +Jx+K 3 2 2 ( ) 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 3 2 3 2 =y(Ax +Bx +Cx)+Dx +Ex 对应应力分量为 0 2 2 = = y x y Ax B Dx E gy x y = + + + − = (6 2 ) 6 2 2 2 Ax Bx C x y xy =− − − =− 3 2 2 2 以上常数可以根据边界条件确定。 左边， x=0，l=−1，m=0 ，沿 y 方向无面力，所以有 −( xy ) x=0 =C=0
右边，x=b，[=l，m=0，沿y方向的面力为g，所以有(tx)x=6=-3Ab2-2Bb=q上边，y=0，1=0，m=-1，没有水平面力，这就要求t，在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即"(t,) = dx=-0将t的表达式代入，并考虑到C=0，则有[(-3 Ax2-2Bx)dx=-Ax3-Bx?|=- Ab3 -Bb2=0而[（t）=o-0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求α，在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即I(o,), dx=0,[(o,)y=0 xdx=0将，的表达式代入，则有(6Dx+2E)dx=3Dx*+2Ex/=3Db2+2Eb=0[(6Dx+2E)xd=2Dx3+Ex2|6=2D63+Eb2=0由此可得q，B=，C=0，D=0，E=0A=b2b应力分量为10,=0,g.=2gLh虽然上述结果并不严格满足上端面处（0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为p，试用纯三次的应力函数求解。O解：纯三次的应力函数为6
6 右边， x=b，l=1，m=0 ，沿 y 方向的面力为 q，所以有 ( xy ) x=b=−3Ab −2Bb=q 2 上边， y=0， l=0，m=−1 ，没有水平面力，这就要求 xy 在这部分边界上合成的主 矢量和主矩均为零，即 ( ) 0 0 0 = = dx y b xy 将 xy 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有 ( 3 2 ) 0 3 2 0 3 2 0 2 − − =− − =− − = Ax Bx dx Ax Bx Ab Bb b b 而 ( ) 0 0 0 0 = = dx y b xy 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 y 在这部 分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 ( ) 0 0 0 = = dx y b y ， ( ) 0 0 0 = = xdx y b y 将 y 的表达式代入，则有 (6 2 ) 3 2 3 2 0 2 0 2 0 + = + = + = Dx E dx Dx Ex Db Eb b b (6 2 ) 2 2 0 3 2 0 3 2 0 + = + = + = Dx E xdx Dx Ex Db Eb b b 由此可得 2 b q A=− ， b q B= ，C=0， D=0， E=0 应力分量为 x =0 , gy b x b y y q − =2 1−3 , = 3 −2 b x b x xy q 虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远 离 y=0 处这一结果应是适用的。 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求 解。 解：纯三次的应力函数为 O x y g
p=ax3+bxy+cxy2+dy相应的应力分量表达式为apapap-2bx-2cy-xf,=2cx+6dy,,-yf,=6ax+2by-pgy,Tyaxay2Jax?axoy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数是否能满足应力边界条件。上边，y=0，[=0，m=-1，没有水平面力，所以有-(t)y=0=2bx=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-(,)r=0=6ax=0对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为,=2cx+6dy，,=-pgy,T,=-2cy（元斜面，y=xtanα，[=cos=-sinα，m=cos(-α)-cosα，没有面力，所以有+α（2(lo,+mt)y=xtana =0(mo,+ltm=0由第一个方程，得-(2cx+6dxtanα)sinα-2cxtanaαcosα=-4cxsinα-6dxtanasinα=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-4c-6dtanα=0由第二个方程，得2crtanαsinα-pgxtanαcosα=2cxtanαsinα-pgxsinα=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctanα-pg=0（1分）由此解得pgcotα（1分），d=Pgcota从而应力分量为,=pgrcota-2pgycot α, ,=-pgy, Ty,=-pgycota7
