第六章行列式、 矩阵与线性方程组 6.1.1二阶行列式 二元线性方程组 (I) anx +a2x2 =b (1) a21x1+a22x3=b2 (2) 利用消元法求解：（当a42-a4≠0时） X= ba2-b42,x2= b2411-ba21 411a22-a21a12 a11a22-a21412 注意到在X,x,的解中，分母都是4,42-a4为了便于记忆， 引入一个新的记号 a11a12 a21a22 来表示a,422-4142,即 a11a12 a11a22-a21a12 21a22
第六章 行列式、矩阵与线性方程组 6.1.1 二阶行列式 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 (1) (2) a x a x b a x a x b + = + = 利用消元法求解：（当 时) 11 22 21 12 a a a a − 0 1 22 2 12 2 11 1 21 1 2 11 22 21 12 11 22 21 12 , b a b a b a b a x x a a a a a a a a − − = = − − 11 12 21 22 a a a a = a a a a 11 22 21 12 − 二元线性方程组 (Ⅰ) 的解中，分母都是 11 22 21 12 a a a a − 注意到在 11 22 21 12 x x 1 2 , a a a a − 。为了便于记忆， 引入一个新的记号 11 12 21 22 a a a a 来表示 ，即
a11a12 定义1我们称aa2 为二阶行列式，其中横排称为 行，纵排称为列，a,0=1,2,j=1,2)称为二阶行列式第1行 第j列的元素。aa2-aa2称为二阶行列式的展开式。 二阶行列式可按 a11 a12 下列方法展开 实对角线上两元素 (如图)： 之积取正号，虚对 a 角线上两元素之积 取负号，然后相加就是行列式的展开式。这就是行列 式的对角线展开法 二阶行列式是一个确定的数，这个数称为行列式的 值。根据上述定义，我们记： D= a1,a2 D= b,ar2 =ba -ba D.= =aubz-azb a21a22 b,az a21b2 D. D 方程组(I)的解可表示为： X1= D D
定义1 我们称 为二阶行列式，其中横排称为 行，纵排称为列， 11 12 21 22 a a a a11 22 21 12 a a a a − ( 1, 2; 1, 2) ij a i j = = 第 列的元素。 称为二阶行列式的展开式。 i j 11 12 21 22 a a a a 二阶行列式可按 下列方法展开 ( 如图)： 二阶行列式是一个确定的数，这个数称为行列式的 值。根据上述定义，我们记： 11 12 21 22 a a D a a = 1 12 1 1 22 2 12 2 22 b a D b a b a b a = = − 11 1 2 11 2 21 1 21 2 a b D a b a b a b = = − 方程组（Ⅰ）的解可表示为: 1 2 1 2 , D D x x D D = = 称为二阶行列式第 行 实对角线上两元素 之积取正号，虚对 角线上两元素之积 取负号，然后相加就是行列式的展开式。这就是行列 式的对角线展开法
例1计算下列二阶行列式的值： (2) sina cosa cosa -sina 解： 2 -4 2×5-3×(-4)=22: 3 5 sina cos a (2 -sin2 a cos2 a =-1 cosa -sina 练习P1061(1)2) 31 =-13 4-3
2 4 2 5 3 ( 4) 22; 3 5 − = − − = ⑴ ⑵ 2 4 ; 3 5 − sin cos . cos sin − 解： ⑴ ⑵ 2 2 sin cos sin cos 1. cos sin = − − = − − 例1 计算下列二阶行列式的值： 练习 P106 1(1)(2) 3 1 (1) (2) 4 3 a b a a a b + = = − − −13 2 −b
例2解方程组 2x+y+2=0 4x+3y-1=0 解：方程组化为一般形式： 2x+y=-2 4x+3y=1 因为 D= 名、 所以，方程组的解为： x-D D
解：方程组化为一般形式： 2 2 4 3 1 x y x y + = − + = 因为 2 1 2 0 4 3 D = = 1 2 1 7 1 3 D − = = − 2 2 2 10 4 1 D − = = 所以，方程组的解为： 1 7 2 D x D = = − 2 5 D y D = = 例2 解方程组 2 2 0 4 3 1 0 x y x y + + = + − =
6.1.2三阶行列式 三元线性方程组的一般形式为： a11x1+a12x2+a13x3=b (Ⅱ) a21x1+a22X2+a33x3=b a31x1+a32x2+a33x3=b3 用消元法同样可以求解，但解出来的式子较为复杂 现在的计算机数学工具（如MATLAB)有专门用于解线性 方程组的软件，这里我们就不再列出（Ⅱ）解的式子。 我们仿照二阶行式，记： an 42 43 =a1,a2a33+a12a23431+41342142 a21a22a23 a31a2a33 -413422431-412421433-411432421
6.1.2 三阶行列式 三元线性方程组的一般形式为： （Ⅱ） 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 33 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = 用消元法同样可以求解，但解出来的式子较为复杂， 现在的计算机数学工具（如MATLAB）有专门用于解线性 方程组的软件，这里我们就不再列出（Ⅱ）解的式子。 我们仿照二阶行式，记： 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 32 21 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − −
