广东工业大学：《金属塑性成形原理》第2章 金属塑性变形的物性方程

第二章金属塑性变形的物性方程 教学内容:物性方程又称本构方程,是σ-关系的数学表达形式。本章讨论金 属塑性变形过程和力学特点、塑性条件方程、塑性变形的应力应变关系、变形抗 力曲线与加工硬化以及影响变形抗力的因素。 教学重点:塑性变形过程和力学特点,塑性条件方程,应力应变关系以及变形抗 力曲线与加工硬化。 教学难点:塑性条件方程,变形曲线与加工硬化。 教学方法:课堂教学为主,结合多媒体教学。 教学要求:重点掌握塑性变形过程和力学特点,塑性变形方程,塑性变形的应力 应变关系,变形抗力曲线与加工硬化 2.1金属塑性变形过程与力学特点 2.1.1变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点,如图2-1所示。金属变形分为弹 性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视°为弹塑性变形的分界点。当 00时,与6存在统一的关系,即=EE。 当2以后,变形视作塑性阶段。σ-6是非线性关系。当应力达到口之 后,变形转为不均匀差 学条件为d=0或dP=0 经短暂的不稳定变形 图2-1应力应变曲线

第二章 金属塑性变形的物性方程 教学内容：物性方程又称本构方程，是  −  关系的数学表达形式。本章讨论金 属塑性变形过程和力学特点、塑性条件方程、塑性变形的应力应变关系、变形抗 力曲线与加工硬化以及影响变形抗力的因素。 教学重点：塑性变形过程和力学特点，塑性条件方程，应力应变关系以及变形抗 力曲线与加工硬化。 教学难点：塑性条件方程，变形曲线与加工硬化。 教学方法：课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求：重点掌握塑性变形过程和力学特点，塑性变形方程，塑性变形的应力 应变关系，变形抗力曲线与加工硬化。 2．1 金属塑性变形过程与力学特点 2．1．1 变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图 2-1 所示。金属变形分为弹 性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视  s 为弹塑性变形的分界点。当    s 时，  与  存在统一的关系，即  = E 。 当    s 以后，变形视作塑性阶段。  −  是非线性关系。当应力达到  b 之 后，变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。  b 点的力学条件为 d = 0 或 dP=0。 经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。 图 2-1 应力应变曲线

若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象,一部分变形得以恢复,另一部分则成 为永久变形。卸载阶段σˉξ呈线性关系。这说明了塑性变形时,弹性变形依然 存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的α一ξ关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同,导致σ一ξ关系不唯一。只有知道变形历史,才 能得到一一对应的-关系,即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个 重要特征。 事实上,可>以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g点为例 若卸载则-关系为弹性。卸载后再加载,只要”点,口一关系仍为弹性。 旦超过g点,-呈非线性关系,即g点也是弹塑性变形的交界点,视作继 续屈服点。一般有x>°,这一现象为硬化或强化,是塑性变形的第4个显著 特点。 在简单压缩下,忽略摩擦影响,得到的压缩与拉伸°基本相同。但是若 将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服,反向屈服一般低于初始屈服。同 理,先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称 作 Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑 Bauschinger效应 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明:静水压 力只引起物体的体积弹性变形,在静水压力不很大的情况下(与屈服极限同数量 级)所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致,说明静水压力对塑性变形的影响可以忽 略

若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成 为永久变形。卸载阶段  −  呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然 存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的  −  关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同，导致  −  关系不唯一。只有知道变形历史，才 能得到一一对应的  −  关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第 3 个 重要特征。 事实上，    s 以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以 g 点为例， 若卸载则  −  关系为弹性。卸载后再加载，只要    g 点，  −  关系仍为弹性。 一旦超过 g 点，  −  呈非线性关系，即 g 点也是弹塑性变形的交界点，视作继 续屈服点。一般有  g   s ，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第 4 个显著 特点。 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩  s 与拉伸  s 基本相同。但是若 将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同 理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称 作 Bauschinger 效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑 Bauschinger 效应。 Bridgman 等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压 力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量 级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽 略

2.1.2基本假设 (1)材料为均匀连续,且各向同性。 (2)体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。 (3)静水压力不影响塑性变形,只引起体积弹性变化。 (4)不考虑时间因素,认为变形为准静态。 (5)不考虑 Bauschinger效应。 2.2塑性条件方程 塑性条件是塑性变形的起始力学条件 2.2.1屈服准则 单向拉伸时,材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服 极限,它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示?一般说 来,它可以用下列式表示: f( 其中为应力张量,为应变张量,t为时间,T为变形温度,S为变形材料的 组织( Structure)特性。 2.2.2 Tresca屈服准则 最早的屈服准则是1864年 Tresca根据库伦在土力学中的研究结果,并从他 自己做的金属挤压试验中提出以下假设:当最大切应力达到某一极限k时,材料 发生屈服。即 (2.1)

