第8章滑移线理论及应用 8.1平面应变后题和洲移线场 §8:2汉盖( Hencky)应力方程滑 移线的沿线力学方程 §8.3沸移线的几何性质 §8:4应力边界杀件和滑移线场的绘制 8.5三角形均场与单扇形场组合 问题及实例 §.6双化扇形场题及要例
第8章 滑移线理论及应用 §8.1 平面应变问题和滑移线场 §8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑 移线的沿线力学方程 §8.3 滑移线的几何性质 §8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制 §8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合 问题及实例 §8.6 双心扇形场问题及实例
81平面应变闻短和洲稳线场 L(I) (A) 塑性流动平面(物理平面,()正交曲线坐标系的应力特点 应力莫尔圆 图81平面应变问题应力状态的几何表示
§8.1 平面应变问题和滑移线场 （a）塑性流动平面（物理平面），（b）正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆 图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
平面应变问题 根据平面流动的塑性杀件,=k (对们 resca塑性条件 对 Mi ses塑性条件 k=or/√ 行是,由图81c的几何关系可知,有 O,=-p+ksin2dp p-ksin2dp T=k cos 2 式中=+1静水压力 团D定义为最大切应力m(=k)方向 与坐标轴0x的夹角
平面应变问题 根据平面流动的塑性条件， （对Tresca塑性条件 ； 对Mises塑性条件 ） 于是，由图8-1c的几何关系可知，有 式中 ——静水压力 ——定义为最大切应力 方向 与坐标轴Ox的夹角。 x =−p−ksin2 y = −p + k sin2 x y = k cos 2 max =k / 2 T k = / 3 T k = ( ( )/ 2) m x y p = − = − + ( ) m ax =k
面应变 题 对于平面塑性流动问题,由于某一方向士的位移分量为零 设d0),故只有三个应变分量(、而),也称 平面应变问题。根据塑性流动法则,可知 dz=02=(ox+,)/2=o 式中,a为平均应力;称为静水压力。 根据塑性变形增量理论,平面塑性流动问题独立的应力分量 也只有三个(、回、回D,于是平面应变问题的最大切应力 为 zmax=(o1-3)/2=y(ax-,)2]+z
平面应变问题 对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零 （设duZ=0），故只有三个应变分量（ 、 、 ），也称 平面应变问题。根据塑性流动法则，可知 式中， 为平均应力；p称为静水压力。 根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量 也只有三个（ 、 、 ），于是平面应变问题的最大切应力 为： x d y d xy d p Z = 2 = ( x + y )/ 2 = m = − m x y xy 2 2 m a x 1 3 ( ) / 2 [ ( ) / 2] x y x y = − = − +
绘制滑移线 对于理刚塑材料,村料的屈服切应力k为常数 因此塑性变形区内各点莫尔圆半径(即最大切应 力x)-于材料常教。如图82所示,在x坐标平 面上任取一点P1,其 k的,即。方向为 此公O方向上取一点P,其a方间为0 沿 点a,其C线方向为 依次连续取下去 直至塑性变形区的界为止 最后获得一条折线 P1P2-P32P4 称为 线按正、负两最大切 应力相互正交的性质,由P点沿与 的垂直方向上 即在P点的 单,平方向取点,也可得 到一条折线 3-P1称为线。B
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。 因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应 力 ）等于材料常数k。如图8-2所示，在x-y坐标平 面上任取一点P1，其 的，即 方向为 ， 沿 方向上取一点P2，其 方向为 ， 依此取点a2，其 线方向为 ，依次连续取下去， 直至塑性变形区的边界为止……，最后获得一条折线 P1-P2-P3-P4……，称为 线。按正、负两最大切 应力相互正交的性质，由P点沿与 的垂直方向上， 即在P点的 的，即 方向上取点，也可得 到一条折线 ……，称为 线。 max 0 0 1 2 ( ) max − 1 2 3 4 P − P' −P' −P' max = k 绘制滑移线
由图82可知,滑移线的微分方程为; t go 对线 P 山=(80+x)=-a8对线 X 图82x-y坐标系与滑移经网络
由图8-2可知，滑移线的微分方程为： 对 线 对 线 图8-2 x-y坐标系与滑移经网络 = t g dx dy = t g + = −ctg dx dy ( / )
骨移线理论法 滑移线理论法是一种国形绘制与教值计算相结合 的方法,即根据平面应变洲移线场的性质绘 出滑移线场,再根据精确平衡微分方程和精确塑 性杀件建立汉盖( Hencky)应力方程,求得理想 则塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法
滑移线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘 出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法。 滑移线理论法
§82汉盖(enk)应力方程二 滑移线的沿线力学方程 推导 有平面应变问题的微分平衡方程 0、0Tyx=0 ry Co 0 将式(83)长人上式,得 +2k cos 2 d aa +2ksin2Φ ax ax O,.+2k sin2 od 2k cos 2 c O
§8.2 汉盖（Hencky）应力方程—— 滑移线的沿线力学方程 推导： 有平面应变问题的微分平衡方程 将式（8-3）代入上式，得 = 0 + x y x y x = 0 + x y x y y 2 si n2 2 cos 2 0 2 cos 2 2 si n2 0 = − + = + + y k x k y p y k x k x p
整理得表达成 ADab=①-对四线取“卡 APab= pa- pb 对月线取 式中 ab=±2k△ab △ 上式表明,沿洲移线的排水压力鉴(MA)与滑移线 上相应的倾角差()成正比。故式表明了滑移线的 沿线性质。 汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程,同时也满足 了塑性条件方程
整理得表达成 对 线取“+”号 对 线取“-”号 式中， 上式表明，沿滑移线的静水压力差（ ）与滑移线 上相应的倾角差（ ）成正比。故式表明了滑移线的 沿线性质。 汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足 了塑性条件方程。 a b a b p = 2k a b a b p = p − p a b = a − b a b p ab
§8.3移线的几何性质 汉盖第一定理 同族的两条滑稳线与加族任意一条滑移线相 交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 汉盖第二定理 动点沿某族任意一条滑移线移动时,过该 动点起给位置的另一族两条滑移线的曲率变 化量等于该点所移动的路程
§8.3 滑移线的几何性质 一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线与加族任意一条滑移线相 交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理 一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该 动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变 化量等于该点所移动的路程