左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的 展开式。三阶行列式同样可以用对角线法展开 11 41213 %12 =411a22a33+a12023431+413021a32 -a13a22431-a12a21a33-a411032A21 31 anad分 2 实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号， 然后相加。 (72
左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的 展开式。三阶行列式同样可以用对角线法展开 实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号， 然后相加。 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 32 21 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − −
-2 -13 例3 计算行列式 0-2 的值。 2 45 -2-1 3 解： 0 =(-2)×0×5+(-1)×(-2)×2+3×4×1 4 5 -3×0×2-(-1)×1×5-(-2)×4×(-2) =5 a b 例4 展开行列式 a b a 解：acb a c =a+c3+b3-abc-abc-abc =a3+b3+c3-3abc
例3 计算行列式 2 1 3 1 0 2 2 4 5 − − − 的值． 解： 2 1 3 1 0 2 2 4 5 − − − = − + − − + ( 2) 0 5 ( 1) ( 2) 2 3 4 1 − − − − − − 3 0 2 ( 1) 1 5 ( 2) 4 ( 2) = 5 例4 展开行列式 acb b a c c b a 解： acb b a c c b a 3 3 3 = + + − − − a c b abc abc abc 3 3 3 = + + − a b c abc 3
与二阶行列式相似，可用三阶行列式来求解三元线性 方程组。引入记号D,D,D,D,其中 a11a2a13 D=dz az azs D= a22a23 a31a32a33 a2a33 an b as anan b D2=a21b2a423 D=a az b a31b3a33 行列式D是由方程组（亚）中未知数的系数按原来的顺 序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式 D,D,D是以b,b,b分别分别替换行列式D中的第 一列、第二列、第三列的元素所得到.因此，当 D0时，方程组（Ⅱ）的解可表示为： x= D D X2= X3= D D D
与二阶行列式相似，可用三阶行列式来求解三元线性 方程组。引入记号 1 2 3 D D D D , , , ，其中 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 b a a D b a a b a a = 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 a b a D a b a a b a = 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 a a b D a a b a a b = 行列式D是由方程组(Ⅱ)中未知数的系数按原来的顺 序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式 1 1 D x D = 2 2 D x D = 3 3 D x D = 是以 一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当 D≠0时，方程组(Ⅱ)的解可表示为： 1 2 3 D D D , , 1 2 3 b b b , , 分别分别替换行列式D中的第
例5解方程组 3x+y-2z-5=0 4y+z-2=0 2x+2y+1=0 解：方程组化为一般形式： 3x+y-2z=5 4y+z=2 2x+2y=-131 -2 因为 D=041=12 D= 1=-27 220 120 135 -2 1 D-02121D=0￥2 -60 2-10 22 所以，根据(6-4)式，方程组的解为： x= =A=-5 D
例5 解方程组 3 2 5 0 4 2 0 2 2 1 0 x y z y z x y + − − = + − = + + = 解：方程组化为一般形式： 3 2 5 4 2 2 2 1 x y z y z x y + − = + = + = − 因为 2 3 5 2 0 2 1 21 2 1 0 D − = = − 3 1 2 0 4 1 12 2 2 0 D − = = 1 5 1 2 2 4 1 27 1 2 0 D − = = − − 3 3 1 5 0 4 2 60 2 2 1 D = = − − 所以，根据(6-4)式，方程组的解为： 1 9 4 D x D = = − 2 7 4 D y D = = 3 5 D z D = = −
练习P1065(3) 111 10 11101 1 110 D,=21-1=-10 D=2 31=-35 3141 3214 所以，方程组的解是 =1,y==2,:=A=7
练习 P106 5（3） 1 1 1 2 3 1 3 2 1 D = − 1 10 1 1 1 3 1 14 2 1 D = − 2 1 10 1 2 1 1 3 14 1 D = − 3 1 1 10 2 3 1 3 2 14 D = 所以，方程组的解是 1 2 3 1, 2, 7 D D D x y z D D D = = = = = = = −5 = −5 = −10 = −35