背景 无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已 经萌牙.最早可以追溯到希腊由阿基米德 (Archimedes,287BC~212BC)等人提出的 计算面积和体积的方法.后来也逐步得到了一系列 求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果， 但这些结果都是孤立的，不连贯的.直到17世纪
“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已 经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德 （Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的 计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列 求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果， 但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪， 背 景
背景 莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明 确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分 是互逆的两种运算.建立了微积分学 莱布尼兹创立了积分符号「此·这些符号进一步 促进了微积分学的发展，并一直沿用至今
莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明 确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分 是互逆的两种运算．建立了微积分学． dx 背 景 促进了微积分学的发展，并一直沿用至今． 莱布尼兹创立了积分符号 ．这些符号进一步
第一节定积分一求总量的模型 ■3.1.1定积分的概念及性质 ■3.1.2微元法 Click Here
第一节 定积分－求总量的模型 3.1.1 定积分的概念及性质 3.1.2 微元法
3.1.1定积分的概念及性质 一、案例 ■二、概念和公式的引出 Click Here
3.1.1 定积分的概念及性质 一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[曲边梯形的面积] 曲边梯形由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥0)、x轴 y=) 与两条直线x=4,x=b 所围成。 播 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例[曲边梯形的面积] 曲边梯形由连续曲线 与两条直线 x = a, x = b 所围成。 y = f (x)( f (x) 0)、x 轴
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 播放 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩 形面积和与曲边梯形面积的关系： 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值 播放 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩 形面积和与曲边梯形面积的关系：
在区间a,b内插入若干个分点 a=x<x<..<x<x=b 把区间a,b分成m个小区间 [xx](i1,2,…,n） 长度为△x,=x,-x 在每个小区间[x,x] 上任取一点5，以x,x,] 为底f(飞)为高的小矩形面积为 A,=f(5)△x 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
在区间[a,b]内插入若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 i i xi A = f ( ) a = x0 x1 xn−1 xn = b [ , ] i 1 i x x − 长度为 i = i − i−1 x x x 在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上任取一点 , i 以 [ , ] i 1 i x x − 为底， f (i ) 为高的小矩形面积为 （i=1,2,…，n）
曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5)△x, i1 当分割无限加细，即小区间的最大长度 2=max{△x,△x2,…△xn} 趋近于零(2→0)时，曲边梯形面积为 A=im∑ f(5)△x 2-→0 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
i n i A f i x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i i A = f x = → lim ( ) 1 0 max{ , , } 1 2 n = x x x 当分割无限加细，即小区间的最大长度 趋近于零 ( 0) → 时，曲边梯形面积为
二 概念和公式的引出 定积分设函数f(x)在区间a,b]上有界.在区间a,b] 内任意插入n-1个分点，a=<x<<x<xn=b 把区间a,b]分成n个小区间【x。x,[,x,…,x1x,] 各个小区间的长度依次为 △x1=x1-X0,△x2=X2-X1,,△xm=Xn-Xm- 在每个小区间xx]上任取一点，(x≤5，≤x),作和式 S=∑f(5,Ax i=1 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
把区间[a,b]分成n个小区间 , , x0 x1 n n x , x , , x , x 1 2 −1 各个小区间的长度依次为 1 1 0 2 2 1 1 , , , = − = − n = n − n− x x x x x x x x x 在每个小区间 i i x , x −1 上任取一点 ( ) i i 1 i i x x − ，作和式 ( ) = = n i i i S f x 1 a x x x x b n n = = 内任意插入n-1个分点， 0 1 −1 定积分 设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b] 二、 概念和公式的引出