2.1.2 基本假设 （1）材料为均匀连续，且各向同性。 （2）体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。 （3）静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化。 （4）不考虑时间因素，认为变形为准静态。 （5）不考虑 Banschinger 效应。 2．2 塑性条件方程 塑性条件是塑性变形的起始力学条件。 2.2.1 屈服准则 单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服 极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？一般说 来，它可以用下列式表示： f ( , ,t,T , i j i j   S）=0 其中  ij 为应力张量， ij  为应变张量，t 为时间，T 为变形温度，S 为变形材料的 组织（Structure）特性。 2. 2. 2 Tresca 屈服准则 最早的屈服准则是 1864 年 Tresca 根据库伦在土力学中的研究结果，并从他 自己做的金属挤压试验中提出以下假设：当最大切应力达到某一极限 k 时，材料 发生屈服。即： = k m a x  （2. 1）

用主应力表示时,则有: 2-1ll=2k (2.2) 当有可120220约定时,则有: G1-a3=2k 2.2.3 Von mises屈服准则 Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响:另外当应力处在两个屈服面的交 线上时,数学处理将遇到一些困难;在主应力未知时, Tresca准则计算十分复 杂。因此 Von mises在1913年研究了实验结果后,提出了某一屈服准则,即当: (2.5) 时材料就进入屈服,其中C为常数。由于2与,以及材料的弹性形状改变 U2有关,因此具有不同的物理意义。 能 2.2.4两种屈服条件的实验验证 以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影响。以下介绍的两 个实验结果均表明 Von mises条件比 Tresca条件更接近于实阿 2.2.5硬化材料的屈服条件

用主应力表示时，则有： max , ,  2k 1 −2 2 −3 3 −1 = （2. 2） 当有  1  2  3 约定时，则有： 2k  1 −  3 = （2. 3） 2. 2. 3 Von Mises 屈服准则 Tresca 屈服准则不考虑中间主应力的影响；另外当应力处在两个屈服面的交 线上时，数学处理将遇到一些困难；在主应力未知时，Tresca 准则计算十分复 杂。因此 Von Mises 在 1913 年研究了实验结果后，提出了某一屈服准则，即当： I' 2 = C （2. 5） 时材料就进入屈服，其中 C 为常数。由于 2 I ' 与 g  ，  e 以及材料的弹性形状改变 能 2 ' 2 1 I G U e D = 有关，因此具有不同的物理意义。 2. 2. 4 两种屈服条件的实验验证 以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影响。以下介绍的两 个实验结果均表明 Von Mises 条件比 Tresca 条件更接近于实际。 2. 2. 5 硬化材料的屈服条件

从单向拉伸曲线可以看到,进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点,称作后 继屈服点,而且其值总是大于初始屈服点,。对于三维应力空间,初始屈服条 件为一曲面。对于硬化材料,是否也可类推出后继屈服面?该曲面形状如何?大 小如何?实验表明,硬化材料确实存在后继屈服曲面,也称加载曲面。但其形状、 大小不容易用实验方法完全确定,尤其是随着塑性变形的增长,材料变形的各向 异性效应愈益显著,问题变得更为复杂。因此,为了便于应用,不得不对强化条 件进行若干简化假设,其中最简单的模型为等向强化模型。该模型要点为:后继 屈服曲面或加载曲面在应力空间中作形状相似地扩大,且中心位置不变。在丌平 面上,加载曲面变为曲线,它与初始屈服曲线相似。等向强化模型忽略了由于塑 性变形引起的各向异性。在变形不是很大,应力偏量之间相互比例改变不大时, 结果比较符合实际。因此, Tresca准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱面, Von mises准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面 2.3塑性变形的应力应变关系 2.3.1加载与卸载准则 从单拉实验可以看到,进入塑性变形以后,加载则有新的塑性变形产生;卸 载的-关系为弹性关系,那么复杂应力状态下的加载与卸载怎样表示?可以 从等效应力、加载曲面方面加以阐述(图2-5) 若°d>0,应力点保持在加载曲面上变动,称作加载。此时有新的塑性 变形发生,口一关系为塑性的。对于理想塑性材料,这一条不成立;若do。0为 (加载) 加载过程。如果以 f(σ1)=0 表示屈服曲面 (卸载) 服曲面形式来表示。 图25x平面上的加载准则