7 3 2 2 3 =ax +bx y+cxy +dy 相应的应力分量表达式为 xf cx dy y x x 2 6 2 2 − = + = , yf ax by gy x y y − = + − = 6 2 2 2 , bx cy x y xy 2 2 2 =− − =− 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数， 是否能满足应力边界条件。 上边， y=0，l=0，m=−1 ，没有水平面力，所以有 −( xy ) y=0 =2bx=0 对上端面的任意 x 值都应成立，可见 b=0 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 −( y ) y=0 =6ax=0 对上端面的任意 x 值都应成立，可见 a=0 因此，应力分量可以简化为 cx dy x =2 +6 ， gy y =− ， cy xy =−2 斜面， y=xtan ， sin 2 cos =− l= − + ，m=cos(−)=cos ，没有面力，所以有 ( ) ( ) + = + = = = 0 0 tan tan y x y xy y x x yx m l l m 由第一个方程，得 −(2cx+6dxtan)sin−2cxtancos=−4cxsin−6dxtansin=0 对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 −4c−6dtan=0 由第二个方程，得 2cxtansin−gxtancos=2cxtansin−gxsin=0 对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 2ctan−g=0 （1 分） 由此解得 cot 2 1 c= g （1 分）， 2 cot 3 1 d=− g 从而应力分量为 2 gxcot 2 gycot x = − , gy y =− , xy =−gycot
=。根据力的平衡，固定端对梁的约束设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tanα7反力沿x方向的分量为0，沿方向的分量为-pglh。因此，所求α，在这部分边界上2合成的主矢应为零，T，应当合成为反力一pgh。["(α)dy-["(pglcota-2pgycot’α )ly=pglhcota-pgh’cot" α=0o)h-Pgln可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为P，液体的密度为Pz，试求应力分量。VX食解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与pig成正比（g是重力加速度）；另一pig028部分由液体压力引起，应当与p,g成正比。此外，每一部分还与α，x，y有关。由于应力的量纲是L-"MT2，Pig和pzg的量纲是L-2MT2，α是量纲一的量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是Apigr，Bpi8y，Cp.x，Dp8y四项的组合，而其中的A，B，C,D是量纲的量，只与α有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。一其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设p=ax+bxy+cxy+dy相应的应力分量表达式为-0g-xf,-2cx+6dy, 0, axapa'Φ--2bx-2cy号-f,=6ax+2by-Pigy,TO,"oy?axay这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面，x=0，[=-1，m=0，作用有水平面力p2gy，所以有-(α,)x=0=-6dy=P2gy对左面的任意值都应成立，可见8
8 设三角形悬臂梁的长为 l，高为 h，则 l h tan= 。根据力的平衡，固定端对梁的约束 反力沿 x 方向的分量为 0，沿 y 方向的分量为 glh 2 1 − 。因此，所求 x 在这部分边界上 合成的主矢应为零， xy 应当合成为反力 glh 2 1 − 。 ( ) ( cot 2 cot ) cot cot 0 2 2 0 2 0 = − = − = = dy gl gy dy glh gh h x l h x ( ) dy ( gy )dy gh glh h h x l xy 2 1 cot 2 1 cot 2 0 0 = − =− =− = 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。 10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角 ，下端作为无限长，承受重 力及液体压力，楔形体的密度为 1 ，液体的密度为 2 ，试求应力分量。 解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力 分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意 一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重 力引起，应当与 1g 成正比（g 是重力加速度）；另一 部分由液体压力引起，应当与 2g 成正比。此外，每一 部分还与 ，x，y 有关。由于应力的量纲是 L -1MT-2， 1g 和 2g 的量纲是 L -2MT-2， 是量纲一的 量，而 x 和 y 的量纲是 L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式 只可能是 A gx 1 ， B gy 1 ，C gx 2 ，D gy 2 四项的组合，而其中的 A，B，C，D 是量纲 一的量，只与 有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是 x 和 y 的纯一次式。 其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二 次，应该是 x 和 y 纯三次式，因此，假设 3 2 2 3 =ax +bx y+cxy +dy 相应的应力分量表达式为 xf cx dy y x x 2 6 2 2 − = + = , yf ax by gy x y 2 y 1 2 6 2 − = + − = , bx cy x y xy 2 2 2 =− − =− 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数， 是否能满足应力边界条件。 左面， x=0，l=−1，m=0 ，作用有水平面力 gy 2 ，所以有 dy gy x x 0 6 2 −( ) = =− = 对左面的任意 y 值都应成立，可见 2g 1g y O x
