3.4定积分的进一步应用 3.4.1平面图形的面积 3.4.2立体的体积 3.4.3平面曲线的弧长 ■ 3.4.4变力沿直线所作的功 3.4.5压力 ■3.4.6引力 Cliek 3.4.7函数的平均值 Here
3.4 定积分的进一步应用 3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值
3.4.1平面图形的面积 ■一、不规则图形的面积 ■二、进一步练习 Click Here
3.4.1 平面图形的面积 一、不规则图形的面积 二、 进一步练习
一、不规则图形的面积 一般地，求由区间[a,b]上的连续曲线=fx)、yg(x) (g(x)≤f(x)以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积， 如图所示，用微元法分析如下： (I)任意一个小区间[x,x+dx] (其中x、x+dr∈[a,b])上的 窄条为面积dS可以用底宽为dx, 高度f(x)-g(x)的窄条矩形的 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一般地，求由区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)、y=g(x) 一、不规则图形的面积 (g(x) f (x)) 以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积， 如图所示，用微元法分析如下． (1) 任意一个小区间 [ , d ] x x x + （其中x、 x x a b + d [ , ] ）上的 窄条为面积dS可以用底宽为dx， 高度 f (x) − g(x) 的窄条矩形的
面积来近似计算，即面积微元为 ds=[f(x)-g(x)]dx (2)以[f(x)-g(xdx为被积表达式，在区间Ia,b] 上积分，得该平面图形的面积 S=心[f(x)-g(xd 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
面积来近似计算，即面积微元为 dS =[ f (x) − g(x)]dx (2) 以 [ f (x) − g(x)]dx 为被积表达式，在区间 [a,b] 上积分，得该平面图形的面积 = − b a S [ f (x) g(x)]dx
二、进一步的练习 练习1[窗户面积] 某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线， 下方为直线，如图所示，求此弓形的面积 解建立直角坐标系如图所示· 设此抛物线方程为y=-2x2, 因它过点0.8，-0.64) 所以p= 播放 即抛物线方程为y=-x2 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习1 [窗户面积] 二、进一步的练习 某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线， 下方为直线，如图所示，求此弓形的面积． 解 建立直角坐标系如图所示． 设此抛物线方程为 2 y = −2px ， 因它过点 (0.8, 0.64) − ， 所以 2 1 p = 即抛物线方程为 2 y = −x
此图形的面积实际上为由曲线y=-x2与直线 y=0.64所围成图形的面积，面积微元为 dS=-x2-(-0.64)dx 面积为 2 =(-2x2+0.64x)08 ≈0.683(m2) 所以窗户的面积为0.683m2. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
此图形的面积实际上为由曲线 2 y = −x 与直线 y = −0.64 所围成图形的面积，面积微元为 2 d -(-0.64) d S x x = − 面积为 0.8 2 0.8 S x x [ -(-0.64)]d − = − 3 0.8 0.8 2 ( 0.64 ) 3 x x = − + − 0.683 (m２) 所以窗户的面积为0.683m2．
歌练习2[游泳池的表面面积 一个工程师正用CAD(computer-assisted desigen计 算机辅助设计)设计一游泳池，游泳池的表面是 由曲线y=一 800x x2+10,y=0.5x2-4x以及=8围成 的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积· 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
练习2 [游泳池的表面面积] 一个工程师正用CAD（computer-assisted desigen计 算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是 2 2 ( 10) 800 + = x x 由曲线 y , y 0.5x 4x 2 = − 以及x=8围成 的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积．
解 解联立方程组 800x y= (x2+10) y=0.5x2-4x 得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标 大于8.于是，面积微元为 800x dA=[- x2+10月 -(0.5x2-4x)1d 此游泳池的表面面积为 800x 800x +10+10)-(x-2x 400 40018 =77.26(m2) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
解 解联立方程组 2 2 2 800 ( 10) 0.5 4 x y x y x x = + = − 得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标 2 2 2 800 d [ (0.5 4 )]d ( 10) x A x x x x = − − + 此游泳池的表面面积为 8 2 2 2 0 800 [ (0.5 4 )]d ( 10) x A x x x x = − − + 8 2 2 0 800 d ( 10) x x x = + 8 2 0 − − (0.5 4 )d x x x 8 2 2 2 0 400 d( 10) ( 10) x x = + + 8 3 2 0 1 ( 2 ) 6 − − x x 8 2 0 400 x 10 = − + 8 3 2 0 1 ( 2 ) 6 − − x x = 77.26（m２） 大于8．于是，面积微元为
3.4.2立体的体积 ■一、平行截面面积为已知的立体的体积 ■二、旋转体的体积 ■三、进一步练习 Click Here
3.4.2 立体的体积 一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、 进一步练习
一、平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体位于平面x=a、x=b(a<b)如图所示.任意 一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为 A(x),A(x)是[a,b]上的连续函数.该立体介于区间 [x,x+]c[a,b]之间的薄片的体积微元d 可用底面积Ax)、高为d 的柱形薄片的体积近似计算， 从而体积微元为 dV=A(x)dx 插放 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
设一立体位于平面 x=a、x=b（a<b)如图所示.任意 一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为 一、平行截面面积为已知的立体的体积 A(x),A(x)是[a,b]上的连续函数．该立体介于区间 之间的薄片的体积微元dV. [x, x + dx] [a,b] 可用底面积 A(x) 、高为 dx 的柱形薄片的体积近似计算， dV = A(x)dx 从而体积微元为