内容简介 自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等
本课件由王科设计、开发 自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等。 内容简介
5.1周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 ■三、进一步的练习 Click Here
5.1 周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[矩形波的叠加] 周期函数可表示为f(T+)片f(①)，T为函数 F(①)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 f(x)=Asin(wt+o) 其中A为振幅，w为角频率，p为初相。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
本课件由王科设计、开发 一、案例 [矩形波的叠加] 周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 f (x) = Asin( wt +) 其中A为振幅， w 为角频率， 为初相
电子技术中常用的周期的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示： -0.8 0.4 播放 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示：
，二、 概念和公式的引出 三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为 其中ao,an,bn(n=1,2,)为常数。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 二、 概念和公式的引出 三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k n n a nx b nx a f x 其中 , , ( 1,2, ) a0 an bn n = 为常数
傅里叶级数 设f(x)是周期为2π的周期函数，如果 a= f(x)cos nxdx(n=0,l,2,3,…） b,=-" f(x)sin nxdx (n =1,2,3,..) 存在，则称它们为函数f(x)的傅里叶系数，由傅 里叶系数组成的三角级数 k=1 称为傅里叶级数。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
本课件由王科设计、开发 傅里叶级数 存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅 里叶系数组成的三角级数 设f (x)是周期为 2 的周期函数，如果 a f x nx x n ( ) cos d 1 − = (n = 0,1,2,3, ) b f x nx x n ( )sin d 1 − = (n =1,2,3, ) = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k n n a nx b nx a f x 称为傅里叶级数
收敛定理 (狄利克雷充分条件)若周期为2π 的周期函数fx)满足条件 (1)在区间[-π，π]连续或只有有限个第一类间断点； (2)在区间[-π，π]只有有限极值点 则函数f(x)的傅里叶级数收敛，且 (1)当是连续点时，级数收敛于f(x)； (2)当是间断点时，级数收敛于(x-0)+fx+0) 2 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 收敛定理 的周期函数f (x)满足条件 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2 （1）在区间 [−, ] 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间 [−, ] 只有有限极值点， 则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ； （2）当是间断点时，级数收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0)
三、进一步的练习 ←@练习1[脉冲矩行波] 脉冲矩形波的信号函数f(x)是以2π为周期 的周期函数，它在[-π，π]的表达式为 ,-π≤x<0 f(x) fx:) 0≤x<π 如右图所示，求此函数的 2元 2m方 傅里叶级数展开式。 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 三、进一步的练习 练习1 [脉冲矩行波] 如右图所示，求此函数的 脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2 为周期 的周期函数，它在 [−, ] 的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 傅里叶级数展开式
解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下 因为函数f(x)是奇函数，所以/(x)cosx是奇函数， 因此f(x)cosx(-元，π)上积分为零.于是 an=0(n=1,2,…) ()sindx =sin mdx =2( -cosnπ） n元 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下: 因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数， 因此f (x) cosnx （− ,） 上积分为零．于是 an = 0 （n =1,2, ） 0 2 ( )sin d n b f x nx x = = 0 sin d 2 nx x 0 cos 2 1 = − nx n (1 cos ) 2 n n = −
4 n=13,5. 1-(-1)”1= 1nπ n元 0 n=2,4,6 于是，函数f(x)的傅立叶级数展开式为 f=mx+5n3x+m5x+ 2n- sn2n-1)x+] 由收敛定理知函数f(x)在 (-0<x<+0,x≠kπ，k=0,士1，±2 范围内与级数相等，即 f(x)=[sin x+sin 3x+sin 5x+ -sin(2n-1)x+...] 2n-1 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
本课件由王科设计、开发 2,4,6 1,3,5 0 4 [1 ( 1) ] 2 = = = − − = n n n n n 于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为 sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 ( ) − + − = + + + + n x n f x x x x 由收敛定理知函数f (x)在 (− x +, x k, k = 0,1,2) 范围内与级数相等,即 sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 ( ) − + − = + + + + n x n f x x x x