_P2gd=6同时，该边界上没有竖直面力，所以有-(t)x-0=2cy=0对左面的任意值都应成立，可见c=0因此，应力分量可以简化为C,=-P2gy，,=6ax+2by-Pigy,T,=-2bx元斜面，x=ytanα，[=cosα，m=cos-sinα，没有面力，所以有(lo,+mt,)tene=0(mo,+ltx=0由第一个方程，得-P2gycosα+2bytanasinα=0对斜面的任意y值都应成立，这就要求-P2gcosa+2btanasinα=0由第二个方程，得-(6aytanα+2by-Pigy)sinα-2bytanαcosα=(-6atanαsinα-4bsinα+pigsinα)y=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-6atanα-4b+Pig=0由此解得13p.gcot'a,bsPigcota-P2gcotaa:6从而应力分量为,=-Pzgy, ,=(pigcotα-2p2gcot'α)x+(p2gcot"α-Pig)y, T,=-Pzgxcot’α1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为Φ=Asin20+B0)(13分）o
9 6 2 g d =− 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 −( xy ) x=0 =2cy=0 对左面的任意 y 值都应成立，可见 c=0 因此，应力分量可以简化为 gy x =− 2 ， ax by gy y =6 +2 − 1 ， bx xy =−2 斜面， x=ytan ，l=cos ， sin 2 cos =− m= + ，没有面力，所以有 ( ) ( ) + = + = = = 0 0 tan tan x y y xy x y x yx m l l m 由第一个方程，得 −2 gycos+2bytansin=0 对斜面的任意 y 值都应成立，这就要求 −2 gcos+2btansin=0 由第二个方程，得 −(6aytan+2by−1gy)sin−2bytancos=(−6atansin−4bsin+1gsin)y=0 对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 −6atan−4b+1g=0 由此解得 3 1 2 cot 3 1 cot 6 1 a= g − g ， 2 2 cot 2 1 b= g 从而应力分量为 gy x =− 2 , ( g g )x ( g g)y y 1 2 2 3 1 2 = cot−2 cot + cot − , 2 2 gxcot xy =− 1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的 值为 P，设间距 d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数 为 = Asin 2 + B ） （13 分）
题三（1）图解：d很小，.M=Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数p(r,の）代入，可求得应力分量：ap0,=10+100=-4Asin20:=0:Ogar0212ar?(1a(2Acos2+ B)Tre =-=ar(ra0)边界条件：(1)00l0=0 = 0, Tre0=0 = 0:00|0=元=0, Tr0|0m元 =0nr20r±0rz0代入应力分量式，有1(24+B)=0或2A+B=0(1)（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：,,Trg，和M=Pd由该脱离体的平衡，得rdo+M=0将tre代入并积分，有(2Acos20+B)r?d0+M=0Asin20+B2+M=0得B元+M=0(2)4联立式（1）、（2）求得：B=-M-_Pd.A=Pd22元元元代入应力分量式，得2Pdsin20Tro = - 2Pd sin °09,-Q。=0:5r2r2T元结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。10
10 题三（1）图 解： d 很小， M = Pd ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。 将应力函数 (r, ) 代入，可求得应力分量： sin 2 1 1 4 2 2 2 2 A r r r r r = − + = ； 0 2 2 = = r ； (2 cos 2 ) 1 1 2 A B r r r r = + = − 边界条件： （1） 0, 0 0 0 0 0 = = = = r r r ； 0, 0 0 0 = = = = r r r 代入应力分量式，有 (2 ) 0 1 2 A+ B = r 或 2A+ B = 0 （1） （2）取一半径为 r 的半圆为脱离体，边界上受有： r r , ，和 M = Pd 由该脱离体的平衡，得 0 2 2 2 + = − r r d M 将 r 代入并积分，有 (2 cos 2 ) 0 2 1 2 2 2 + + = − A B r d M r sin 2 0 2 2 + + = − A B M 得 B + M = 0 （2） 联立式（1）、（2）求得： M Pd B = − = − ， 2 Pd A = 代入应力分量式，得 2 2 sin 2 r Pd r == − ； = 0 ； 2 2 2 sin r Pd r = − 。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用