第4章 不定积分 4.1不定积分的概念和性质 4.2不定积分的换元积分方法 4.3不定积分的分部积分方法 4.4 简易积分表的使用 J☑因☑
第4章 不定积分 4.1 不定积分的概念和性质 4.2 不定积分的换元积分方法 4.３ 不定积分的分部积分方法 4.４ 简易积分表的使用
4.1不定积分的概念及性质 4.1.1 不定积分的概念 4.1.2 不定积分的性质 4.1.3 不定积分的基本积分公式 4.1.4 内容小结 日☑因☑
4.1.1 不定积分的概念 4.1.2 不定积分的性质 4.1.3 不定积分的基本积分公式 4.1.4 内容小结 4.1 不定积分的概念及性质
4.1.1不定积分的概念 定义1：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对 任一x∈I,都有F'(x)=f(x)或F'(x)=f(x)dx 则F(x)称为f(x)在I内的一个原函数 说明：①连续函数一定有原函数 ②若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数可 表示为F(x)+C 定义2：在1内，(x)的全体原函数称为(x)的不定积分.作： ∫f(x)dx其中：∫为积分号，fx)为被积函数，f(x)d 为被积表达式，x为积分变量.即：∫f(x)d=F(x)+C ☒DW☑
定义 1：如果在区间 I 内，可导函数F x( ) 的导函数为f x( ) ，即对 任一x I ，都有 F x f x ( ) ( ) = 或F x f x x ( ) ( )d = 则F x( ) 称为 f x( )在 I 内的一个原函数 说明 ： ①连续函数一定有原函数 ②若F x( )是 f x( )的一个原函数，则 f x( )的所有原函数可 表示为F x C ( ) + 定义 2： 在 I 内， f x( )的全体原函数称为 f x( )的不定积分.作： f x x ( )d 其中： 为积分号 ，f x( )为被积函数， f x x ( )d 为被积表达式 ， x为积分变量.即： f x x F x C ( )d ( ) = + 4.1.1不定积分的概念
公式：① 去[/xa]-或4rd]-=a ② 「F(x)dx=F(x)+c或∫dF(x)=F(x)+C 注意：微分记号（用d表示）与求不定积分（用「表示） 是互逆的，当记号d与∫连在一起时，或者抵消，或者只相差一 个常数 J☑因☑
公式：① ( )d ( ) d f x x f x dx = 或d f x x f x x ( )d ( )d = ② F x x F x c ( )d ( ) = + 或 d ( ) ( ) F x F x C = + 注意：微分记号（用 d 表示）与求不定积分（用 表示） 是互逆的，当记号 d 与 连在一起时，或者抵消，或者只相差一 个常数
4.1.2 不定积分的性质 性质1：若f(x),g(x)都有原函数，则 [fx)±g(x=∫f(x)dx±∫g(x 性质2：f(x)有原函数，k∈R,则 J付(x)d=kf(xdx 例1：求∫V(x2-5x 解原式d-可=号-号+C 例2：求-少d 解：原式= -3x+3x-x=6-3+ 1 )d x2-3x+3lnx+-+C J☑I☑
性质 1：若 f x g x ( ), ( )都有原函数，则 f x g x x f x x g x x ( ) ( ) d ( )d ( )d = 性质 2： f x( )有原函数，k R ，则 kf x x k f x x ( )d ( )d = 4.1.2 不定积分的性质 解：原式= 3 2 2 2 3 3 1 3 1 d ( 3 )d x x x x x x x x x − + − = − + − = 1 1 2 3 3ln 2 x x x C x − + + + 例 2：求 3 2 ( 1) d x x x − 解：原式= 5 1 3 2 2 2 10 d 5 d 7 3 x x x x x x x x C − = − + 例 1：求 2 x x x ( 5)d −
4.1.3不定积分的基本积分公式 ()∫dx=x+C(k为常数)； ②刨jrd=x+c(a*-: a+1 C: ④)edx=e+C; 1 (⑤fadx=a+C; _Ina ()⑥sin xdx=-cosx+C; (7)cosxdx=sinx+C; (8)sec2xdx=tanx+C; (9csc2xdx =-cotx+C; 10 「sec xtan xdx=secx+C; (D cscxcotxdx =-cscx+C; -dx arcsinx+C; V1-x -dx arctanx+C. I☑I☑
⑴ k x kx C d = + （k 为常数）； ⑵ 1 1 d ( 1) 1 x x x C + = + − + ； ⑶ 1 d ln | | x x C x = + ； ⑷ e d e x x x C = + ； ⑸ 1 d ln x x a x a C a = + ； ⑹ sin d cos x x x C = − + ； ⑺ cos d sin x x x C = + ； ⑻ 2 sec d tan x x x C = + ； ⑼ 2 csc d cot x x x C = − + ； ⑽ sec tan d sec x x x x C = + ； ⑾ csc x cot xdx csc x C = − + ; ⑿ 2 1 d arcsin 1 x x C x = + − ； ⒀ 2 1 d arctan 1 x x C x = + + ． 4.1.3 不定积分的基本积分公式
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分， 例3：求2e*dr 解：原式=「(2e)dx= (2e)+C In(2e) 例 -x+arctanx+C J☑因☑
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分． 解：原式= (2e) (2e) d ln(2e) x x x C = + 例 3：求 2 e d x x x 解：原式= 4 2 2 2 ( 1) 1 1 d ( 1)d d 1 1 x x x x x x x − + = − + + + 1 3 arctan 3 = − + + x x x C 例 4：求 4 2 d 1 x x + x
例5：求知' 解：原式∫-cosx。 2 dx=x-sinx+C 例6：求 -dx 2 2 日☑因☑
例 5：求 2 sin d 2 x x 解：原式= 2 2 4 d 4csc d 4cot sin x x x x C x = = − + 例 6：求 2 2 1 d sin cos 2 2 x x x 解：原式= 1 cos 1 1 d sin 2 2 2 x x x x C − = − +
4.1.4内容小结 1.不定积分的概念 2.不定积分的性质 3.不定积分的基本积分公式 J☑因☑
4.1.4 内容小结 1． 不定积分的概念 2． 不定积分的性质 3． 不定积分的基本积分公式
4.2不定积分的换元积分积分法 4.2.1第一换元积分法（凑微分法） 4.2.2第二换元积分法（去根号法） 4.2.3内容小结 J☑因☑
4.2 不定积分的换元积分积分法 4.2.1 第一 换元积分法(凑微分法) 4.2.2 第二换元积分法(去根号法) 4.2.3 内容小结