5.3拉普拉斯变换 ◆ 一、案例 二、概念和公式的引出 ■三、进一步的练习 Click Here
5.3 拉普拉斯变换 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
,一、案例[自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中，线性定 常系统由下面的n阶微分方程描述 d drx()+a d"-1 d++a -y(t)+a,y(t)= d dix()+b d x0++bn x(t)+bnx(t) 如何求解此微分方程呢？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例 [自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中，线性定 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n n n n n a y t a y t a y t a y t t t t − + + + + = − − 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d m m m m m m b x t b x t b x t b x t t t t − + + + + − − 如何求解此微分方程呢？ 常系统由下面的n阶微分方程描述
二 概念和公式的引出 拉氏变换设函数f()的定义域为[0，∞)，若反常积分 J。f()ed山对于p在某一范围内的值收敛则此积盼 十@ 就确定了p的函数，记作 F(p)=f(e "dr ● 函数Fp)称为f(①)的拉氏变换或称为f(①)的象函数， 函数f()称为FP)的原函数，以上公式简称为拉氏变 换式，用记号L[f()]表示，即 F(p)=LIf(t)] 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 拉氏变换 设函数f (t)的定义域为 [0,） ，若反常积分 0 ( ) dpt f t e t + − 对于p在某一范围内的值收敛,则此积分 0 ( ) ( ) dpt F p f t e t + − = 函数F(p)称为f (t)的拉氏变换(或称为f (t)的象函数， 函数f (t)称为F(p)的原函数，以上公式简称为拉氏变 换式，用记号L[f (t)]表示，即 就确定了p的函数,记作 F( p) = L[ f (t)]
说明： (1)定义中，只要求在1≥0上f()有定义，为了方便 假定1<0时，f(0)=0 (2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成 个新的函数，是一种积分变换，一般地在科学技术中遇 到的函数，它的拉氏变换总是存在的，故以后不再对其 存在性进行讨论 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一 个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇 到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其 存在性进行讨论． 假定t<0时, f (t) =0; 说明： (1)定义中,只要求在 t 0 上f (t)有定义,为了方便
三、进一步的练习 ←练习1[一次函数 求一次函数f(0=at(a为常数)的拉氏变换 解当p>0时，有 Lat=(at)e-"dr --a["id(e-") =-e-lia at 0 p -a 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
三、进一步的练习 练习1 [一次函数] 求一次函数f (t) =at (a为常数)的拉氏变换. 解 当p>0时，有 0 [ ] ( ) dpt L at at e t + − = 2 0 a pt e p − − + = 2 a p = 0 d( ) a pt t e p + − = − 0 0 d at a pt pt e e t p p + − + − = − +
逸练习2指数函数] 求f(t)=e(t≥0，a为常数)的拉氏变换。 解L[e]=e”emd=-1ep-ar p-a 这个积分当p>a时收敛，此时 L[e]= (p>a) D-a 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
练习2 [指数函数] 解 这个积分当p>a时收敛，此时 求 f (t) e (t 0,a为常数) at = 的拉氏变换 。 0 [ ] d at at pt L e e e t + − = p a L e at − = 1 [ ] ( p a) ( ) 0 1 p a t e p a − − + = − −
练习3三角函数] 求函数f(①)=cosw的拉氏变换。 解当p>0时，有 coswt e P'dt e "(wsin wt-pcoswt) b+w 类似地Z[sin(wt)]= (p>0) D+1w1 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习3 [三角函数] 求函数 f (t) =coswt的拉氏变换 。 解 0 [cos ] cos dpt L wt wt e t + − = 当p>0时，有 − − + = 2 2 0 ( sin cos )| 1 e w wt p wt p w p t 2 2 p w p + = 类似地 2 2 [sin( )] p w w L wt + = ( p 0)
在许多问题中，常会遇到只有在极短时间作 用的量如电路中的脉冲电动势作用后所产 生的脉冲电流，要确定某瞬间（仁0）进入一 单位电量的脉冲电路上的电流，用6() 表示上述电路中的电量 无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的 强度，为此，引入了一个新的函数来表示这个 函数叫狄拉克函数 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作 用的量,如电路中的脉冲电动势作用后所产 生的脉冲电流,要确定某瞬间(t=0)进入一 无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的 强度,为此,引入了一个新的函数来表示.这个 函数叫狄拉克函数. 表示上述电路中的电量. 单位电量的脉冲电路上的电流,用 ( )t
0 tT 当x→0时，6(t)=lim6,(t)称为狄拉克函数 T-0 简称为8一函数在工程技术中常称为单位 0t≠0 脉冲函数，即6(t)= 00 t=0 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
狄拉克函数 设 = t t t t 0 0 1 0 0 ( ) 当 →0 时, ( ) lim ( ) 0 t t → = 称为狄拉克函数, 简称为 － 函数.在工程技术中常称为单位 脉冲函数，即 = = 0 0 0 ( ) t t t
如图所示 (t) 604 因为)d=lim [dt=1故狄拉克函数有如下性质 T>0 狄拉克函数的性质 设g()是(-∞，∞)上的一个连续函数，则有 g(t)8(t)dt g(0) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
如图所示. 因为 0 0 1 ( )d lim d 1 t t t + − → = = ,故狄拉克函数有如下性质. 设g(t)是 (−,) 上的一个连续函数，则有 狄拉克函数的性质 + − g(t) (t)dt = g(0)