第6章常微分方程 6.1常微分方程的基本概念与分离变量法 6.1.1微分方程的基本概念 6.1.2分离变量法 6.1.3内容小结 ☒厅因☑
第6章 常微分方程 6.1.1 微分方程的基本概念 6.1.2 分离变量法 6.1.3 内容小结 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法
6.1.1微分方程的基本概念 概念： 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式 称为微分方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程称为 偏微分方程， 日☑因☑
6.1.1 微分方程的基本概念 概念： 微分方程:含有未知函数的导数（或微分）的等式 称为微分方程. 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程. 偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程称为 偏微分方程
说明：微分方程有时也简称为方程.如方程少=2x dx 是常微分方程，方程a+”=0,-x,=0都是偏 微分方程（本章只讨论常微分方程）· 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数 或微分的最高阶数称为微分方程的阶， 线性微分方程：当微分方程中未知函数及其各阶导 数都是一次的，且不含这些变量的交叉项，该方程称为 线性微分方程 I☑I☑
说明：微分方程有时也简称为方程.如方程d 2 d y x x = 是常微分方程,方 程 0 xx yy z z + = , 0 x y yz xz − = 都是偏 微分方程（本章只讨论常微分方程）. 微分方程的阶：微分方程中,所含未知函数的导数 或微分的最高阶数称为微分方程的阶. 线性微分方程：当微分方程中未知函数及其各阶导 数都是一次的,且不含这些变量的交叉项,该方程称为 线性微分方程
常系数线性微分方程：在线性微分方程中，如果未 知函数及其各阶导数都是常数，则该方程称为常系数线 性微分方程，否则称为变系数线性微分方程 定义6.1如果一个函数代入微分方程后，方程 两端恒等，则该函数称为微分方程的解。 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数（任 意常数不能合并)的个数与方程的阶数相同，则称此解 为该微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方 程的特解. ☒厅因☑
常系数线性微分方程：在线性微分方程中,如果未 知函数及其各阶导数都是常数,则该方程称为常系数线 性微分方程. 否则称为变系数线性微分方程. 定 义 6.1 如果一个函数代入微分方程后,方 程 两端恒等,则该函数称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数（任 意常数不能合并）的个数与方程的阶数相同,则称此解 为该微分方程的通解.不含任意常数的解,称为微分方 程的特解
初始条件：确定任意常数取固定值的条件称为初始 条件.如：y=x+C是方程y'=3x2的通解，而y=x3+2, y=x3-1都是方程y=3x的特解 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题，称 为初值问题 I☑I☒
初始条件:确定任意常数取固定值的条件称为初始 条件.如： 3 y x C = + 是方程 2 y x = 3 的通解，而 3 y x = + 2, 3 y x = −1都是方程 3 y x = 3 的特解. 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题,称 为初值问题
例1验证函数y=Ce+C,e3x(C,C,为任意常数 为二阶微分方程 y"+2y-3y=0 的通解，并求方程满足初始条件y0=3,y(0-1的特 解 解因为y=Ce+C,exy=Ce-3C,e y"=Ce*+9Cex 将y,y,y代入方程y"+2y-3y=0左端，得 Ce*+9C,e +2(Ce*-3C,e )-3(Ce*+C,e-3*) -(C+2C1-3C)e+(9C2-6C2-3C)ex=0 所以函数y=Ce+C,ex是所给微分方程的解.又 因为解中有两个独立（不能合并）的任意常数，所以该 解是所给的二阶微分方程的通解。 ☑☑□☑
解 因 为 3 1 2 e e x x y C C − = + 3 1 2 e 3 e x x y C C − = − 3 1 2 e 9 e x x y C C − = + 将 y, y, y代入方程 y y y '' 2 ' 3 0 + − = 左端,得 3 3 3 1 2 1 2 1 2 e +9 e +2( e 3 e ) 3( e +C e ) x x x x x x C C C C C − − − − − 3 =(C +2C 3C )e +(9C 6C 3C )e =0 1 1 1 2 2 2 x x − − − − 所以函数 3 1 2 e e x x y C C − = + 是所给微分方程的解.又 因为解中有两个独立（不能合并）的任意常数,所以该 解是所给的二阶微分方程的通解. 例 1 验证函数 3 1 2 e e x x y C C − = + (C1 ,C2为任意常数) 为二阶微分方程 y y y + − = 2 3 0 的通解,并求方程满足初始条件 y(0)=3, y(0)= 1− 的 特 解
由初始条件 y(0)=3 y(0)片-1 C+C,=3 得 C-3C2=-1 C=2 解得 C2=1 所以满足初始条件的特解为y=2e+e3x ☒厅因☑
由初始条件 (0)=3 (0)= 1 y y − 得 1 2 1 2 + =3 3 = 1 C C C C − − 解得 1 2 2 1 C C = = 所以满足初始条件的特解为 3 =2e +e x x y −
6.1.2分离变量法 定义6.2形如 dy =f(x)g(y) (6-1-1) dx 的方程，称为可分离变量的方程，其中f(x)只是x的函 数，g(y)只是y的函数. 求解步骤： (1)分离变量 dy =f(x)dx 80y) (2)两边积分 =∫fx； 80y)■ (3)求出积分得通解 G(y)=F(x)+C· 其中G(y),F(x)分别是g(y),(x)的原函数. ☒E因☑
6.1.2分离变量法 定义 6.2 形如 ( ) ( ) d d y f x g y x = (6-1-1) 的方程,称为可分离变量的方程.其 中 f x( )只 是x的 函 数,g y( )只是y的函数. 求解步骤： （1）分离变量 d ( )d ( ) y f x x g y = ； （2）两边积分 d ( )d ( ) y f x x g y = ； （3）求出积分 得通解 G y F x C ( ) = + ( ) . 其中G y( ),F x( )分别是g y( ), f x( )的原函数
例1求微分方程y=-的通解. 解 分离变量得 ydy =-xdx 两边积分 [xdy=- xdx 即 。x2+ 于是，所求通解为x2+y2=C (其中C为任意常 数) IGI☒
解 分离变量得 y y x x d d = − 两边积分 y y x x d = d − 即 1 1 2 2 2 2 2 C y x = − + 于是, 所求通解为 2 2 xyC + = （其中C为任意常 数）. 例 1 求微分方程 x y y = − 的通解
例2 求微分方程y=2xy的通解。 解 分离变量得 dy =2xd故， 两边积分 y-2xd故， y 即 Iny=x2+C 于是 y=Ce(其中，C=te9). 易验证y=0也是方程的解（分离变量时两边同除以 y所丢失的解)，故C可取零值，所以，原方程的通解为 y=Ce(C为任意常数)： ☒厅因☑
解 分离变量得 d 2 d y x x y = ， 两边积分 d =2 d y x x y ， 即 2 1 ln y x C = + ， 于是 2 e x y C= （其中, 1 e c C = ）. 易验证 y = 0也是方程的解 (分离变量时两边同除以 y所丢失的解) ,故C可取零值,所 以,原方程的通解为 2 e x y C= (C为任意常数). 例 2 求微分方程 y xy = 2 的通解