背景 本章讨论函数的导数与微分.历史上， 导数概念产生于以下两个实际问题的研 究.第一：求曲线的切线问题；第二：求非 均速运动的速度.作曲线的切线问题一是 微分学的基本问题.这一概念打开了通向数 学知识与真理的巨大宝库之门
本章讨论函数的导数与微分．历史上， 导数概念产生于以下两个实际问题的研 究．第一：求曲线的切线问题；第二：求非 均速运动的速度．作曲线的切线问题——是 微分学的基本问题．这一概念打开了通向数 学知识与真理的巨大宝库之门。 背 景
17世纪后期出现了一个崭新的数学分 支数学分析（微积分），它在数学领域中 占据着主导地位。这种新数学的特点是：非 常成功地运用了无限过程的运算，即极限运 算。而其中的微分和积分这两个过程则构成 了微分学与积分学的核心。 在数学的发展中，费马、伽利略、开普 勒都对微积分的诞生作出过贡献，微积分的
17世纪后期出现了一个崭新的数学分 支—数学分析（微积分），它在数学领域中 占据着主导地位。这种新数学的特点是：非 常成功地运用了无限过程的运算，即极限运 算。而其中的微分和积分这两个过程则构成 了微分学与积分学的核心。 在数学的发展中，费马、伽利略、开普 勒都对微积分的诞生作出过贡献，微积分的
系统发展归功于两位伟大的科学先驱--牛 顿和莱布尼兹。这一系统成功地发现：过去 一直分别研究的微分和积分实际上是两个互 逆的运算。 恩格斯(F.Engles,德，1820-1895)指出： “在一切理论成就中，未必再有什么像17世 纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神 的最高胜利了
系统发展归功于两位伟大的科学先驱----牛 顿和莱布尼兹。这一系统成功地发现：过去 一直分别研究的微分和积分实际上是两个互 逆的运算。 恩格斯（F.Engles,德，1820-1895）指出： “在一切理论成就中，未必再有什么像17世 纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神 的最高胜利了
阿基米德 费尔马 牛顿 Archimedes Newton 前287-前212 Pierre de Fermat 1601-1665 1642-1727 古希腊数学家 英国物理学 和物理学家.在 法国数学家 数学上，他利用 律师.业余研究 家和数学家 他在物理学上 穷竭法解决了许 数学.解析几何 的创始人·有著 最主要的成就 多复杂的曲线或 名的“费尔马大 是发现了万有 曲面围成的平面 图形或立方体的 定理” ·1638年 引力定律数学 上，他与德国 求积问题 发现求极值的方 法，是微积分学 莱布尼兹创建 的先驱. “微积分学 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
Newton 1642 —1727 英国物理学 家和数学家 ． 他在物理学上 最主要的成就 是发现了万有 引力定律 .数学 上 ，他与德国 莱布尼兹创建 了“微积分学 ” 阿基米德 费尔马 Archimedes 前287—前212 古希腊数学家 和物理学家 ． 在 数学上 ，他利用 穷竭法解决了许 多复杂的曲线或 曲面围成的平面 图形或立方体的 求积问题 ． 牛 顿 Pierre de Fermat 1601 —1665 法国数学家 ． 律师 ．业余研究 数学 ．解析几何 的创始人 ．有著 名的 “费尔马大 定理 ” ．1638 年 发现求极值的方 法，是微积分学 的先驱 ．
第一节导数一瞬时变化率 ■一、案例 ■二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
第二章 第一节 导数一元微分学及其应用 —瞬时变化率 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
思考与探索： 假设你准备用10万元进行投资，现有A、B两 个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是 固定的：项目A在2个月内的收益为0.6万元，项 目B在3个月内的收益为0.8万元，问： 你会选择哪个项目投资？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
思考与探索： 假设你准备用10万元进行投资，现有A、B两 个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是 固定的：项目A在2个月内的收益为0.6万元，项 目B在3个月内的收益为0.8万元，问： 你会选择哪个项目投资？
导数研究的问题 一变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度． 变化率问题
一、案例[汽车的行驶速度] 单位时间通过 的路程 As 若物体作匀速直线运动，则其速度为常量V三 At 例如：小王驱车到80m外的一个小镇，共用了2个 小时，F=少=80-40m为汽车行驶的平均 1t2 速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在 不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算 汽车行驶的瞬时速度呢？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
汽车行驶的瞬时速度呢? 例如：小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个 一、案例 [汽车的行驶速度] 若物体作匀速直线运动，则其速度为常量 Δt Δs v = 单位时间通过 的路程 小时， 40 2 80 = = = Δt Δs v (km/h)为汽车行驶的平均 速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在 不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算
一般地： 设S是某一物体从某一选定时刻到时刻所走过的 路程，则S是1的一个函数 S=S(t) 下面讨论物体在任—时刻，的瞬速度。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的 下面讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度。 S = S(t) 路程，则S是t 的一个函数 一般地：
校本 [to,t+△] △S=S(t+△t)-Sto) 0 skta)st+At)S △内的平均速度为 v=AS_S6,+以-S6) △t △t △1很小时速度的变化不大，可以以匀速代替。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
t 很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替。 t 内的平均速度为 [ , ] 0 0 t t + t ( ) ( ) 0 0 S = S t + t − S t O s ( ) 0 s t s(t + t) 0 ( ) ( ) t S t t S t t S v + − = = 0 0