从单向拉伸曲线可以看到，进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点，称作后 继屈服点，而且其值总是大于初始屈服点  s 。对于三维应力空间，初始屈服条 件为一曲面。对于硬化材料，是否也可类推出后继屈服面？该曲面形状如何？大 小如何？实验表明，硬化材料确实存在后继屈服曲面，也称加载曲面。但其形状、 大小不容易用实验方法完全确定，尤其是随着塑性变形的增长，材料变形的各向 异性效应愈益显著，问题变得更为复杂。因此，为了便于应用，不得不对强化条 件进行若干简化假设，其中最简单的模型为等向强化模型。该模型要点为：后继 屈服曲面或加载曲面在应力空间中作形状相似地扩大，且中心位置不变。在  平 面上，加载曲面变为曲线，它与初始屈服曲线相似。等向强化模型忽略了由于塑 性变形引起的各向异性。在变形不是很大，应力偏量之间相互比例改变不大时， 结果比较符合实际。因此，Tresca 准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱面， Von Mises 准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面。 2．3 塑性变形的应力应变关系 2. 3. 1 加载与卸载准则 从单拉实验可以看到，进入塑性变形以后，加载则有新的塑性变形产生；卸 载的  −  关系为弹性关系，那么复杂应力状态下的加载与卸载怎样表示？可以 从等效应力、加载曲面方面加以阐述（图 2-5）。 若 d  0  e  e ，应力点保持在加载曲面上变动，称作加载。此时有新的塑性 变形发生，  −  关系为塑性的。对于理想塑性材料，这一条不成立；若 d  0  e  e ， 应力点向加载曲面内侧变动，称作卸载，不会产生新的塑性变形，  −  关系为 弹性关系；若 d = 0  e  e ，应力点在原有屈服曲面上变动，对于强化材料而言为 中性变载，没有新的塑性变形，  −  关系为弹性关系。对于理想塑性材料仍为 加载过程。如果以 ( ) = 0 i j f  表示屈服曲面，则可以把上述加载与卸载准则因屈 服曲面形式来表示。 图 2-5 π平面上的加载准则

弹性状态 (a,)=0,可 f da.>0 强化材料加载,理想材 料不成立 (2.10) 强化材料变载,理想材 料加载 f(1)=d=9 do.0

( )  0 i j f  弹性状态 ( ) 0,d d  0   = = i j i j i j f f f    强化材料加载，理想材 料不成立 ( ) 0,d d = 0   = = i j i j i j f f f    （2. 10） 强化材料变载，理想材 料加载 ( ) 0,d d  0   = = i j i j i j f f f    卸载 当应力点处在 = 0 l f 及 = 0 m f 二个屈服曲面“交线”处时，应有： 0, 0, max d , d  0             = = i j i j m i j i j l l m f f f f    

强化材料加载,理想材料不成立 f=0.Jm=0,m/可ya,51/0 强化材料变载,理想材料加载 J=0,Jm=0m/ 0 卸载 2.3.2加载路径与加载历史 从单拉实验可以看到,屈服后加载才有新的塑性变形发生。但是怎样加载? 是一直加载还是加载、卸载、再加载?这里存在一个路径问题,也即应力点在应 力空间或π平面变动的轨迹问题。不同的路径或者历史会产生不同的塑性变形 以金属薄壁管拉扭复合作用为例。设其屈服曲面为图2-6所示。路径1为OACE, 先拉伸至C点,然后扭矩逐步增大,拉力逐步减小,使应力点沿CE变载至E点 这时总的塑性变形为c。路径2为OFE,从原点加载路径F点到达E点,塑性变 形为(E,)。尽管路径1与路径2都有相同的最终应力状态,但产生的塑性 变形不相同。因此,欲求σˉξ关系,就必须弄清是哪条路径下的-5关系。 路径可分成简单加载和复杂加载二大 量各分量 之间的比值保持不变,按同一参量单B 加载。很 明显,简单加载路径在应力空间中为 图2-6不同路径下的变形 2.3.3增量理论(流动理论)

