一、 实验简介1.有效数字的基本知识2.误差及其运算3.测量仪器的读数规则二、 实验原理1.有效数字的基本知识在任何一个物理量的测量中，无论使用多么精密的仪器，所测量的结果与真实值总有差异，是近似的。如我们用尺子测量某一物体的长度时，尺子再精确，它总有最小刻度。而物体的长度不一定恰好是最小刻度的整数倍，这样不够一个最小刻度的部分就要靠人的主观估计来确定。例如某尺子的最小刻度为1mm，有人测长度时其读数为12.85cm，其中12.8cm是准确可靠的，而最后一位数字5则是估计的,这个数字因不同的人、观察的位置不同、操作的熟练程度不同会估计出不同的结果(或12.84cm或12.86cm均有可能),因此这位估计数字是不可靠的。估计数字只可取一位，多取无意义。所以，我们把这种带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。1.有效数字的几个概念(1)有效数字的定义可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的有效数字。(2）与有效数字定义有关的几个概念
一、 实验简介 1．有效数字的基本知识 2. 误差及其运算 3. 测量仪器的读数规则 二、 实验原理 1. 有效数字的基本知识 在任何一个物理量的测量中，无论使用多么精密的仪器，所测量的 结果与真实值总有差异，是近似的。如我们用尺子测量某一物体的 长度时，尺子再精确，它总有最小刻度。而物体的长度不一定恰好 是最小刻度的整数倍，这样不够一个最小刻度的部分就要靠人的主 观估计来确定。例如某尺子的最小刻度为 1mm，有人测长度时其读 数为 12.85cm，其中 12.8cm 是准确可靠的,而最后一位数字 5 则是估 计的,这个数字因不同的人、观察的位置不同、操作的熟练程度不同, 会估计出不同的结果(或 12.84cm 或 12.86cm 均有可能),因此这位估 计数字是不可靠的。估计数字只可取一位，多取无意义。所以，我 们把这种带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。 1.有效数字的几个概念 (1)有效数字的定义 可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的有效 数字。 (2)与有效数字定义有关的几个概念
①一切非零数字都是有效数字。如12.85cm是四位有效数字。②非零数字之间的零及非零数字后面的零都是有效数字。即用以表示小数点位置的“0”不是有效数字。当“0”不是表示小数点位置时，为有效数字，因此数据最后的零不能随便加上，也不能随便减去。例如：0.02040米中，“2"前面的“0"不是有效数字，而中间和最后的“0"为有效数字，最后的“0"不能省略。③有效数字的位数与单位和小数点的位置无关。如12.85cm、128.5mm、0.1285m均是四位有效数字。例如：25.46cm=254.6mm=2.546×10°pm④有效数字反映仪器的精度读数时，必须读到估读的一位，即最后一位是估读的，是有误差的。例如：1.35cm，其中0.05cm为估读位。米尺的最小分度值为0.1cm，因此估读位为0.01cm。因而1.35cm很可能是用米尺测量的。而1.3500cm则一定不是用米尺测量的，而是用千分尺测量的③有效数字的科学书写方式（浮点书写规则）将有效数字首位作个位，其余各位均位于小数点后，再乘以10的方幂。2．有效数值尾数的取舍原则：
① 一切非零数字都是有效数字。如 12.85cm 是四位有效 数字。 ② 非零数字之间的零及非零数字后面的零都是有效数字。 即用以表示小数点位置的“0”不是有效数字。当 “0”不是表示小数点位置时,为有效数字，因此数据最后的零不能随便 加上，也不能随便减去。 例如： 0.02040 米中，“2”前面的“0”不是有效数字，而中间 和最后的“0”为有效数字，最后的“0”不能省略。 ③ 有效数字的位数与单位和小数点的位置无关。如 12.85cm、 128.5mm、0.1285m 均是四位有效数字。 ④ 有效数字反映仪器的精度 读数时，必须读到估读的一位，即最后一位是估读 的，是有误差的。例如：1.35cm，其中 0.05cm 为估读位。米尺的最小 分度值为 0.1cm，因此估读位为 0.01cm。因而 1.35cm 很可能是用米尺 测量的。而 1.3500cm 则一定不是用米尺测量的，而是用千分尺测量的。 ⑤ 有效数字的科学书写方式（浮点书写规则） 将有效数字首位作个位，其余各位均位于小数点后， 再乘以 10 的方幂。 2. 有效数值尾数的取舍原则：
