第3章 导数的应用 3.1罗比塔法则 3.2拉格朗日中值定理及函数的单调性 3.3函数的极值与最值 3.4函数图形的凹向与拐点 J☑因☑
第3章 导数的应用 3.1 罗比塔法则 3.2 拉格朗日中值定理及函数的单调性 3.3 函数的极值与最值 3.4 函数图形的凹向与拐点
3.1罗必塔法则 3.1.1罗比塔法则 3.1.2内容小结 J☑I☑
3.1 罗必塔法则 3.1.1 罗比塔法则 3.1.2 内容小结
3.1.1罗比塔法则 0型未定式 1. 0 定理1设(1)当x→x,时，函数f(x)及p(x)都趋于零， (2)在点x的某邻域内（点x本身可以除外）， f"(x)及p'(x)都存在且o'(x)≠0， (3)1im/存在（或为无穷大）， p'(x) 那么， lim)=lim f'(x) e(x)'(x) ☒DW☑
3.1.1 罗比塔法则 定理 1 设(1)当 0 x → x 时，函数 f (x)及 (x)都趋于零, (2)在点 0 x 的某邻域内（点 0 x 本身可以除外）， f (x)及 (x)都存在且(x) 0, (3) ( ) ( ) lim0 x f x x x → 存在（或为无穷大）, 那么， ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim0 0 x f x x f x x x x x = → → . 1. 0 0型未定式
说明： (①)如果，当x→x,时仍属型时，且这时 p'(x) f'(x入po'(x)能满足定理中f(x)p(x)所要满足的条件， 那未可继续再用罗必塔法则. (2)定理中的x→x,换为x→∞（或其他趋势)时，结 论也成立 ☒厅因☑
说明： (1) 如 果 ( ) ( ) x f x ， 当 0 x → x 时仍属 0 0 型时，且这时 f (x)、(x)能满足定理中 f (x)、(x)所要满足的条件， 那未可继续再用罗必塔法则. (2)定理中的 0 x → x 换为 x → （或其他趋势）时，结 论也成立
例1求1imna匹(b≠0) sinbx 解lim sinax =lim acosax=a sinbx bcosbx b 例2求1im-3x+2 -x+1 解lim x+王 3x2-3 6x3 lim- =lim x3-x2-x+13x2-2x-16x-22 注意：上式中的1im6x,已不是未定式，不能再应用罗 16x-2 必塔法则.否则将导致错误结果」 J☑因☑
解 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 3 2 lim 2 1 2 3 2 1 3 1 = − = − − − = − − + − + → → → x x x x x x x x x x x x x 注意：上式中的 6 2 6 lim1 − → x x x 已不是未定式,不能再应用罗 必塔法则.否则将导致错误结果. 解 b a b bx a ax bx ax x x = = → → cos cos lim sin sin lim0 0 例 1 求 ( 0) sin sin lim 0 → b bx ax x 例 2 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x
2.”型未定式 00 定理2设f(x)小、p(x)在点x的某个去心邻域内有定义，若 (1)lim f(x)=lim(x)=o; (2)f(x)、p(x)在点x,的某个去心邻域内可导，且 p'(x)≠0； (3》1m存在（或为无穷大）， 0'(x) 则 1im/w）-1imJ'(y 0(x)0'(x) 定理2中x→x,换为x→o(或其它情形)时，结论也成立 ☒DW☑
定理 2 设 f (x)、(x)在点 0 x 的某个去心邻域内有定义，若 （1） ( ) = ( ) = → → f x x x x x x 0 0 lim lim ； （2） f (x)、(x)在 点 0 x 的某个去心邻域内可导，且 (x) 0； （3） ( ) ( ) lim0 x f x x x → 存在（或为无穷大）， 则 ( ) ( ) lim0 x f x x x → = ( ) ( ) lim0 x f x x x → . 定理 2 中 0 x x → 换为x → （或其它情形）时，结论也成立. 2. 型未定式
π -arctanx 例3求lim2 1 π -arctanx 解lim2 =lim-1x=lim- X→+ 1 Y- Inx 例4求1im(n>0) →+X 解lim nx lim-x=lim -=0 X nx' J☑因☑
例 3 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解 1 1 lim 1 1 1 lim 1 arctan 2 lim 2 2 2 2 = + = − + − = − →+ → →+ x x x x x x x x x 例 4 求 ( 0) ln lim →+ n x x x n 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = x→+ n x→+ n− x→+ n nx nx x x x
3.其它类型的未定式 说明其他一些00、0-0、0°、1”、o型的未定式， 我们也可通过转换为。或”型的未定式来进行计算， 例5求limx"lnx(n>0) Inx 解limx"lnx=lim =1i9-x网二lim -=0 →0X-” x→0n 例6求limx 解设y=x及lny=xlnx limlny=limxInx=0 又'y=eny,而limy=limey=emay ,limx=limy=e°=l. x→+0 X→+0 I☑I☑
3. 其它类型的未定式 说明 其他一些0 、 − 、 0 0 、 1 、 0 型的未定式， 我们也可通过转换为 0 0或 型的未定式来进行计算. 例 5 求lim ln ( 0) 0 →+ x x n n x 解 lim 0 1 lim ln lim ln lim 0 0 0 1 0 = − = − = = →+ →+ − → − − →+ n x nx n x x x x n x n x n x n x 解 设 x y = x 及ln y = x ln x limln lim ln 0 0 0 = = →+ →+ y x x x x 又 ln e , y y = 而 ln limln lim lime e y y y = = 0 0 0 lim lim e 1 x x x x y →+ →+ = = = . 例 6 求 x x x 0 lim →+
注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其他 求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应 用等价无穷小替代或应用重要极限时，应尽可能应用，这样可以 使运算更简捷， 例7求lim tanx-x sinx 解lim tanx-x =lim tanx-x.x）=lim tanx-x tanx-x =lim sinx sinx 3 十 =lim sec'x-1 =lim 2sec'xtanx lim tanx 1 6x x0 x3 ☒)W☑
注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其他 求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应 用等价无穷小替代或应用重要极限时，应尽可能应用，这样可以 使运算更简捷. 解 0 0 3 0 3 0 3 tan lim tan ) lim sin tan lim( sin tan lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = − = − = − → → → → 3 tan 1 lim 3 1 6 2sec tan lim 3 sec 1 lim 0 2 2 0 2 0 = = = − = → → → x x x x x x x x x x . 例 7 求 x x x x sin tan lim 0 − →
3.1.2内容小结 1.罗比塔法则 2. 型未定式 0 3. ”型未定式 00 4. 其它类型的未定式 ☒厅因☑
3.1.2 内容小结 1． 罗比塔法则 2． 0 0型未定式 3． 型未定式 4． 其它类型的未定式