6.3用初等变换求解线性方程组 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 click Here
6.3 用初等变换求解线性方程组 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[产品数量] 一工厂有1000h用于生产、维修和检 验.各工序的工作时间分别为P,M,I,且 满足：P+M什=1000，P=-100,P+=M什100， 求各工序所用时间分别为多少？ 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
一、案例[产品数量] 一工厂有1000h用于生产、维修和检 验．各工序的工作时间分别为P，M，I，且 满足：P+M+I=1000,P=I-100,P+I=M+100， 求各工序所用时间分别为多少？
解 由题意得 P+M+I=1000 P-I=-100 P-M+I=100 该方程组的增广矩阵为 1 111000 -100 -11 100 下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
该方程组的增广矩阵为 解 由题意得 1000 100 100 P M I P I P M I + + = − = − − + = 1 1 1 1000 1 0 1 100 1 1 1 100 A = − − − 下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简
1 11000 1 0-1-100 -1-100 今1 111000 -1 1 100 1 -11 100 10 -1 -100 10-1-100 1→0121100 +→0121100 0-12200 0041300 10-1-100 上式最后一个矩阵 0121100 的特点是： 0041300 它的任一行的第一个非零元素所在的列中，这 个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称 为阶梯形矩阵 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
1 1 1 1000 1 0 1 100 1 1 1 100 A = − − − 1 2 1 0 1 100 1 1 1 1000 1 1 1 100 r r − − ⎯⎯⎯→ − 2 1 3 1 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 1 2 200 r r r r − − − − ⎯⎯⎯→ − 3 2 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300 r r + − − ⎯⎯⎯→ 它的任一行的第一个非零元素所在的列中，这 个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称 为阶梯形矩阵． 上式最后一个矩阵 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300 − − 的特点是：
下面用初等行变换继续化简矩阵 0-1 -100 /10-1 -100 0 12 1100 0121100 0 04 1300 00 1 325 1+5 100225Y -2x5→010450 001325 最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1， 它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化 矩阵写出它所对应的方程组的解为 P=225,M=450,I=325 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回
下面用初等行变换继续化简矩阵. 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300 − − 3 1 4 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 1 325 r − − ⎯⎯⎯→ 1 3 2 3 2 1 0 0 225 0 1 0 450 0 0 1 325 r r r r + − ⎯⎯⎯→ 最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1， 它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化 矩阵.写出它所对应的方程组的解为 P M I = = = 225, 450, 325
二、 概念和公式的引出 矩阵的秩 对给定的m×n矩阵，在矩阵经过初等 变换得到的阶梯矩阵中，非零元素的行数r,称为 矩阵的秩.记作R(A)=r· 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
对给定的 m×n矩阵，在矩阵经过初等 变换得到的阶梯矩阵中，非零元素的行数r ，称为 二、 概念和公式的引出 矩阵的秩 矩阵的秩．记作R（A）= r ．
线性方程组有解的判定定理 au+a12x2+.+aix =b 线性方程组 a21x1+422X2+…+a2nXm=b2 amx+am2X2++amnxn =bm 有解的充分必要条件是R(①=RA (I)当R)=R=n时，方程组有唯一解 (2)当R4)=Rkn时，方程组有无穷多组解. (3)当RA)≠Ra 时，线性方程组无解 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
线性方程组有解的判定定理 线性方程组 + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A) (1)当 R(A) = R(A)= n 时，方程组有唯一解； (2)当 R(A) = R(A) n 时，方程组有无穷多组解． (3)当 R(A) R(A) 时，线性方程组无解．
a a12 b 其中A= a21 a22 X= B= : .: am2 A=(4B)称为线性方程组(6.2.1)的增广矩阵，即 a12 a b d22 am2 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
A = (A B) 称为线性方程组(6.2.1)的增广矩阵，即 其中 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = n x x x X 2 1 = n b b b B 2 1 = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1
特别地，对于齐次线性方程组 a1X1+a12X2+…+a1nxn=0 a21x1+a22X2++a2nxn=0 am+am22+amn=O a a12 ain0 A= a21 a22 …a2n0 : am2 a0 显然：R(4)=R(A),总有解（至少有零解） 高等应用数学CAI电子教案 上页下页巡回
特别地，对于齐次线性方程组 = 0 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 m m mn n n a a a a a a a a a A 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 显然： R(A) = R(A) ，总有解（至少有零解）．
齐次线性方程组有解的判定定理 齐次线性方程组(6.3.2)总有解， (1)当R④)=Ra=n时，方程组有零解： (2)当R4)=Rdkn时，则方程组有无穷多组非零解 (有n-个自由变量) 高等应用数学CAI电子教案 上页下页返回
齐次线性方程组（6.3.2）总有解， 齐次线性方程组有解的判定定理 (1)当 R(A) = R(A)= n 时，方程组有零解； (2)当 R(A) = R(A) n 时，则方程组有无穷多组非零解． （有n-r个自由变量）．