《理论力学 Theoretical Mechanics》课程PPT教学课件（动力学）第十七章 动力学普遍方程和拉格朗日方程

第十七章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 简介

第十七章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 简 介

动力学普遍方程 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗伯原理,有 F+FN+=0(=1,2…,m) 主动力 约束力 惯性力 令系统有任意一组虚位移δ 系统的总虚功为∑(E+F+F)6千=0(=12;m) 利用理想约束条件∑F81=0(=12,,n 得到 ∑(F+F)8=0(=12

考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗伯原理，有 F F F 0 ( 1,2, , ) i + Ni + Ii = i =  n    主动力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 r (i 1,2, , n) i =    系统的总虚功为 (F F F ) δ r 0 ( 1,2, , ) N I i n i i i i i  + +  = =      一、动力学普遍方程 利用理想约束条件 F δ r 0 ( 1,2, , ) N i n i i i   = =    (F F ) δ r 0 ( 1,2, , ) I i n i i i i  +  = =  得到   

∑(+F)·6千=0(=12;…n 注意到: 动力学普遍方程 ∑(F-ma),6千=0(=1.2…m) ∑(+F1)8元=0(=12;m) 任意瞬时,作用于具有理想约束的系统上 的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元 功之和等于零。 动力学普遍方程

(F m a ) δ r 0 (i 1,2, , n) i i i i i  −  = =     动力学普遍方程 任意瞬时，作用于具有理想约束的系统上 的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元 功之和等于零。—— 动力学普遍方程 注意到： Fi mai   I = − (F F ) δ r 0 ( 1,2, , ) I i n i i i i  +  = =     (F F ) δ r 0 ( 1,2, , ) I i n i i i i  +  = =    

动力学普遍方程 ∑(-m),6千=0(=12;…,n) E=(Fn,Fn,F2)a,=(x,)6E=6x,6y,6=) 动力学普遍方程的直角坐标形式 ∑(F2-mx)6x+(F1-m)6y+(F=-m2)6==0

i n F m x x F m y y F m z z i i y i i i i z i i i i i x i i = , ,,  −  + −  + −  = 1 2 (  ) δ (  ) δ (  ) δ 0 动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程 ( ) ( ) ( ) i i x i y i z i i i i i i i i F = F , F , F , a = x , y ,z , δ r = δ x ,δ y ,δ z       (F m a ) δ r 0 (i 1,2, , n) i i i i i  −  = =    

动力学普遍方程的意义和应用 动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的,可用来求解质点系的动力学问题。 由于动力学普遍方程中不包含约束力,因 此,不需要解除约束,也不需要将系统拆开

动力学普遍方程的意义和应用 由于动力学普遍方程中不包含约束力，因 此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题

、广义坐标和广义力 1、系统的自由度 确定系统在空间的位置所需要的独立参 数的个数。 具有n个质点的稳定完整系统,如果受有S个 约束, 该系统的自由度为:N=37-S 2、广义坐标 用来表示质点系位置的独立参数 对于稳定完整系统广义坐标的个数等于 系统的自由度

二、广义坐标和广义力 2、广义坐标 用来表示质点系位置的独立参数 1、系统的自由度 具有n 个质点的稳定完整系统，如果受有S 个 约束， 该系统的自由度为： N = 3n − S 确定系统在空间的位置所需要的独立参 数的个数。 对于稳定完整系统广义坐标的个数等于 系统的自由度

由n个质点所 组成的质点系 主动力F1,F2Fn 质点位置坐标x,y1,21,x2,y2,22, y 广义坐标 q1,q2…;qx n=3n-s 第个质 点的位矢 =r(q1,q2,…,q) 虚位移8=(6i,82,,6)

由n个质点所 组成的质点系 主 动 力 虚 位 移 广义坐标 第i个质 点的位矢 Fn F ,F , , 1 2     δ r (δ r ,δ r , ,δ r ) 1 2 n     =  q q qN , , , 1 2  r r ( , , , ) i i q1 q2 qN =    质点位置坐标 , , , , , , , , , , 1 1 1 2 2 2 n n n x y z x y z  x y z N = 3n − S

3、广义力 第个质 点的位矢 工=工(q12q2…;) 第个质点 ar 的虚位移 28 g 由系统的虚功表达式W=∑F8 W=∑E∑ 35分 F")g

3、 广义力 第i个质 点的位矢 第i个质点 的虚位移 j N j j i i q q δ r δ r 1 =   =   由系统的虚功表达式 i n i W i δ F δ r 1   = =  j n i j i i N j j N j j i n i i q q q q W )δ r δ ) ( F r δ F ( 1 1 1 1     = = = =   =   =     r r ( , , , ) i i q1 q2 qN =   

6H=∑FC∑8q)=N 上式中:Sq(k=1,2 第j个广义坐标qk对应的广义虚位移 定义:Q=∑F ar k Q称为与第个广义坐标Qk对应的广义主动力 特别地:有势力的广义力Qk 在势力场中,对应于第j个广义坐标qk的广义力等 于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数

=   = n i k i k i q Q 1 r F   k n k k i i N j k N k k i n i i q q q q W )δ r δ ) ( F r δ F ( 1 1 1 1     = = = =   =   =     定义： 上式中： q (k 1,2, , N)  k =  Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力 第 j 个广义坐标 qk 对应的广义虚位移 有势力的广义力 k k q V Q   特别地： ＝－ 在势力场中，对应于第j个广义坐标 的广义力等 于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。 k q

、拉格朗日方程 daT、OT dt d 对于主动力为有势力的情况,拉格朗日方程可改写为 da、OL =0 dt dg 式中: L=T-V L称为拉格朗日函数,或动势

三、拉格朗日方程 k k k q T q T t Q     ＝ ( )－ d d  对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为： ( ) 0 d d － ＝ k qk L q L t      式中： L＝T－V L 称为拉格朗日函数，或动势