第11章 多元函数微分学 11.1多元函数的极限与连续 11.2偏导数 11.3全微分 11.4多元复合函数微分法 及偏导数的几何应用 11.5多元函数的极值 ID☒☒
第 11 章 多元函数微分学 11.2 偏导数 11.3 全微分 11.4 多元复合函数微分法 及偏导数的几何应用 11.5 多元函数的极值 11.1多元函数的极限与连续
11.1多元函数的极限与连续 11.1.1多元函数 11.1.2二元函数的极限与连续 11.1.3内容小结 ☑E☒☒
11.1 多元函数的极限与连续 11.1.1多元函数 11.1.2 二元函数的极限与连续 11.1.3 内容小结
例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的关系为 V=πr2.h, 这里，当r、h在集合{C,)r>0.h>0}内取定一对值时， 的对应值就随之确定了。 例2设R是电阻R,R并联之后的总电阻，则它们之间具有 的关系为 R=飞：R R+R 这里，当R,R集合《R,RR>0,R>0内取定一对值时， R的对应值也就确定了。 例3一定量的理想气体的压强P,体积和绝对温度T之间 有如下关系 P=R:T(R是常数) 这里，当T,在集合{《T,)T>0,V>0}内取定一对值时， P对应的值也就确定
例1 圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的关系为 这里，当r、h在集合 内取定一对值时， V的对应值就随之确定了。 2 V r h = , ( , ) 0. 0 r h r h 1 2 例2 设R是电阻 R R, 并联之后的总电阻，则它们之间具有 的关系为 这里，当 集合 内取定一对值时， R的对应值也就确定了。 1 2 1 2 , R R R R R = + ( , ) 0, 0 R R R R 1 2 1 2 1 2 R R, 例3 一定量的理想气体的压强P，体积V和绝对温度T之间 有如下关系 这里，当T， V在集合 内取定一对值时， P对应的值也就确定。 ( ) R T P R V = 是常数 ( , ) 0, 0 T V T V
11.1.1多元函数 1.二元函数的定义 定义11.1设D是平面上的一个点集，如果 对于每个点P(x,y)eD,变量Z按照一定法则总有 唯一确定的值与之对应，则称Z是变量x,y的二元 函数（或点P的函数），并记为z=f(x,y)或 2=f(P), 点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变 量，Z称为因变量，而数集 =f(x,y),(x,y)ED ☒E冈☒ 称为该函数的值城
11.1.1 多元函数 1．二元函数的定义 定义 11.1 设D是平面上的一个点集，如果 对于每个点P x y D ( , ) ，变量 z 按照一定法则总有 唯一确定的值与之对应，则称 z 是变量x y, 的二元 函数（或点P的函数），并记为 z f x y = ( , )或 z f P = ( ). 点集D称为该函数的定义域， x y, 称为自变 量， z 称为因变量，而数集 { | ( , ),( , ) } z z f x y x y D = 称为该函数的值域．
一元函数的自变量只有一个，其定义域一般是一个或 几个区间 二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域： 平面区域：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通 性（如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分 平面的折线段连接起来，这样的部分平面称为具有连通 性)的部分平面，称为平面区域，简称区域.二元函数的 定义域通常为平面区域. 边界：围成区域的曲线称为区域的边界 闭域：包括边界在内的区域称为闭域， ☒E☒☑
一元函数的自变量只有一个，其定义域一般是一个或 几个区间. 二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域. 平面区域：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通 性（如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分 平面的折线段连接起来，这样的部分平面称为具有连通 性）的部分平面，称为平面区域，简称区域.二元函数的 定义域通常为平面区域. 边界:围成区域的曲线称为区域的边界. 闭域:包括边界在内的区域称为闭域