通常所用尾数舍入法是四舍五入，对于大量尾数分布儿率相同的数据来说，这样舍入不是很合理的，因为总的入的几率大于舍的几率。有效数值尾数的取舍原则为：尾数小于5则舍，大于5则入，等于5，5的前一位为奇数则入，变成偶数，5前一位为偶数则舍。3.有效数字的运算规则有效数字进行时，会出现很多位数，如果都给予保留，既繁琐又不合理，下面讨论如何合理地确定运算结果的有效数字的位数。首先要确定几个运算规则：（1）有效数字相互运算后仍为有效数字，既最后一位可疑其它位数均可靠。（2）可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但其进位数可视为可靠数。（3）可疑数与可靠数相互运算后仍为可疑数。（4）可靠数与可靠数相互运算后仍为可靠数。下面讨论如何确定有效数字的运算法则：在运算中，为了与可靠数字加以区别，可疑数字以红色数字表示。（1）有效数字的加减法则计算：10.1+1.551=?10.1+1. 5511 1.651
通常所用尾数舍入法是四舍五入，对于大量尾数分布几率相同 的数据来说，这样舍入不是很合理的，因为总的入的几率大于舍的几率。 有效数值尾数的取舍原则为： 尾数小于 5 则舍，大于 5 则入，等于 5，5 的前一位为奇数则 入，变成偶数，5 前一位为偶数则舍。 3. 有效数字的运算规则 有效数字进行时，会出现很多位数，如果都给予保留，既繁琐又不 合理，下面讨论如何合理地确定运算结果的有效数字的位数。 首先要确定几个运算规则： （1） 有效数字相互运算后仍为有效数字，既最后一位可疑其它位 数均可靠。 （2） 可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但其进位数可视为 可靠数。 （3） 可疑数与可靠数相互运算后仍为可疑数。 （4） 可靠数与可靠数相互运算后仍为可靠数。 下面讨论如何确定有效数字的运算法则: 在运算中，为了与可靠数字加以区别，可疑数字以红色数字表示。 （1） 有效数字的加减法则 计算：10.1+1.551=? 1 0．1 + 1. 5 5 1 1 1. 6 5 1
数字11.651的末两位已无意义，根据舍入法则写为11.6有效数字经过加减运算后，得数的最后一位数应该与参与运算的诸数中可疑位数最高的位数一致。(2)有效数字的乘除运算法则计算12.385×1.1 =?12.385x1. 11.238512.38513.6235舍入后13.6235变为14所以12.385×1.1=14计算93.50412=?7. 7 9 21293.504849584110108242 4
数字 11.651 的末两位已无意义，根据舍入法则写为 11.6 有效数字经过加减运算后，得数的最后一位数应该与参与运算的诸数中可疑位数最高 的位数一致。 （2） 有效数字的乘除运算法则 计算 12.385×1.1 =？ 12 .3 8 5 × 1. 1 1.2385 12.385 13.6235 舍入后 13.6235 变为 14 所以 12.385×1.1=14 计算 93.504÷12=? 7．7 9 2 1 2 9 3 . 5 0 4 8 4 9 5 8 4 1 1 0 1 0 8 2 4 2 4
0所以93.504-12=7.8有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字的位数与参与运算的各数中有效数字位数最少的那个数的有效数字位数相同。（3）乘方，开方的有效数字运算后的有效数字位数与底数的有效数字相同。(4）特殊数的有效数字位数参与运算的准确数字或常数，比如2，元，e，等的有效数字的位数可以认为有无限位。4．自测题1．用最小刻度为mm的刚卷尺测量一根长约1m的物体的长度，测得结果的有效数字的位数可能是（）(A)2位(B) 3 位(C) 4位(D) 5 位(1)求1648.0,13.56,0.0082,1.632,86.82,5.135,316.64,0.545之和；(2)求3.12657×0.0157X12.567-186.245；(3)求cos17.26°的数值；(4)计算下列各式：①13.81+0.02436+1.2873-2.543=?②3. 14159X2. 13-668.28=?③8.0241（6.038-6.034）+30.9=?2.误差的基本概念
