背景 1676年，贝努利(Bernoulli)致牛顿的信中第一 次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才 成为一门独立的学科微分方程建立后，立即成为探 索现实世界的重要工具·
1676年，贝努利(Bernoulli）致牛顿的信中第一 次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才 成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探 索现实世界的重要工具． 背 景
4.1微分方程的概念 一案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训 Cliek Here
4.1 微分方程的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 案例1[曲线方程] 我们已知曲线过点(1,2)，且曲线上任 一点M(x,处切线的斜率是该点横坐标的 倒数，求此曲线方程. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例 我们已知曲线过点(1, 2)，且曲线上任 一点M(x, y)处切线的斜率是该点横坐标的 倒数，求此曲线方程． 案例 1 [曲线方程 ]
解设曲线方程为y=x),于是曲线在点Mx)处 切线的斜率为票.根据题意有 dy 1 (1)》 dx x 又曲线过点(1,2)，故有 y川x1=2 (2》 对式(1)两边积分，得 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
对式（1）两边积分，得 解 设曲线方程为y=y(x),于是曲线在点M(x,y)处 （1） 又曲线过点（１,２），故有 （2） 切线的斜率为 ．根据题意有
y=∫x=x+C 将式(2)代入上式，得 2=1n1+C,即C=2. 故所求曲线方程为 y=In x+2 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
将式（2）代入上式，得 ，即C=2. 故所求曲线方程为
x案例2[自由落体运动] 一质量为m的质点，在重力作用下自由下 落，求其运动方程 00 播放 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一质量为m的质点,在重力作用下自由下 落,求其运动方程. 案例2 [自由落体运动]
解建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始下 落点，轴铅直向下设在时该刻质点的位置为0，由于质点 只受重力mg作用，且力的方向与轴正向相同，故由牛顿 第二定律，得质点满足的方程为 ma=m. =mg dr" 即 d'y dt? =g 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始下 落点,y轴铅直向下.设在时刻t质点的位置为y(t),由于质点 只受重力mg作用,且力的方向与y轴正向相同，故由牛顿 第二定律，得质点满足的方程为 即: g dt d y 2 2 =
方程两边同时积分，得： dy =g1+C dr 上式两边再同时积分，得： y=8r+C1+C 其中℃，是两个独立变化的任意常数. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
方程两边同时积分，得: 上式两边再同时积分，得 : 1 2 2 2 1 y = gt +C t +C 其中 1 C 是两个独立变化的任意常数． 2 C , 1 d d y gt C t = +
二、概念和公式的引出 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自 变量之间关系的方程，称为微分方程.微分方程 中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程 的阶. 如，案例刚1中的微分方程出-士是一阶微分方程： 案例2中的微分方程 =g是二阶微分方程 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自 变量之间关系的方程，称为微分方程．微分方程 中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程 的阶． x x y 1 d d 例如，案例1中的微分方程 = 是一阶微分方程； g t y = 2 2 d 案例 d 2中的微分方程 是二阶微分方程． 二、 概念和公式的引出
任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解，求 微分方程的解的过程，称为解微分方程.例如，在案例1 中，函数y=ln是微分方程 的解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的 通解.例如，在案例1中y=lnr是微分方程dy的1 dx 通解.在案例2中少=+是微分方程 的y =g 通解 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
中，函数 y x C = + ln 是微分方程 的解。 d 1 d y x x = 通解．例如，在案例1中， y x C = + ln 是微分方程 d 1 的 d y x x = 任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解．求 微分方程的解的过程，称为解微分方程．例如，在案例1 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的 2 1 2 1 2 y gt C t C = + + 2 2 d d y g t 通解．在案例2中， 是微分方程 的 = 通解