4.3 一阶线性微分方程 二案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训 Click Here
4.3 一阶线性微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例[溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐.现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3Lmin的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 [溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？
解设时刻容器中含盐量为xg,容器中含盐量的变 化率为 dx 盐流入容器的速度·盐流出容器的速度(1) 盐流入容器的速度=2（gL)×5（L/min)=l0(gmin) 盐流出容器的速度 504z（gL）×3(Lmin) 3 50+2(gmin) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变 化率为 盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1） 盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min) = (g/min) 盐流出容器的速度= （g/L）×3 （L/min）
由武(1)得 dx 3x =10- dt 50+21 即 dx 3 x=10 dt 50+2t 此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的 由题意知初始条件为。=10. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
即 此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的． 由题意知初始条件为 ． 由式（1）得
二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如 y'+P(x)y =Q(x) (1 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程.当Qx)恒等于零时， 方程(1)称为齐次微分方程；当Qx)不恒为零时，方程 (1)非齐次微分方程 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
(1) 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程 (1))非齐次微分方程． 二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如
(一)一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若Qx)则 +P(x)y=0 d (2) 是可分离变量微分方程，分离变量，得 dy=-P(x)dx 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则 （2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得
研究 两边积分，得 lny=-「P(x)dx+nC 即 y=Ce -[P(x)dx 这是齐次微分方程(2)的通解. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
即 这是齐次微分方程（2）的通解． 研究 两边积分，得
(二)一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程(1)的解可用“常数变易 法”求得.这种方法是将(1)的通解中的任意常数C, 换为x的函数Cx),即令 P(x)dx y=C(x)e 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C， 换为x的函数C(x)，即令
两边求导，得 =C -C)P)e dy dx 将秋的表达式代入方程(1)，得 P(x)dx C'(x)=O(x) e 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得
两边积分，得 C()=∫0)edx+C 将此式代入y=C)e便得非齐次线性微分方 方程(1)的通解为 ye(f C) (*) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
两边积分，得 将此式代入 ，便得非齐次线性微分方 (*) 方程 (1)的通解为