第1章函数、极限与连续 1.1函数的概念及性质 1.1.1函数的概念 1.1.2函数的几种性质 1.1.3复合函数与初等函数 J☑因☑
1.1.1 函数的概念 1.1.2 函数的几种性质 1.1.3 复合函数与初等函数 1.1 函数的概念及性质 第1章 函数、极限与连续
1.1.1函数的概念 1.函数的概念 定义1设x和y是两个变量，D是一个非空实数集 如果对于数集D中的每一个数x,按照一定的对应法则 f,都有惟一确定的实数y与之对应，则称y是定义在 数集D上的x的函数，记作 y=f(x),x∈D, 其中D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为函数（或 因变量)· 日☑□☒
1.1.1 函数的概念 定义1 设 x和 y是两个变量，D是一个非空实数集. 如果对于数集 D中的每一个数 x，按照一定的对应法则 f ，都有惟一确定的实数 y与之对应，则称 y是定义在 数集 D上的 x的函数,记作 y f x = ( )，x D ， 其中D称为函数的定义域， x称为自变量，y称为函数（或 因变量）. 1. 函数的概念
如果对于确定的x。∈D,通过对应法则f,函 数y有惟一确定的值y,相对应，则称，为y=f(x) 在x,处的函数值，记作 %=y==f(x), 函数值的集合称为函数的值域，记作M. ☒DW☑
如果对于确定的 0 x D ，通过对应法则 f ，函 数 y有惟一确定的值 0 y 相对应，则称 0 y 为 y f x = ( ) 在 0 x 处的函数值，记作 0 y y = 0 x x = 0 = f x( )， 函数值的集合称为函数的值域，记作 M
小结： (1)“函数”表达了因变量与自变量的一种对应规则，这 种对应规则用字母“f”来表示.因此f是一个函数符号， y=f(x)绝不意味着“y等于f乘以x”. (2)函数的定义域是函数的一个组成部分，为此要求： ①分母不能为零： ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ☒厅因☑
⑴ “函数”表达了因变量与自变量的一种对应规则，这 种对应规则用字母“ f ”来表示.因此 f 是一个函数符号， y f x = ( )绝不意味着“ y等于 f 乘以x”. ⑵ 函数的定义域是函数的一个组成部分，为此要求: ①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； 小结：
④正切符号下的式子不等于m+,ke乙； 2 ⑤余切符号下的式子不等于m,k∈Z； ⑥反正弦、反余弦符号下的绝对值小于等于1. (③)如果两个函数的对应规则相同，定义域也相同，则 这两个函数是相同的，否则就是不同的， I☑I☑
④正切符号下的式子不等于 π π , 2 k k Z + ； ⑤余切符号下的式子不等于k k Z π, ； ⑥反正弦、反余弦符号下的绝对值小于等于 1. ⑶ 如果两个函数的对应规则相同，定义域也相同，则 这两个函数是相同的，否则就是不同的
例确定函数f(x)=√3+2x-x2+ln(x-2)的定义域. 解对于f(x), 3+2x-x20时，x)有意义， x-2>0 即 2<x≤3， 所以 函数的定义域为(2,3]. 例已知f(x+1)=x2-x+1,求f(x). 解令x+1=t,则x=t-1,从而 f(t)=(t-1)2-(t-1)+1=t2-31+3, 所以 f(x)=x2-3x+3. ☒)W☑
解 对于 f x( )，当 2 3 2 0 2 0 x x x + − − 时， f x( )有意义， 即 2 3 x ， 所以 函数的定义域为(2,3]. 例 确定函数 2 f x x x x ( ) 3 2 ln( 2) = + − + − 的定义域. 例 已知 2 f x x x ( 1) 1, + = − + 求 f x( ). 解 令x t + =1 ，则x t = −1，从而 2 2 f t t t t t ( ) ( 1) ( 1) 1 3 3 = − − − + = − + ， 所以 2 f x x x ( ) 3 3 = − +
2.函数的表示法 函数通常有三种不同的表示方法：公式法、表格法和 图像法 公式法：用数学式子表示函数，也称解析法，其优点 是便于理论推导和计算如前述几例. 表格法：以表格形式表示函数，优点是所求函数值容 易查得如三角函数表、对数表等 图像法：用图形表示函数，优点直观形象，可看到函 数变化趋势.此法在工程技术上应用较普遍. ☒厅因☑
2. 函数的表示法 函数通常有三种不同的表示方法：公式法、表格法和 图像法. 公式法：用数学式子表示函数，也称解析法，其优点 是便于理论推导和计算.如前述几例. 表格法：以表格形式表示函数，优点是所求函数值容 易查得.如三角函数表、对数表等. 图像法：用图形表示函数，优点直观形象，可看到函 数变化趋势.此法在工程技术上应用较普遍
3.分段函数 有些函数虽然也可用数学式子表示，但它们在定 义域的不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫 做分段函数. [1,x>0 例 设f(x)=0,x=0,求f(2),f(0)和f(-2). -1,x<0 解f(2)=1,f(0)=0,f(-2)=-1. I☑I☑
例 设 1, 0 ( ) 0, 0 1, 0 x f x x x = = − ，求 f (2)，f (0)和 f ( 2) − . 3. 分段函数 有些函数虽然也可用数学式子表示，但它们在定 义域的不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫 做分段函数. 解 f (2) 1 = ， f (0) 0 = ， f ( 2) 1 − = −
y=sign x 注意：求分段函数的函数 值时，应先确定自变量取值的 所在范围，再按相应的式子进 行计算. 图2.1.1 例题给出的函数称为符号函数，记为sgnx,其定义域 为(-o,+∞)，值域为{-1,0,1}，它的图像如图2.1.1 所示. ☒)W☑
注意：求分段函数的函数 值时，应先确定自变量取值的 所在范围，再按相应的式子进 行计算. 例题给出的函数称为符号函数，记为sgn x，其定义域 为(− + , )，值域为{-1，0，1}，它的图像如图 2.1.1 所示. 图2.1.1 O x y y = sign x
4.反函数 定义2设y=f(x)为定义在数集D上的x的函 数，其值域为M.若对于数集M中的每一个数y, 数集D中都有惟一的数x使得f(x)=y,也就是 说变量x是变量y的函数.这个函数称为函数 y=f(x)的反函数，记为x=f(y),其定义域为 M,值域为D. ☒厅因☑
定 义 2 设 y f x = ( )为定义在数集 D上 的 x的 函 数，其值域为 M .若对于数集 M 中的每一个数 y， 数 集 D中都有惟一的数 x使 得 f x y ( ) = ，也就是 说变量 x 是变量 y 的函数.这个函数称为函数 y f x = ( )的反函数，记为 1 x f y( ) − = ，其定义域为 M ，值域为 D. 4. 反函数