开域：不包括边界在内的区域称为开域！ 无界区域有界区域：如果区域延伸到无穷远处， 则称为无界区域，否则称为有界区域。 8邻域：把满足不等式(x-x)2+(y-y,)20） 的点P(x,y)的全体称为点P(x,)的δ邻域.它是 以点P为中心，δ为半径的圆形开区域，称不包含 点P的邻域为无心邻域 常见的区域还有矩形域：a<x<b,c<y<d ID因☑
开域:不包括边界在内的区域称为开域. 无界区域 有界区域:如果区域延伸到无穷远处， 则称为无界区域，否则称为有界区域. 邻域:把满足不等式 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 0) x x y y − + − 的点P x y ( , )的全体称为点 0 0 0 P x y ( , )的 邻 域. 它是 以点 P0为中心，为半径的圆形开区域，称不包含 点P0的邻域为无心邻域. 常见的区域还有矩形域：a x b c y d ,
例4求二元函数z=x+少的定义域， 解由根式函数的要求容易知 道，自变量x,y所取的值必须满足不等 式 x+y20, 即函数的定义域为 D={(x,y)川x+y20}. 其几何图形为平面上位于直线y=-x 右方的半平面（如图11.1-1所示）. 图11.1-1 ☑E☒☑
例 4 求二元函数z x y = + 的定义域. 解 由根式函数的要求容易知 道，自变量x y, 所取的值必须满足不等 式 x y + 0, 即函数的定义域为 D x y x y = + {( , )| 0}. 其几何图形为平面上位于直线 y x = − 右方的半平面（如图 1 1.1-1 所示）. y o x 图11.1-1
例5求二元函数z=ln(16-x2-y2)+ x2+y2-4 的定义 域以及在点(2,3)处的函数值， 解 16-x2-y2>0 自变量x,y应满足 x2+y2-4>0 于是，函数的定义域是 D={x,y)4<x2+y2<16 其几何图形为平面上以原点为圆心， 半径为2的圆和以原点为圆心，半 0 径为4的圆所围成的圆环域（不包 括边界曲线)·
例５ 求二元函数 的定义 域以及在点（２，３）处的函数值． 解 自变量ｘ，ｙ应满足 于是，函数的定义域是 2 2 2 2 16 0 4 0 x y x y − − + − 2 2 D x y x y = + ( , ) 4 16 , 其几何图形为平面上以原点为圆心， 半径为２的圆和以原点为圆心，半 径为４的圆所围成的圆环域（不包 括边界曲线）． 2 2 2 2 1 ln(16 ) 4 z x y x y = − − + + − y x o
例6求二元函数：=arccos2y的定 义域。 解自变量x,y所取的值必须满 足不等式 1且x40, 即函数的定义域为 D=c2s1且x*0. 其几何图形为平面上位于直线 y=±号x(x≠0)之间的阴影部分（如图 图11.1-2 11.1-2所示) 练习：练习题11·12(1)(2) ☒DI☑
例6 求二元函数 2 arccos y z x = 的定 义域. 解 自变量x y, 所取的值必须满 足不等式 2 1 y x 且x0, 即函数的定义域为 2 {( , )| 1 0} y D x y x x = 且 . 其几何图形为平面上位于直线 1 ( 0) 2 y x x = 之间的阴影部分（如图 11.1-2 所示）. y x 图11.1-2 练习：练习题１１．１ ２（１）（２）
2.二元函数的几何意义 一元函数y=f(x)通常表示平面上 2=f(x,y) 的一条曲线.二元函数 M,y=) =f(x,y),(x,y)ED, 其定义域D是平面上的一个区域，对于 任取点P(x,y)∈D,其对应的函数值为 0 z=f(x,y),于是得到了空间内的一点 M(c,y,).所有这样确定的点的集合就 P(,y) 是二元函数z=(x,y)的图形，由上A 图11.1-3 章知，通常是一张空间曲面（如图11.1-3 所示)· ☑☑☒☑
2．二元函数的几何意义 一元函数y f x = ( )通常表示平面上 的一条曲线．二元函数 z f x y = ( , ),( , ) x y D ， 其定义域D是平面上的一个区域，对于 任取点P x y D ( , ) ，其对应的函数值为 z f x y = ( , )，于是得到了空间内的一点 M x y z ( , , )．所有这样确定的点的集合就 是二元函数z f x y = ( , )的图形，由上一 章知，通常是一张空间曲面（如图 11.1-3 所示）． x y z o P(x,y) z f x y = ( , ) M(x,y,z) 图11.1-3