0 所以 93.504÷12=7.8 有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字的位数与参与运算的各 数中有效数字位数最少的那个数的有效数字位数相同。 （3） 乘方，开方的有效数字运算后的有效数字位数与底数的有效数字 相同。 （4） 特殊数的有效数字位数 参与运算的准确数字或常数，比如 2，π, e, 等的有效数字 的位数可以认为有无限位。 4． 自测题 1． 用最小刻度为 mm 的刚卷尺测量一根长约 1m 的物体的长度，测得 结果的有效数字的位数可能是（ ） （A） 2 位 (B) 3 位 (C) 4 位 (D) 5 位 （1） 求 1648.0，13.56，0.0082，1.632，86.82，5.135，316.64， 0.545 之和； （2） 求 3.12657×0.0157×12.567÷186.245； （3） 求 cos17.26°的数值； （4） 计算下列各式： ① 13.81+0.02436+1.2873-2.543=？ ② 3.14159×2.13-668.28=？ ③ 8.0241÷（6.038-6.034）+30.9=？ 2. 误差的基本概念
一个物体的长度只有一个真实值。测量时尽管方法正确，但所测的值只是它的近似值。（1）误差的概念一个物理上可测量的量必须应当具有数值、单位和所表示的数值的可靠性程度(或可置信程度),这三者构成了物理量的全部,它们缺一不可。要得到一个可测量的物理量必须通过测量。通过测量可以得到物理量的数值，但仅仅得到数值是不够的，还必须表示数值的可靠性程度这一点往往为初学者所忽视，实际上它与物理量的数值和单位同样重要。一个物理量只有一个真实值。测量时尽管方法正确，但所测的值只是它的近似值。真值：是指被测物理量在规定时间和空间内的客观大小。即物理量的真实值。实验中的真值是得不到的，通常采用多次测量的算术平均值来代替真值，且测量次数越多，平均值就越接近真值。测量值：由测量仪器直接读出的物理量的数值或将测量数据直接代入公式计算出来的物理量的数值。误差：一次测量值与真实值的差异（又称绝对误差）。无论使用何种工具，也不管采用什么测量方法，误差总是存在的但是，选用更精密的测量工具，改进测量方法，均可使误差减小。（2）误差的分类误差就其性质和来源分为偶然误差、系统误差和疏忽误差三大类。偶然误差（亦称随机误差）。包括判断的误差、实验条件的涨落及观测者所不能控制的干扰所引起的误差。其特点为：
一个物体的长度只有一个真实值。测量时尽管方法正确，但所测的值 只是它的近似值。 （1）误差的概念 一个物理上可测量的量必须应当具有数值、单位和所表示的数值 的可靠性程度(或可置信程度),这三者构成了物理量的全部,它们缺一不 可。要得到一个可测量的物理量必须通过测量。通过测量可以得到物理 量的数值，但仅仅得到数值是不够的，还必须表示数值的可靠性程度， 这一点往往为初学者所忽视，实际上它与物理量的数值和单位同样重要。 一个物理量只有一个真实值。测量时尽管方法正确，但所测的值只是 它的近似值。 真值：是指被测物理量在规定时间和空间内的客观大小。即物理量的 真实值。实验中的真值是得不到的，通常采用多次测量的算术平均值来 代替真值，且测量次数越多，平均值就越接近真值。 测量值：由测量仪器直接读出的物理量的数值或将测量数据直接代 入公式计算出来的物理量的数值。 误差：一次测量值与真实值的差异（又称绝对误差）。 无论使用何种工具，也不管采用什么测量方法，误差总是存在的 但是，选用更精密的测量工具，改进测量方法，均可使误差减小。 (2) 误差的分类 误差就其性质和来源分为偶然误差、系统误差和疏忽误差三大类。 偶然误差（亦称随机误差）。包括判断的误差、实验条件的涨落及 观测者所不能控制的干扰所引起的误差。其特点为：
