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3.3 积分方法 3.3.1 换元法 3.3.2 分部积分法
3.3.1换元积分法 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 Click Here
3.3.1 换元积分法 一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[石油消耗量] 近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长， 增长指数大约为0.07.1970年初，消耗量大约为161 亿桶.设R(0表示从1970年起第年的石油消耗率， 已知 R)=161eo7(亿桶) 试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总 量 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 [石油消耗量] 近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长， 增长指数大约为0.07．1970年初，消耗量大约为161 亿桶．设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率， 已知 试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总 量． ( ) t R t e 0.07 =161 （亿桶）
解设70表示从1970年(0)起到第年石油消耗的 总量.T'()就是石油消耗率R(),即T'()=R0),于是 由变化率求总改变量，得 T20)-T0)=T'u=R0=161e7d 在基本积分公式中，只有积分公式「edi=e+C 如果将 161ed的积盼凑成d0.071,则有 20 161e.0md0.07t 0.07J0 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
解 设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的 总量. T ’ (t)就是石油消耗率R(t)，即T ’ (t) =R(t) ，于是 由变化率求总改变量，得 20 0 T T T t t (20) (0) ( )d − = 20 0 = R t t ( )d 20 0.07 0 161 dt = e t 在基本积分公式中，只有积分公式 d t t e t e C = + 如果将 20 0.07 0 161 dt e t 的积分凑成d0.07t，则有 20 20 0.07 0.07 0 0 1 161 d 161 d0.07 0.07 t t e t e t ＝
0.07t仁w t:0→20 令0.071=u,积分变为 4:0→1.4 161edr-16 r20 e1.4 e"du Jo 0.070 这时，用公式「ed=e'+C,得 产161em 161r20 161c1 "e"du 0.070 emd0.071=0.07 161 (e")6=2300(e4-1)≈7027（桶） 0.07 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
d t t e t e C = + 这时，用公式 ，得 令 0.07t u = ,积分变为 20 0.07 0 161 dt e t 20 0.07 0 161 d0.07 0.07 t = e t 1.4 0 161 d 0.07 u = e u 1.4 0 161 ( ) 0.07 u = = e 1.4 2300( 1) 7027 e − (桶) 20 1.4 0.07 0 0 161 161 d d 0.07 t u e t e u ＝ 0.07t=u t:0→20 u:0→1.4
二、概念和公式的引出 不定积分的换元法 设「f(u)du=F(m+C,u=px)可导，则 ∫fo(xo'(xr=Flo(x+C 对上式积分结果求导，有 {F[px】+C}=F'(u)p'(x)=F[px小p'(x)=fp(x小p'(x) 成立。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
二、概念和公式的引出 对上式积分结果求导，有 不定积分的换元法 设 f u u F u C ( )d ( ) = + ，u = (x) 可导，则 f (x) (x) x =F (x)+C d F(x) C = F(u)(x) = F(x)(x) = f (x)(x) + 成立
换元法求不定积分的一般步骤如下： 等变形 ∫g(x)dx=∫f[p(x)]p'(x)x=∫fIp(x)ldp(x) 换元 积分 回代 f(u)du=--=F(u)+C=---Flp(x)+C =0(x) 1=0(x)】 利用换元法时，要把被积表达式分解出0(x)dx, 并凑成微分d0(x),因此这种方法也称为凑微分法， 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
换元法求不定积分的一般步骤如下： ( ) ( ) 恒等变形 g x x f x x x f x x ( )d d [ ( )]d ( ) ==== = f (u) u F(u) C F (x) C u x u x ==== ==== + ==== + = = 换 元 积 分 回 代 ( ) ( ) d 利用换元法时，要把被积表达式分解出 ( x x )d ， 并凑成微分 d ( ) x ，因此这种方法也称为凑微分法．
定积分的换元法 设函数x)在区间[a,b]上连续，若 (1)函数x=pd在区间a,B]上单调且有连续导数： (2)当在区间a,B上变化时，对应的函数x=pd 在区间[a,b]上变化，且(a=a,p(B)=b 则有定积分的换元公式 心r=ot创p0h 注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要 进行相应地变换 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
定积分的换元法 设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，若 f (x)dx f (t) (t)dt b a = (1) 函数 x =(t) 在区间 , 上单调且有连续导数； (2) 当t在区间 , 上变化时，对应的函数 x =(t) 则有定积分的换元公式 在区间 [a,b]上变化，且 (a) = a ， ( ) = b ， 注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要 进行相应地变换．
三、进一步的练习 号练习1质子的速度] 一电场中质子运动的 加速度为a=-201+21)2(单位：m/s2).如果 0时，1=0.3m/s.求质子的运动速度. 解由加速度和速度的关系v'()=a(0,有 v(0=a(0di=「-201+210)2d 凑微分 =-201+2t)2 2d0+2 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
t=0时，v=0.3m/s．求质子的运动速度． 三、进一步的练习 2 20(1 2 ) − a = − + t (单位：m／s 2 加速度为 )．如果 解 由加速度和速度的关系 v (t) = a(t) ，有 练习1 [质子的速度] 一电场中质子运动的 2 v t a t t t t ( ) ( )d 20(1 2 ) d − = = − + 2 1 20(1 2 ) d(1 2 ) 2 t t − = − + + 凑微分
u2du=-1+C 令=1+2t,得 vt0=-10w2du=10+C 当=0，即=1时，=0.3代入上式得C=-9.7 再将=1+21，代入上式，得 v(t)=101+2)-9.7 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
令u=1+2t，得 2 1 v t u u u C ( ) 10 d 10 − − = − = + 2 1 u du u C − − = − + 当t=0，即u=1时，v=0.3代入上式得C=-9.7 再将u=1+2t，代入上式，得 1 v t t ( ) 10(1 2 ) 9.7 − = + −