
4.3 一阶线性微分方程 二案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训 Click Here
4.3 一阶线性微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训

一、案例[溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液,其中含有10g 的盐.现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器,并不断进行搅拌,使混合液迅速达到均匀, 同时混合液以3Lmin的速度流出溶液,问任一时刻 容器中含盐量是多少? 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 [溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液,其中含有10g 的盐.现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器,并不断进行搅拌,使混合液迅速达到均匀, 同时混合液以3L/min的速度流出溶液,问任一时刻 容器中含盐量是多少?

解设时刻容器中含盐量为xg,容器中含盐量的变 化率为 dx 盐流入容器的速度·盐流出容器的速度(1) 盐流入容器的速度=2(gL)×5(L/min)=l0(gmin) 盐流出容器的速度 504z(gL)×3(Lmin) 3 50+2(gmin) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
解 设t时刻容器中含盐量为x g,容器中含盐量的变 化率为 盐流入容器的速度-盐流出容器的速度 (1) 盐流入容器的速度=2(g/L)×5(L/min) =10(g/min) = (g/min) 盐流出容器的速度= (g/L)×3 (L/min)

由武(1)得 dx 3x =10- dt 50+21 即 dx 3 x=10 dt 50+2t 此一阶线性微分方程的特点是:未知函数及其 导数都是一次的 由题意知初始条件为。=10. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
即 此一阶线性微分方程的特点是:未知函数及其 导数都是一次的. 由题意知初始条件为 . 由式(1)得

二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如 y'+P(x)y =Q(x) (1 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程.当Qx)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程;当Qx)不恒为零时,方程 (1)非齐次微分方程 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
(1) 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程.当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程;当Q(x)不恒为零时,方程 (1))非齐次微分方程. 二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如

(一)一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中,若Qx)则 +P(x)y=0 d (2) 是可分离变量微分方程,分离变量,得 dy=-P(x)dx 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
(一)一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中,若 ,则 (2) 是可分离变量微分方程,分离变量,得

研究 两边积分,得 lny=-「P(x)dx+nC 即 y=Ce -[P(x)dx 这是齐次微分方程(2)的通解. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
即 这是齐次微分方程(2)的通解. 研究 两边积分,得

(二)一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程(1)的解可用“常数变易 法”求得.这种方法是将(1)的通解中的任意常数C, 换为x的函数Cx),即令 P(x)dx y=C(x)e 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
(二)一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得.这种方法是将(1)的通解中的任意常数C, 换为x的函数C(x),即令

两边求导,得 =C -C)P)e dy dx 将秋的表达式代入方程(1),得 P(x)dx C'(x)=O(x) e 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
两边求导,得 将y、 的表达式代入方程(1),得

两边积分,得 C()=∫0)edx+C 将此式代入y=C)e便得非齐次线性微分方 方程(1)的通解为 ye(f C) (*) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
两边积分,得 将此式代入 ,便得非齐次线性微分方 (*) 方程 (1)的通解为