第五节 函数的微分及其应用 ■一、案例 ■三、概念和公式的引出 三、进一步练习 Click Here
第五节 函数的微分及其应用 一、案例 二、 概念和公式的引出 三、进一步练习
一、案例 [热长冷缩] 考察当金属片受热边长由x,变到x,+△x时金属片 面积增加了多少？ 边长为x的正方形面积为s=x2 当边长从x变到x+△x时，面积增量 AS=(x+△x)2-x02=2x,△x+(x)月 可以看出，面积的增量△S 可近似地用2x,△x(绿色部分)代替， 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例 [热长冷缩] 考察 面积增加了多少？ 当金属片 0 x 变到 x + x 受热边长由 0 时，金属片 边长为x的正方形面积为s=x 2 当边长从 x0 变到 x0 + x 时，面积增量 2 0 2 0 2 0 S = (x + x) − x = 2x x + (x) 可以看出，面积的增量 S 可近似地用 2x0 x （绿色部分）代替
二、 概念和公式的引出 微分 设函数f(x)在点xo的附近可导，则"(x,)d 称为函数f(x)在点的微分，记作dy 一般地，函数在任一点处的微分为dy=f"(x)d 播放 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
二、 概念和公式的引出 设函数f (x)在点x0的附近可导，则 0 f x x ( )d 称为函数f (x)在点的微分，记作 0 d x x y = 一般地，函数在任一点处的微分为 d ( )d y f x x = 微分
微分在近似计算中的应用当自变量的增量△x很小时， d少≈△y即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算 在实践中往往利用微分函数增量的近似值。 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
微分在近似计算中的应用 当自变量的增量 x 很小时， dy y 即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算． 在实践中往往利用微分函数增量的近似值
三、进一步练习 必练习1[金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm,当金属受热 边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的 改变量又是多少？ 解体积的微分为dV=(x)'dx=3x2dx=3x△x 将x=2,△x=0.01代入上式，得体积的微分 x=2=3×22×0.01=0.12(cm3) △x=0.01 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
三、进一步练习 练习1 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 将 x = 2, x = 0.01 代入上式，得体积的微分 2 0.01 d x x V = = 2 3 = = 3 2 0.01 0.12(cm ) 边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的 体积的微分为 3 2 2 解 d ( ) d 3 d 3 V x x x x x x = = = 改变量又是多少？
在x=2,△x=0.01处体积的改变量为 x=2(2+0.01）)3-23=0.1206(cm3) Ax=0.01 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
在 x = 2, x = 0.01 处体积的改变量为 2 0.01 x x V = = 3 3 3 = + − = (2 0.01) 2 0.1206(cm )
必练习2[电压改变量]设有一电阻负载R=252 现负载功率P从400W变到401W,求负载两端电压 的改变量。 解由电学知，负载功率P=即=√心 故 -dP dp 因为P=400,R=25,dp=1 所以电压的改变量为 25 △u≈ 2√25×400 ×1=0.125(V) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
练习2 [电压改变量] 设有一电阻负载 R=25 现负载功率P从400W变到401W，求负载两端电压 u的改变量。 故 d d d d RP u P P = d 2 R P PR = 因为P=400，R=25，dp=1, 1 2 25 400 25 u = 0.125 （V） 由电学知，负载功率 R u P 2 解 = 即 u = RP ， 所以电压u的改变量为
练习3[收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入 函数为？=6-号，其中为公司一天的产量，如果公司 每天的产量从250增加到260，请估计每天的收入增加量 解公司每天产量的增加量为△x=10,用dR估计每天的 收入增加量，则 △R 4r=10≈dR 4r=10=(36x =(36- )△x 10 4x=10 x=250 x=250 x=250 =(360-x儿x-250=110 高等应用数学CAl电子教案 上页下页巡回
练习3 [收入增加量] 函数为 20 36 2 x R = x − ，其中x为公司一天的产量，如果公司 每天的产量从250增加到260，请估计每天的收入增加量． 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入 收入增加量，则 解公司每天产量的增加量为 =x 10 ，用dR估计每天的 10 10 250 250 x x x x R dR = = = = 10 250 2 (36 ) 20 x x x x x = = = − 10 250 (36 ) 10 x x x x = = = − 250 (360 ) 110 x x = − = =
练习5[钟表误差]一机械挂钟的钟摆的周期为1s,在冬 季，摆长因热涨冷缩而缩短了0.01cm,已知单摆的周 期为T=2g ,其中g=980cm/s,问这只钟每秒大约快 还是慢多少？ 解因为钟摆的周期为1秒，所以有 1=2rg 解之得摆的原长为1-2品，又摆长的改变量为 △1=0.01厘米，用dT近似计算△T,得 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
练习5 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬 季，摆长因热涨冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周 期为 g l T = 2 ，其中 g = 980 cm/s，问这只钟每秒大约快 还是慢多少？ 解 因为钟摆的周期为1秒，所以有 g l 1 = 2 解之得摆的原长为 2 (2 ) g l = ，又摆长的改变量为 = − l 0.01厘米，用dT 近似计算 T ，得
△T≈dT=号 △=π △ g 将1=8 (2x) △1=0.01代入上式得 △T≈dT=π =△1= =×(-0.01 gl (2π)2 2π2 ×(-0.01)≈-0.0002(S) g 这就是说，由于摆长缩短了0.01cm,钟摆的周期 相应地缩短了约0.0002s. 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
dT 1 T dT l l dl gl = = 将 2 (2 ) g l = ， = − l 0.01 代入上式得 ( 0.01) (2 ) 1 2 − = = g g l gl T dT 这就是说，由于摆长缩短了0.01cm，钟摆的周期 相应地缩短了约0.0002s． 2 2 ( 0.01) 0.0002 g = − − (s)