第十三章动能定理 力的功 质点和质点系的动能 动能定理 机械能守恒 功率与功率方程
第十三章 动能定理 力的功 动能定理 功率与功率方程 质点和质点系的动能 机械能守恒
§13-1力的功 常力在直线路程上的功 常力在直线路程上的功等 0 于力在路程方向上的投影 与路程的乘积 MI M2 W=F·s= Fcos e s 功的量纲:M2T2功的单位:1J=1N·m 功:代数量≤90,W≥0 6>900.W<0
§13-1 力的功 一、常力在直线路程上的功 M 1 s M 2 F θ W = F s = F cos s 常力在直线路程上的功等 于力在路程方向上的投影 与路程的乘积。 功的量纲： 功的单位： 1J =1N m 2 −2 ML T 功：代数量 90 , 0 0 W 90 , 0 0 W
变力在曲线路程上的功 元功 dr M OW=F·=Fcos6 0 M2 力在全路程上所做的功 MI F W=「∞W=「F.c f cos eds 注意到 F=Fi+Fj+Fk dr=dxi+dyj+dz k W=(2+F+F
二、变力在曲线路程上的功 元功： W = F dr = F cos ds F dr M M’ M1 M2 θ 力在全路程上所做的功 W W F dr F ds M M S cos 2 1 0 = = = 注意到： dr dxi dy j dz k F F i F j F k x y z = + + = + + ( ) = + + 2 1 M M x y z W F dx F dy F dz
几种常见力的功 1、重力的功 M1 质点M的重力mg的投影值为: M F=o, F=0, F=-mg Z M2 0my∴重力从M1→M2时所做的功 Z2 为 W=「(+F小+Fd)=-mgh mg(21 h mg/
x z O y M1 M M2 mg z 1 z 2 三、几种常见力的功 1、重力的功 质点 M 的重力mg 的投影值为： Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg ∴ 重力从 M1 → M 2 时所做的功 为 ( ) = + + = − 2 1 2 1 z z M M W Fx dx Fy dy Fz dz mgdz = mg(z1 − z2 ) = mgh
M1 M 对于质点系(或刚体) Z1 质点i的重力mg的功为 W=m g 质点系的全部重力所做的功为 W=∑W=∑mg{(n1-=2) 由质心坐标公式有:m=c=∑m 得: W=mgcl 质点系的重力所做的功为:质点系总重力与质心 下降高度的乘积
x z O y M1 M M2 mg z 1 z 2 对于质点系（或刚体） 质点 i 的重力m i g 的功为： ( ) i i i1 i 2 W = m g z − z 质点系的全部重力所做的功为： ( ) i i i1 i 2 W = W = m g z − z 由质心坐标公式有： i C i mz = m z 得： ( ) C1 C2 W = mg z − z 质点系的重力所做的功为：质点系总重力与质心 下降高度的乘积
2、弹性力的功 弹簧的自然长度为l0, M 刚度系数为k M1 2 弹簧的弹性力为: F=-k( -ks 61 从M1到M2弹簧的 62 弹性力的功为: F·cF kods k 结论:弹性力的功为
2、弹性力的功 弹簧的自然长度为 ， 刚度系数为k。 0 l M x δ 1 δ δ 2 0 l M1 M2 从 M1 到 M2 弹簧的 弹性力的功为： = = − 2 1 2 1 W F dr k d M M 弹簧的弹性力为： F = −k(l − l 0 ) = −k ( ) 2 2 2 1 2 = − k 结论：弹性力的功为 ( ) 2 2 2 12 1 2 = − k W
2、弹性力的功 0 M M1 2 弹性力的功为 61 k 12 62 当δ,>δ,时,(起始伸长大于最后伸长) 弹性力做正功 当δ<δ,时,(起始伸长小于最后伸长) 弹性力做负功
2、弹性力的功 M x δ 1 δ δ 2 0 l M1 M2 弹性力的功为 ( ) 2 2 2 12 1 2 = − k W 当 1 2 时， （起始伸长大于最后伸长） 弹性力做正功 当 1 2 时， （起始伸长小于最后伸长） 弹性力做负功
3、定轴转动刚体上作用力的功 刚体绕z轴转动,力F的元功为: F SW=F dr=Fds=F. Rdo 注意到:FR=M() F得到:W=M2dyp 从q1到q2,力的功 12 M,do 特别地,若Mz为常数, W2=M2(02-91)=M2△
y x z F r R A F 3、定轴转动刚体上作用力的功 刚体绕 z 轴转动，力 F 的元功为： W F dr = = F ds = F Rd 注意到： F R M (F) z = 得到： W = MZ d 从 1 到 2 ，力的功 = 2 1 12 W M dZ 特别地，若 MZ 为常数， W12 = MZ (2 −1 ) = MZ
4、刚体作平面运动 平面运动=随基点的平动+绕基点的转动 在动力学中,应取质心为基点 平面运动=随质心的平动+绕质心的转动 结论:作用在平面运动刚体上力系的元功为: OW=FR·Or+Mcoq 力系的主矢M。力系对质心的主矩 δ质心的位移δo绕质心的转角
平面运动 = 随基点的平动 + 绕基点的转动 在动力学中，应取质心为基点 平面运动 = 随质心的平动 + 绕质心的转动 4、刚体作平面运动 结论： 作用在平面运动刚体上力系的元功为： W = FR r C + MC FR 力系的主矢 MC 力系对质心的主矩 C r 质心的位移 绕质心的转角
证明:取质心为基点,当刚体有微小位移时,力F 的作用点Mi的位移为 dr=drc +dric /F力F的元功为 dc M DW=F.E=F·;+F.cF 由于i|=MC.vp FDe=Ecos(MC,d)=M(知 力系全部力所做的功为 8W=∑=∑F。+∑M!G 得到 dW=FR.r+Mcdo
C C dr Fi iC dr d Mi 证明： 取质心为基点，当刚体有微小位移时，力 的作用点 M i 的位移为： Fi i C iC dr dr dr = + 力 Fi 的元功为： i i i C i i C W F dr F r F dr = = + 由于 Fi dri C Fi i (Mi C d) MC (Fi )d = cos = driC = Mi C d 力系全部力所做的功为 W = Wi = Fi r C +MC (Fi )d 得到： W = FR r C + MC