测量结果变化不定，其值与真值之差时正时负，时大时小，并且分布于某一范围之内，服从于统计规律。这类误差无法避免，也无法直接消除与修正。系统误差包括仪器仪表校准的误差、个人习惯的误差、实验条件及不完善的技术所产生的误差。系统误差表现在一系列重要测量中测量结果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值。系统误差可以通过检查改进实验方法或测量设备引进相应的修值使之尽量减少，可在实验前预见一切可能产生系统误差的来源，设法测量之，并从计算中消去之。疏忽误差是由于实验者的疏忽大意引起的，所以称为过度误差，此类误差可以避免。（3）测量仪器的都数规则在直接测量中读出的测量值的有效数字的最后一位要与读数误差所在的一位对齐，因而测量仪器的读数规则为：测量误差出现在哪一位，读数就相应读到哪一位。在中学阶段一般可根据测量的最小分度来确定读数误差出现的位置。对于常用的仪器可按下述方法读数：①最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位上，下一位按十分之一估读，如最小刻度是1mm的刻度尺，测量误差出现在毫米的十分位上，估读到十分之几毫米。②最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一位上，同一位分别按二分之一或五分之一估读。如学生用的电流表0.6A量程，最小分度为0.02A,误差出现在安培的百分位上，估读半小格，不足半小格的舍去，超过半小格的按半小格估读。以安培为单位
测量结果变化不定，其值与真值之差时正时负，时大时小，并 且分布于某一范围之内，服从于统计规律。这类误差无法避免，也无法 直接消除与修正。 系统误差包括仪器仪表校准的误差、个人习惯的误差、实验条件及 不完善的技术所产生的误差。系统误差表现在一系列重要测量中测量结 果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值。系统误差可以通过检查改进 实验方法或测量设备引进相应的修正值使之尽量减少，可在实验前预见 一切可能产生系统误差的来源，设法测量之，并从计算中消去之。 疏忽误差是由于实验者的疏忽大意引起的，所以称为过度误差，此 类误差可以避免。 (3) 测量仪器的都数规则 在直接测量中读出的测量值的有效数字的最后一位要与读数误差所在 的一位对齐，因而测量仪器的读数规则为：测量误差出现在哪一位，读 数就相应读到哪一位。在中学阶段一般可根据测量的最小分度来确定读 数误差出现的位置。对于常用的仪器可按下述方法读数： ① 最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位上，下一位按 十分之一估读，如最小刻度是 1mm 的刻度尺，测量误差出现在毫 米的十分位上，估读到十分之几毫米。 ② 最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一位上，同 一位分别按二分之一或五分之一估读。如学生用的电流表 0.6A 量 程，最小分度为 0.02A,误差出现在安培的百分位上，估读半小格， 不足半小格的舍去，超过半小格的按半小格估读。以安培为单位
读数时，百分位上的数字可能为0、1、2、...·9；学生用的电压表15V量程，最小分度为0.5V,测量误差出现在伏特的十分位上，只读到伏特十分位，估读五分之几小格，以伏特为单位读数时，十分位上的数字可能为0、1、2、·9。（4）自测题1说明在以下情况下会引起哪一类型的误差？(1)米尺刻度不均匀：米尺因温度而收缩(2) 仪器的零点游动，仪器的零点未调准。(3)停表的启动或终止，表轴和表盘不同心。（4）实验者的习惯，实验者的失误。(5)仪器水平未调平，仪器的位置不稳。(6)天平未调平，天平刀口不正。22关于误差及其错误，下列说法正确的是：（A）认真测量可以避免误差；（B）误差是实验中产生的错误：（C）采用精密仪器、改进实验方法，可以消除误差（D）实验中产生误差是难免的，但可以想办法尽量减小误差（E）测量值误差太大，便是错误；（F）采用多次测量取平均的方法，可以减小误差，但不能消除误差（G）错误是人为造成的，而误差是测量工具的不精确造成的：（H）误差时打时小，因而造成实验中产生错误
