第三节导数的应用 ■2.3.1函数的单调性 ■2.3.2函数的极值与最值 Click Here
第三节 导数的应用 2.3.1 函数的单调性 2.3.2 函数的极值与最值
2.3.1函数的单调性 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
2.3.1 函数的单调性 一、案例 二、概念和公式的引出 三、 进一步练习
一、案例 案例1[微波炉中食品的温度] 将一碗冷饭放进微波炉中，其温度T随着时间的 增加而升高.我们称函数T=f()(≥0)是单调增加的 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 案例1[微波炉中食品的温度] 将一碗冷饭放进微波炉中，其温度T 随着时间t的 增加而升高．我们称函数T=f (t) (t 0) 是单调增加的．
囊案例2[路程与速度的关系] ds 若做直线运动的物体的速度0=二>0，则物体 运动的时间越长，路程s)越大，即0是单调增加的 由此可见，函数f(x)单调性与其导数 '(x)的正负符号之间存在着必然的联系。 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
案例2[路程与速度的关系] 若做直线运动的物体的速度 d ( ) 0 d s v t t = ，则物体 f x ( ) 的正负符号之间存在着必然的联系。 由此可见，函数 f x( ) 单调性与其导数 运动的时间越长，路程s(t)越大，即s(t)是单调增加的
二、概念和公式的引出 函数单调性的定义： 对于函数y=f(x),若对任意的x1、x,∈[a,b且 x1fx2) 则称函数y=f(x)在区间[a,b]上单调减少； 如图所示： 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 函数单调性的定义： 对于函数 y = f (x) ，若对任意的x1、 [ , ] x2 a b 且 1 2 x x ，有 ( ) ( ) 1 2 f x f x ，则称函数 y = f (x) 在 区间[a ,b]上单调增加；否则，若有 ( ) ( ) 1 2 f x f x ， 则称函数 y = f (x) 在区间[a ,b]上单调减少； 如图所示：
从上图可以看出，单调增加（减少）函数的图形是一 条沿轴方向上升（下降）的曲线，此时如果函数在 每一点的导数都存在，我们发现曲线在该点处的切线 与轴正向的夹角为锐（钝)角，其斜率为正 函数单调性的判定方法 设函数y=f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间(a,b内可导 专年中南年00年年专中号南号0香e司国0量面e0西年面00年ee国年中香e0中专00南 (1)若f'(x)>0,则函数y=fx)在闭区间[a,b止单调增加 (2)若f'(x)<0,则函数y=f(x在闭区间[a,b1上单调减少 单e单seeue0eee年0 666666880ee年666e●6666866666666666666666 66666668垂ee0ee年0ee 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
设函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导， (1) 若 f (x) 0 ，则函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上单调增加； (2) 若 f (x) 0 ，则函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上单调减少. 函数单调性的判定方法 从上图可以看出，单调增加（减少）函数的图形是一 条沿x轴方向上升（下降）的曲线，此时如果函数在 每一点的导数都存在，我们发现曲线在该点处的切线 与x轴正向的夹角为锐（钝）角，其斜率为正 （负）．
三、进一步练习 囊练习1[石油蕴藏]假设P为在年时地球的石油总 蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生 并且以桶为单位计量出的单位是什么？它有何意义'？ 它的符号为正还是负？为什么？ 解假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的 石油总蕴藏量P()是一单调下降函数. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
三、进一步练习 练习1 [石油蕴藏] 假设P为在t年时地球的石油总 它的符号为正还是负？为什么？ 解 假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源， 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的 石油总蕴藏量P(t)是一单调下降函数. 蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生， t P d d 并且P以桶为单位计量， 的单位是什么？它有何意义？
dp 0)为 dP dt =1.15×1.014)/×n1.014>0 因此中国人▣总数在1993一1995年期间是增长的， 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
d 0 d P t ，因为P的单位是桶， t 的单位是年，所以 t P d d 的单位是桶/年. 练习2 [人口增长] 中国的人口总数P （以10亿 为单位）在1993年—1995年间可近似地用方程 t P = 1.15 (1.014) 来计算，其中t是以1993年为起点 的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在 这段时间是增长还是减少？ 解 中国人口总数在1993—1995年间的增长率(t>0)为 1.15 (1.014) ln 1.014 0 d d = t t P 因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的
2.3.2函数的极值与最值 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
2.3.2 函数的极值与最值 一、案例 二、概念和公式的引出 三、 进一步练习
一、案例 意案例1[易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、 雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高 之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与 高之比约为1：2？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一、案例 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、 雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高 之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与 高之比约为1：2？ 案例1 [易拉罐的设计]