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第二节 导数的运算 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例[气球体积关于半径的变化率] 现将一气体注入某一球状气球，假定气体的 压力不变.问当半径为2cm时，气球的体积关于 半径的增加率是多少？ 解气球的体积与半径之间的函数关系为 三，3 气球的体积关于半径的变化率为 dy =lim AD dr △r>0△r 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例[气球体积关于半径的变化率] 现将一气体注入某一球状气球，假定气体的 解 气球的体积V与半径r之间的函数关系为 3 3 4 V = r 气球的体积关于半径的变化率为 r V r V r = →0 lim d d 半径的增加率是多少？ 压力不变．问当半径为2cm时，气球的体积关于
其中△V=号xt+y- 言-音+山-r =-π(3r2△+3r△r2+△r3) d △V π(3r2△+3r△2+△r3) 所以 =lim lim dr →0△r △r =4m2 半径为2cm时气球的体积关于半径的变化率为 dr ,-2=4π×22=16π≈50.3(cm) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
其中 所以 2 = 4r 半径为2cm时气球的体积关于半径的变化率为 4 4 3 3 ( ) 3 3 = + − V r r r 4 3 3 [( ) ] 3 = + − r r r 4 2 2 3 (3 3 ) 3 = + + r r r r r r V r V r = →0 lim d d 2 2 3 0 4 (3 3 ) 3 lim r r r r r r r → + + = 2 2 d 4 2 16 50.3 d r V r = = = (cm)
二、概念和公式的引出 1、 基本初等函数的求导公式 (e)'=0 (sinx) cosx (cosx)=-sinx (x“）)=x-I (tanx)=secx (cotx)=-csc2x (secx)=sec x tanx (a*)=a*Ina (cscx)=-cscxcotx (e) =ex (logax) xIn a (arcsinx)= V1-x2 (arccosx)'=- 1-x2 (mx)'= (arctan)=1十x((recot)-+女 1 1 x 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 (c) = 0 (sin x) cos x = (cos x) sin x = − ( x) x 2 tan = sec ( x) x 2 cot = −csc (sec x) = sec x tan x (csc x) = −csc x cot x ( ) −1 = x x (a ) a a x x = ln (e ) e x x = ( ) x a a x ln 1 log = ( ) x x 1 ln = (arcsin x) x = − 1 1 2 ( ) 2 1 1 arccos x x − = − ( ) 2 1 1 arctan x x + = ( ) 2 1 1 arc cot x x + = − 1、基本初等函数的求导公式
2、函数的和、差、积、商的求导法则 设=(x),一(x)都是的可导函数，则 (u±y)=u'±y' (cu) =cz4'(为常数) (uv)=u'v+uv v-w'（其中v≠0) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
2、 函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x) , v=v(x)都是的可导函数，则 (u v) u v = (cu) = cu (c为常数) (uv) u v uv = + （其中 v 0 u v u v uv v = − 2 ）
3、复合函数的求导法则 设y=f(u),u=p(x)y=f八p(x)】可导，则 复合函数的导数为业-业.d或 dx du dx {f[p(x)]}'=f'[p(x)]p'(x) 此法则又称为复合函数求导的链式法则 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
3、复合函数的求导法则 { [ ( )]} [ ( )] ( ) f x f x x = 此法则又称为复合函数求导的链式法则． 设 y = f (u)，u = (x) y = f[(x)] 可导，则 d d d d d d y y u x u x 复合函数的导数为 = 或
三、进一步练习 练习1[电流]电路中某点处的电流是通过该点处的 电量关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为 q(t)=t3+t。 (1)求其电流函数()？ (2)=3时的电流是多少？ (3)什么时候电流为28？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
三、进一步练习 练习1 [电流]电路中某点处的电流i是通过该点处的 (1)求其电流函数i(t) ？ (2)t=3时的电流是多少？ (3) 什么时候电流为28？ 电量q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为 q t = t +t 3 ( )
0)i0=9=(+y=(y+0 解 dr =32+1 (2)i(3)=(32+1)=3=3×32+1=28 (3)解方程i(t)=3t2+1=28得t=3 即当t=3 it)=28 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
解 d ( ) d q i t t (1) = = ( 3 t t + ) 3 = + （ ) t t ( ) 2 = + 3 1 t (2) 2 3 (3 1) t t + = i(3) = 2 = + = 3 3 1 28 (3) 解方程 2 i(t) = 3 1 28 t + = 得 t = 3 即当 t = 3 i t( ) 28 =
7 练习2[速度]已知某物体做直线运动，路程（单位：m) 与时间（单位：s)的关系为s=(t+1)t+1),求物体在 1=3s时的速度？ 解物体运动的速度为 乘积的求导 法则 C+1+=f+e+++04y ds V= =32+21+1 ds =(32+21+13=3×9+2×3+1=34 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习2 [速度]已知某物体做直线运动，路程(单位:m) 与时间t(单位:s)的关系为 2 s t t = + + ( 1)( 1) ，求物体在 解 物体运动的速度为 d d s v t = = 2 [( 1)( 1)] t t + + 2 2 = + + + + + ( 1) ( 1) ( 1)( 1) t t t t 2 = + + 3 2 1 t t 乘积的求导 法则 t = 3 s时的速度？ 3 3 d d t t s v t = = = 2 3 (3 2 1) t t t = + + = = + + 3 9 2 3 1= 34
练习3[电压的变化率]一个电阻为3Q,可变电阻 R为的电路中的电压由下式给出y= 6R+25 R+3 求在R=7时电压关于可变电阻的变化率 解电压关于可变电阻的变化率为 商的求导 法测 p”=6R+25y=6R+3)-(6R+25) -7 R+3 (R+3)2 (R+3)7 在R=7Q时电压关于可变电阻R的变化率为： V八R=1 102 =-0.07 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
R为的电路中的电压由下式给出： 3 6 25 + + = R R V 解电压V关于可变电阻R的变化率为： 2 6 25 6 3 3 3 R R R V R R + + + = = + + （ ）-（6 25） （ ） （ ） 2 R 3 = + -7 （ ） 商的求导 法则 在 R = 7 时电压关于可变电阻R的变化率为： 7 2 7 0.07 10 V R= = − = − 练习3 [电压的变化率] 一个电阻为 3 ，可变电阻 求在 R = 7 时电压关于可变电阻R的变化率．