第三节 函数的连续性 一、案例 二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
第三节 函数的连续性 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、 案例[人体高度的连续变化] 我们知道，人体的高度是时间的函数（①）， 随着的变化而连续变化。事实上，当时间的 变化△很微小时，人的高度的变化△h也很微小 即当△t-→0时，△h→0。 由此可见，可以用极限给出函数连续的概念。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、 案例 [人体高度的连续变化 ] 我们知道，人体的高度h是时间t的函数h(t)， 由此可见，可以用极限给出函数连续的概念。 h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的 变化 t 很微小时，人的高度的变化 h 也很微小， 即当 t → 0 时， h → 0
二、 概念和公式的引出 函数的增量 若设变量从一个初值，变到终值42， 终值与初值之差u2-u,称为变量的增量，记作△u。 即 △u=u2-u 设函数f(x)在点x的附近内有定义，当自变量x在点x。 取得增量△x=x-x时，函数 y fx)相应的增量为（如右图） △y=fx,+△x)-fo) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 函数的增量 若设变量u从一个初值u1变到终值u2， 终值与初值之差u2 -u1称为变量u的增量，记作 u 。 即 u = u2 −u1 设函数f (x)在点x0的附近内有定义，当自变量x在点x0 取得增量 0 x = x − x 时，函数 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x f (x)相应的增量为（如右图）
函数连续 设函数x)在点，的附近有定义，若 Im△y=0,（或1mf(x)=f(x,)）,则称函数x)在点x。 △X→0 连续，否则称函数x)在点x间断。 如果函数x)在开区间（a,b)内每点连续，则称函数 x)在开区间内连续。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
函数连续 设函数f(x)在点x0的附近有定义，若 连续，否则称函数f(x)在点x0间断。 如果函数f(x)在开区间（a,b) 内每点连续，则称函数 lim 0 0 = → y x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = ，（或 → ），则称函数f(x)在点x0 f(x)在开区间内连续
函数f(x)在点x连续，必须满足下列三个条件： (1)函数f(x)在点x处有定义； (2)mfx)存在； (3)1im/=f) 简单地说，连续函数的图形能一笔画成。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
简单地说，连续函数的图形能一笔画成。。 函数f (x)在点x0连续，必须满足下列三个条件： （1）函数f (x)在点x0处有定义； （2） lim ( ) 0 f x x→x 存在； （3） 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =
由函数连续的定义可以看出：函数f(x)在点x连续 函数f(x)在点x处连续→ lim f(x)=f() 即若函数f(x)在点x,连续，则函数f(x)在点x处的 极限等于函数f(x)在点x处的函数值∫(x) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
由函数连续的定义可以看出：函数f (x)在点x0连续 函数 f (x)在点x0处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 即 若函数f (x)在点x0连续，则函数f (x)在点x0处的 极限等于函数f (x)在点x0处的函数值f (x0 )
根据函数=f(x)在点x处的极限情况，函数的间断点 可分为以下两类： 第一类间断点：，f)m,f(w)都存在的间断点： 第二类间断点：不为第一类间断点的间断点· 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
根据函数y= f (x)在点x0处的极限情况，函数的间断点 可分为以下两类： 第一类间断点： 第二类间断点：不为第一类间断点的间断点． x→ lim x0 +0 f (x) 、 x→ lim x0 −0 f (x) 都存在的间断点；
5三、 进一步练习 练习1[电流的连续性] 如导线中电流通常是连续变化的，但当电流 增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就 突然为0，这时连续性被破坏而出现间断。 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
三、 进一步练习 练习1 [电流的连续性] 如导线中电流通常是连续变化的，但当电流 突然为0，这时连续性被破坏而出现间断。 增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就
练习2[矩形波的连续性] 无线电技术中会遇到如图所示的 电压波形（矩形波），显然电压在 21,-1,0,1,21等处发生间断。 -21 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习2 [矩形波的连续性] 无线电技术中会遇到如图所示的 -2l , -l , 0 , l , 2l 等处发生间断。 电压波形（矩形波），显然电压在
练习3[出租车费] 设某城市出租车白天的收费（单位：元） 与路程x(单位km)之间的关系为 5+1.2x, 0≤x≤7 f(x)= 13.4+2.1(x-7x>7 (1)求imf(x) X→】 （2)f(x)是连续函数吗？ 高等应用数学CA|电子教案 上页下页巡回
练习3 [出租车费] 设某城市出租车白天的收费y(单位:元) 7 0 7 13.4 2.1( 7) 5 1.2 , ( ) + − + = x x x x f x lim ( ) 7 f x （ x→ 1）求 （2） f (x) 是连续函数吗？ 与路程x（单位:km）之间的关系为：