2.4高阶导数及其应用 2.4.1高阶导数的概念 2.4.2二阶导数的意义 Cliek Here
2.4 高阶导数及其应用 2.4.1 高阶导数的概念 2.4.2 二阶导数的意义
2.4.1高阶导数的概念 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
2.4.1 高阶导数的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例[加速度的表示] 我们知道，变速直线运动的速度v()是路程函数s() 关于时间的导数，即0-出或0)=0)，而加速度 a又是速度（①关于时间的导数，即 a=4r=dfds) dd或a=('() 我们称这种号数0-出的号数（侣）成so) 为s)对的二阶导数。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 [加速度的表示] 我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t) 关于时间t的导数，即 t s v t d d ( ) = 或 v(t) = s(t) ，而加速度 a又是速度v(t)关于时间t的导数，即 = = t s t t v a d d d d d d 或 a = (s t ) ( ) 我们称这种导数 t s v t d d ( ) = 的导数 t s t d d d d 或 ( ) s (t) 为s(t)对t的二阶导数
二、 概念和公式的引出 n阶导数 对于函数=f(x),称f'(x)的导数为函数 的二阶号导数，记作y八、了"(x)或 dx' 类似地，二阶导数f”(x)的导数称为=∫(x)的三阶导数， 记作y∫”(x)或) dr y=f(x)的n-l阶导数f"(x的导数称为y=f(x)的n阶导数 记作"(x) dx" 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
二、 概念和公式的引出 对于函数y= f (x),称 f (x) 的导数为函数 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 类似地，二阶导数 f (x) 的导数称为y= f (x)的三阶导数， y= f (x)的n-1阶导数 ( ) ( 1) f x n− 的导数称为y= f (x)的n阶导数， n阶导数 的二阶导导数，记作 y f x ( ) 或 2 2 d d x y 、 。 ( ) n y ( ) ( ) n f x 或 d d n n y x 记作 、 y f x ( ) 或 3 3 d d x 记作 、 y
可三、进一步的练习 练习1刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 行驶的距离（单位：m)与时间1（单位：s)满足 s=19.2t-0.4r 假设汽车作直线运动，求汽车在仁4s时的速度和 加速度 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
三、进一步的练习 3 s =19.2t −0.4t 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 练习1 [刹车测试] 假设汽车作直线运动，求汽车在t=4s时的速度和 加速度． 行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足
解汽车刹车后的速度为 ds v=a=(1921-04y=192-12r(ms). 汽车刹车后的加速度为 d=092-12y=-240ms). 仁4s时，汽车的速度为 v=(19.2-1.22)-4=0(m/S), 仁4s时，汽车的加速度为 a=-2.4t4=-9.6(m/s2), 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
解 汽车刹车后的速度为 d d s v t = 3 = − (19.2 0.4 ) t t = − 19.2 1.2t 2 (m/s)， 汽车刹车后的加速度为 d d v a t = 2 = − (19.2 1.2 ) t = −2.4t (m/s2 )， t=4s时，汽车的速度为 t=4s时，汽车的加速度为 v = 2 4 (19.2 1.2 ) t t − = = 0 (m/s)， a 4 2.4 9.6 t t = − = − = (m/s2 )
2.4.2二阶导数的意义 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Cliek Here
2.4.2 二阶导数的意义 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例 [国防预算] 1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和 参议院削减了国防预算.但是他的对手却反驳道，国 会只是削减了国防预算增长的变化率.换句话说，若 用f(x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数 f'(x)>0预算仍然在增加，只是f"(x)<0即预算的增长 变缓了 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和 参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，国 会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若 用f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数 一、案例 [国防预算] f (x) 0 预算仍然在增加，只是 f (x) 0 即预算的增长 变缓了．
二、 概念和公式的引出 曲线的凹、凸与拐点： 在区间上任意作曲线=f(x)的切线，若曲线总是在 切线上方，则称此曲线在区间上是凹的；若曲线 总是在切线下方，则称此曲线在区间上是凸的 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点· 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 曲线的凹、凸与拐点: 在区间I上任意作曲线y=f (x)的切线，若曲线总是在 切线上方，则称此曲线在区间I上是凹的；若曲线 总是在切线下方，则称此曲线在区间I上是凸的． 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点．
曲线凹凸性的判定： 设函数f(x)在闭区间[4，b]上连续，且在开区间 (a,b)内具有二阶导数，如果对于任意xe(a,b),有 (1)f"(x)>0,则函数f(x)在区间[a,b]上是凹的： (2)f"(x)<0,则函数fx)在区间【a,b]上是凸的 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
(a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 x (a,b) ，有 曲线凹凸性的判定: 设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间 (1) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间[a,b]上是凹的； (2) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间 [a,b]上是凸的．