3.5反常积分 一、案例 二、概念和公式的引出 ■三、进一步练习 Click Here
3.5 反常积分 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例[单位脉冲函数δ-函数] 在电学与信号分析中，单位脉冲函数-函数满足 以下条件： 0t≠0 δ(t)= 00 t=0 6t)d=1 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
在电学与信号分析中，单位脉冲函数-函数满足 一、案例 [单位脉冲函数 -函数] = = 0 0 0 ( ) t t t ( ) =1 + − t dt 以下条件：
二 概念和公式的引出 广义积分 设函数x)在区间a,+∞)内连续。取b>a, 如果极限m心：存在，则称一广为函数 x)在无穷区间[a,+∞)内的反常积分，记作d 即 fk=m心f 此时，称反常积分(x)k收敛；如果上述极限不存在 则称反常积分 ”fk发散。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
二、 概念和公式的引出 广义积分 ( ) →+ = b b a ( ) lim f x dx + a 即 f x dx 设函数f(x)在区间 a,+) 内连续。取b>a， ( ) →+ b b a lim f x dx ( ) →+ b b a 如果极限 存在，则称 lim f x dx 为函数 ( ) + a 内的反常积分，记作 f x dx f(x)在无穷区间 a,+) ( ) + a 此时，称反常积分 f x dx 收敛；如果上述极限不存在， ( ) + a 则称反常积分 f x dx 发散
类似以地，如果极限im∫f(x)d存在，则函数f(x) 在区间（∞，b]上的反常积分为 心fk-m心fad f()d=mf()d+im心f()d 上述三种反常积分统称为无穷区间上的反常积分。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
( ) − b f x dx lim d ( ) b a a f x x →− = f x x ( )d + − ( ) 0 lim d a a f x x →− = ( ) 0 lim d b b f x x →+ + 上述三种反常积分统称为无穷区间上的反常积分。 lim d ( ) f (x) b a a f x x →− 类似地，如果极限 存在，则函数 在区间 (− ,b 上的反常积分为
三、进一步的练习 练习1[函数] T函数对所有x>0由下式定义 I(x)=[r-e'dr 求r)和r(2)。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
练习1 [ 函数 Γ ] 1 0 ( ) d x t x t e t − − = 三、进一步的练习 Γ 函数对所有 x 0 由下式定义 求 (1) 和 (2)
解 O)-f"edr =(-e)=-(0-1)=1 r(2)=f"redr=[-ide =(-e0-erd-0 =-(e'0=l 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
解 = (1) 0 d t e t + − 0 ( )t e − = − = − − (0 1) =1 2 1 0 (2) dt t e t + − − = 0 d t t e + − = − 0 0 ( ) d( ) t t te e t + + − − = − − − 0 ( )t e + − = − =1
练习2电能 在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度可以 近似地表示为r=e(单位：h),求当t→∞ 时总电能E是多少？ 解t→∞时总电能E为 E=0=ed=-」 tde =-te""-"e'dr 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习2[电能] 在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度 可以 时总电能E是多少？ t r te− 近似地表示为 = （单位：h），求当 t → 解 t → 时总电能E为 0 0 0 d d d t t E r t te t t e + + + − − = = = − ( 0 0 ) d t t te e t + + − − = − − ( 0 ) t e + − = − =1