4.2可分离变量的微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 ■四、实训 Click Here
4.2 可分离变量的微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例1[人口问题] 英国学者马尔萨斯Malthus,1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设时刻的人口 数为0，则人口增长速度；与人口总量0 成正比，从而建立了Malthus人口模型 dx = dt ,其中a>0 x(to)=xo 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例 1 [人口问题 ] 成正比，从而建立了Malthus人口模型。 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t)
·二、概念及公式的引出 形如： =f(x).g(y) (1) dx 的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的 右端是只含x的函数x)与只含的函数gy)的乘积 可分离变量的微分方程通过分离变量为 g(y)dy=f(x)dx (2) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的 右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积． 形如： (1) 可分离变量的微分方程通过分离变量为 (2) 二、概念及公式的引出
的形式，即微分方程的一端只含的函数和dy,另一端 只含x的函数和dx,将上式两端积分，得 g(y)dy=f(x)dx。 设G6y),Fx)分别为gGy),术x)原函数，则得微分方程 dy dx =f)g(0y)的通解为： Gy=Fx)+C。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端 只含x的函数和dx,将上式两端积分，得 设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)原函数，则得微分方程 G(y)=F(x)+C 。 的通解为：
三、进一步的练习 号练习1【国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值(GDP)为80423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
三、进一步的练习 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？ 练习1 [国民生产总值]
解(1)建立微分方程 记=0代表1999年，并设第年我国的GDP为P().由 题意知，从1999年起，P(0的相对增长率为8%，即 dP(t) dt=8% P() 得微分方程 dP(@=8%P(),且P(0)=80423 dt 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
d ( ) d 8% ( ) P t t P t = 解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即 得微分方程
(2)求通解 分离变量得 dP(t) =8%dt, P(t) 方程两边同时积分，得 1nPt)=0.08t+C, 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
（2）求通解 分离变量得 方程两边同时积分，得
(3)求特解 将(0)=80423代入通解，得C=80423,所以从1999 年起第年我国的GDP为 P(t)=80423e0.08 将2010-1999=11代入上式，得2010年我国的 GDP的预测值为 P(11)=80423e.o811≈193891.787（亿元） 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
（3）求特解 将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999 年起第t年我国的GDP为 将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的 GDP的预测值为
￡练习2[落体问题 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与 速度成正比，运动员离塔时（0)的速度为零， 求运动员下落过程中速度与时间的函数关系 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
练习2 [落体问题] 求运动员下落过程中速度与时间的函数关系． 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与 速度成正比．运动员离塔时（t=0）的速度为零
解(1)建立微分方程 运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影 响.重力的大小为mg,方向与速度的方向一致；阻力 的大小为（为比例系数），方向与相反，从而运动员 所受的外力为 F =mg -kv, 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影 响．重力的大小为mg，方向与速度v的方向一致；阻力 的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反．从而运动员 所受的外力为 解（1）建立微分方程