读数时，百分位上的数字可能为 0、1、2、.9;学生用的电压表 15V 量程,最小分度为 0.5V,测量误差出现在伏特的十分位上,只读 到伏特十分位,估读五分之几小格,以伏特为单位读数时,十分位 上的数字可能为 0、1、2、.9。 （4）自测题 1 说明在以下情况下会引起哪一类型的误差？ (1) 米尺刻度不均匀：米尺因温度而收缩。 (2) 仪器的零点游动，仪器的零点未调准。 (3) 停表的启动或终止，表轴和表盘不同心。 (4) 实验者的习惯，实验者的失误。 (5) 仪器水平未调平，仪器的位置不稳。 (6) 天平未调平，天平刀口不正。 2 关于误差及其错误，下列说法正确的是： （A）认真测量可以避免误差； （B）误差是实验中产生的错误； （C）采用精密仪器、改进实验方法，可以消除误差； （D）实验中产生误差是难免的，但可以想办法尽量减小误差 （E）测量值误差太大，便是错误； （F）采用多次测量取平均的方法，可以减小误差，但不能消除 误差 （G）错误是人为造成的，而误差是测量工具的不精确造成的； （H）误差时打时小，因而造成实验中产生错误
3.数据处理的基本方法实验中，被记录下来的一些原始数据还需案经过适当的处理和计算才能反映出事物的内在规律或得出测量值，这种处理的计算过程称为数据处理。根据不同的需要，可采用不同的数据处理方法。一．列表法把数据按一定的规律列成表格，可以使物理量之间的一一对应关系简明、醒目，也有助于发现其间的规律，比如递增或递减。列表法要点：1．表格设计力求合理、简明、便于观察。2．各栏目中的物理量均应注其名称和单位。3．各量排列顺序尽量与测量顺序一致，以便于寻找规律。二．作图法作图是指将自变测量量作为横坐标，因变测量量作为纵坐标。在坐标纸上一一找出对应点，称为实验点，再把这些实验点连成曲线从而发现两个测量量之间的关系。坐标纸分为方格纸、单对数纸、双对数纸、概率纸等多种，使用时，可根据需要选择。作图方法和法则1：根据数据选择坐标纸。数据之间相差不很大时，可选用方格纸方格纸的大小要恰当，若数据间的差距过大时，选择对数坐标纸较为合适
3. 数据处理的基本方法 实验中，被记录下来的一些原始数据还需案经过适当的处理 和计算才能反映出事物的内在规律或得出测量值，这种处理的计算过程 称为数据处理。根据不同的需要，可采用不同的数据处理方法。 一． 列表法 把数据按一定的规律列成表格，可以使物理量之间的一一对应关系 简明、醒目，也有助于发现其间的规律，比如递增或递减。 列表法要点： 1． 表格设计力求合理、简明、便于观察。 2． 各栏目中的物理量均应注其名称和单位。 3． 各量排列顺序尽量与测量顺序一致，以便于寻找规律。 二． 作图法 作图是指将自变测量量作为横坐标，因变测量量作为纵坐标。在坐 标纸上一一找出对应点，称为实验点，再把这些实验点连成曲线， 从而发现两个测量量之间的关系。坐标纸分为方格纸、单对数纸、 双对数纸、概率纸等多种，使用时，可根据需要选择。 作图方法和法则 1．根据数据选择坐标纸。数据之间相差不很大时，可选用方格纸， 方格纸的大小要恰当，若数据间的差距过大时，选择对数坐标纸 较为合适
2.作图前，先把两组数据列成表格，表中数据为测得的有效数字，表内各量应注明符号与单位。3．在坐标纸上画坐标轴，尾端标志物理量符号和单位。可根据数据选择比例关系，坐标的起点不一定为零点。4．根据表上的对应数据寻找实验点，并用鲜明的符号标记下来。5.连线时，不必强求曲线经过每一个实验点，而用直尺或曲线板根据实验点的分布规律连成直线或光滑曲线，使所有的实验点大体均匀地靠近在曲线的两侧。6．利用图上的空白位置注明实验条件和曲线上的某些有用参数，如斜率、极限、拐点等。7.在图的下方写上图的名称及必要的说明，务必使图线尽可能全面反映实验情况。在转换测量中，常常将被测量量经过某种方法转换为另一种物理量显示，于是利用读出的量与被测量之间的固定关系，由读出的量找出相应的被测量值。三、实验内容学习误差分析与数据处理四、 实验仪器无五、实验指导
2．作图前，先把两组数据列成表格，表中数据为测得的有效数字， 表内各量应注明符号与单位。 3．在坐标纸上画坐标轴，尾端标志物理量符号和单位。可根据数据 选择比例关系，坐标的起点不一定为零点。 4．根据表上的对应数据寻找实验点，并用鲜明的符号标记下来。 5．连线时，不必强求曲线经过每一个实验点，而用直尺或曲线板根 据实验点的分布规律连成直线或光滑曲线，使所有的实验点大体 均匀地靠近在曲线的两侧。 6．利用图上的空白位置注明实验条件和曲线上的某些有用参数，如 斜率、极限、拐点等。 7．在图的下方写上图的名称及必要的说明，务必使图线尽可能全面 反映实验情况。 在转换测量中，常常将被测量量经过某种方法转换为另一种物理量显示， 于是利用读出的量与被测量之间的固定关系，由读出的量找出相应的被 测量值。 三、 实验内容 学习误差分析与数据处理 四、 实验仪器 无 五、 实验指导