强化材料加载，理想材料不成立 0, 0, max d , d = 0             = = i j i j m i j i j l l m f f f f     （2.11） 强化材料变载，理想材料加载 0, 0, max d , d  0             = = i j i j m i j i j l l m f f f f     卸载 2. 3. 2 加载路径与加载历史 从单拉实验可以看到，屈服后加载才有新的塑性变形发生。但是怎样加载？ 是一直加载还是加载、卸载、再加载？这里存在一个路径问题，也即应力点在应 力空间或  平面变动的轨迹问题。不同的路径或者历史会产生不同的塑性变形。 以金属薄壁管拉扭复合作用为例。设其屈服曲面为图 2-6 所示。路径 1 为 OACE， 先拉伸至 C 点，然后扭矩逐步增大，拉力逐步减小，使应力点沿 CE 变载至 E 点。 这时总的塑性变形为 P C  。路径 2 为 OFE，从原点加载路径 F 点到达 E 点，塑性变 形为（ , ) P E P E   。尽管路径 1 与路径 2 都有相同的最终应力状态，但产生的塑性 变形不相同。因此，欲求  −  关系，就必须弄清是哪条路径下的  −  关系。 路径可分成简单加载和复杂加载二大类。简单加载是指单元体的应力张量各分量 之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件的为复杂加载。很 明显，简单加载路径在应力空间中为一直线，如图 2-6 中的 OFE。 2. 3. 3 增量理论（流动理论） 图 2-6 不同路径下的变形

Saint与 Venant早在1870年就提出在一般加载条件下应力主轴和应变增量主 轴相重合,而不是与全应变主轴相重合的见解,并发表了应力-应变速度(塑性 流动)方程。M.Lewy于1871年提出了应力-应变增量关系,1913年 Mises独立 地提出了与Lewy相同的方程,称之为Lewy- Mises方程。它适用于服从Mise 塑性条件的理想刚塑性体。L. Randt1于1924年提出了平面应变问题的理想弹 塑性体的增量理论,并由A. Reuss推广至一般应力状态,称作 Prandtl- Reuss 方程。现在二个增量理论已推广至强化材料 2.3.4增量理论的实验验证 增量理论的实验验证目的,在于证明Levy- Mises方程与 Randt1- Reuss方 程关于应变增量与应力偏量成比例假设的正确性。W.Lode引入了塑性应变Lode 参数a (dE1-d2)-(d2-dE3) (2.17) 若增量理论是正确的,则应有“。为此做了薄壁圆管受轴向拉伸与内压 同时作用的实验。实验结果表明“='大致成立。理论与实验的差异可能是 材料各向异性所致,也可能是与理论值有误差。1931年G.I. Taylor与H Quinney对铝、铜及软钢的簿壁管施加拉伸与扭转组给载荷实验,证明了°与 dc,的主轴方向的误差不超过2”,但p1,实验指出了与理论的偏差很 H.L.D.Pugh于1953年提出薄壁管不具备各向同性。R.Hill建议采用带 缺口的条状试样来验证。因此此法能很好地控制各向异性的程度。B.B. Gundy 与A.P. Green于1954年用这种方法验证,结果与理论相符

Saint 与 Venant 早在 1870 年就提出在一般加载条件下应力主轴和应变增量主 轴相重合，而不是与全应变主轴相重合的见解，并发表了应力-应变速度（塑性 流动）方程。M. Levy 于 1871 年提出了应力-应变增量关系，1913 年 Mises 独立 地提出了与 Levy 相同的方程，称之为 Levy-Mises 方程。它适用于服从 Mises 塑性条件的理想刚塑性体。L. Prandtl 于 1924 年提出了平面应变问题的理想弹 塑性体的增量理论，并由 A. Reuss 推广至一般应力状态，称作 Prandtl-Reuss 方程。现在二个增量理论已推广至强化材料。 2. 3. 4 增量理论的实验验证 增量理论的实验验证目的，在于证明 Levy-Mises 方程与 Prandtl-Reuss 方 程关于应变增量与应力偏量成比例假设的正确性。W. Lode 引入了塑性应变 Lode 参数 P d  P P P P P P d P 1 3 1 2 2 3 d d (d d ) (d d )         − − − − = （2. 17） 若增量理论是正确的，则应有 P  d  =  。为此做了薄壁圆管受轴向拉伸与内压 同时作用的实验。实验结果表明 P  d  =  大致成立。理论与实验的差异可能是 材料各向异性所致，也可能是与理论值有误差。1931 年 G. I. Taylor 与 H. Quinney 对铝、铜及软钢的簿壁管施加拉伸与扭转组给载荷实验，证明了 ij  ' 与 P ij d 的主轴方向的误差不超过 2°,但 P     d 。实验指出了与理论的偏差很 小。 H. L. D. Pugh 于 1953 年提出薄壁管不具备各向同性。R. Hill 建议采用带 缺口的条状试样来验证。因此此法能很好地控制各向异性的程度。B. B. Hundy 与 A. P. Green 于 1954 年用这种方法验证，结果与理论相符

1976年0 hashi又重新做了薄壁圆管拉扭实验,设法考虑了管中的各向异性影响。 实验结果肯定了=的结论 2.3.5全量理论(形变理论) 若已知应变变化历史,即知道了加载路径,则沿这个路径可以积分得出应力 与应变全量之间的关系,建立全量理论或形变理论,尤其是简单加载下,把增量 理论中的增量符号“d”取消即可。 在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解 题的方便性,在简单加载条件不成立的情况下,也经常使用全量理论求解。最令 人奇怪的是象板材的塑性失稳问题,在失稳时刻,应力分量之间的比例变化激烈, 而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范 围比简单加载宽得多,因此提出了所谓偏离简单加载问题,探讨应力路径可以偏 离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量 理论计算结果比增量理论好,目前仍未很好解决,还在继续硏究之中。 2.3.6塑性势与流动法则 以上关于塑性状态本构关系的论述都与 Mises屈服准则相关。其他屈服准则 是否也有相应的本构关系?借助塑性势的概念可以回答这个问题 Mises在1928年类比了弹性应变增量可用弹性势函数对应力求偏导的表达 式,指出了“塑性势”的概念。其数学表达式为 (2.18) de=da 此处 vr 负系数。G应是一个怎样的函数?它与屈服 表面 cker强化公设 f(O.,)=0 1:(e1y) 图2-7

1976 年 Ohashi 又重新做了薄壁圆管拉扭实验，设法考虑了管中的各向异性影响。 实验结果肯定了 P  d  =  的结论。 2. 3. 5 全量理论（形变理论） 若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力 与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下，把增量 理论中的增量符号“d”取消即可。 在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解 题的方便性，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令 人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈， 而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范 围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题，探讨应力路径可以偏 离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量 理论计算结果比增量理论好，目前仍未很好解决，还在继续研究之中。 2. 3. 6 塑性势与流动法则 以上关于塑性状态本构关系的论述都与 Mises 屈服准则相关。其他屈服准则 是否也有相应的本构关系？借助塑性势的概念可以回答这个问题。 Mises 在 1928 年类比了弹性应变增量可用弹性势函数对应力求偏导的表达 式，指出了“塑性势”的概念。其数学表达式为： （2. 18） 此处 G 为“塑性势”， d 为一种非负系数。G 应是一个怎样的函数？它与屈服 表面有何关系？这里先考察一下 Drucker 强化公设 图 2-7 d d P ij ij G     = 

2.4变形抗力曲线与加工硬化 在-6关系中含有系数d,要确定d,必须知道~关系曲线,即等 效应力应变曲线 变形抗力是指材料在一定温度、速度和变形程度条件下,保持原有状态而抵 抗塑性变形的能力。它是一个与应力状态有关的量。不同的应力状态,有不同的 变形抗力,如单拉、单压下的变形抗力的Or(也称流动应力),平面应变压缩 2 K=2K 下的变形抗力为K,纯剪状态下的剪切变形抗力的k等,其中 实际变形抗力还与接触条件有关 2.4.1变形抗力曲线与等效应力应变曲线 不同的应力状态,会有不同的变形抗力曲线。单拉曲线已在前面叙述过,在此对 单压、平面应变压缩、双向等拉与扭转试验曲线加以介绍。 2.4.2等效应力°的确定

2．4 变形抗力曲线与加工硬化 在  −  关系中含有系数 d ，要确定 d ，必须知道 e e  ~  关系曲线，即等 效应力应变曲线。 变形抗力是指材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵 抗塑性变形的能力。它是一个与应力状态有关的量。不同的应力状态，有不同的 变形抗力，如单拉、单压下的变形抗力的  T （也称流动应力），平面应变压缩 下的变形抗力为 Kf，纯剪状态下的剪切变形抗力的 k 等，其中 f T K k  3 2 = 2 = 。 实际变形抗力还与接触条件有关。 2. 4. 1 变形抗力曲线与等效应力应变曲线 不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线。单拉曲线已在前面叙述过，在此对 单压、平面应变压缩、双向等拉与扭转试验曲线加以介绍。 2. 4. 2 等效应力  e 的确定