材料力学 第五章弯曲应力 Stresses in Bending
材 料 力 学 第五章 弯曲应力 Stresses in Bending
§5-1引言 Introduction 由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内 力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两 种分布内力的集度—剪应力τ(面内应力)和正应 力σ(法向应力)。由理力知识我们知: 西F=AnQ,故正应力的合力不可能产生Q向 分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截 面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生 绕此面内水平轴的合力矩M。因此,aM:a4g。 若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为 常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲 Pure bending) 平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况
，故正应力的合力不可能产生Q向 分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截 面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生 绕此面内水平轴的合力矩M。 §5-1 引言 Introduction dF dA n Q = ⊥ 由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内 力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两 种分布内力的集度——剪应力τ(面内应力)和正应 力σ(法向应力)。由理力知识我们知: 因此, dA M; dA Q 。 若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为 常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure Bending)。 平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 和c2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样,分析了杆弯曲变形的内力 Q,M后,还需进一步分析梁的应力分布和计算,才能解决工程中 的强度计算等实际问题。 和前面一样,由内力→应力需通过对梁的变形几何,物理关系, 静力平衡三方面综合研究。由于:a→M,故我们先研究以M为主的 简单梁纯弯曲梁( Pure Bending Beam)Q=0的梁(或梁段)。例如 另对应有:横力弯曲( (shear bending transverse bending mAr P Pr B 梁内(或梁段内)Q均0 平面纯弯曲=平面弯曲+纯弯曲 纯弯曲的M作用在梁的纵向对称 N O VaD 平面内Oxy平面),对应: 平面横力弯曲一平面弯曲+横力弯曲 现以平面纯弯曲梁(梁的平面假设成立的前提)为条件推导梁 的正应力公式:
和ch2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力— Q，M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中 的强度计算等实际问题。 和前面一样，由内力→应力需通过对梁的变形几何，物理关系， 静力平衡三方面综合研究。由于: , dA M §5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam m A B + D P P Pa M 故我们先研究以M为主的 简单梁—纯弯曲梁(Pure Bending Beam):Q≡0的梁(或梁段)。例如: 另对应有:横力弯曲(shear bending , transverse bending): 梁内(或梁段内)Ｑ≠0 平面纯弯曲 == 平面弯曲 + 纯弯曲 纯弯曲的M作用在梁的纵向对称 平面内(Oxy平面)，对应: 平面横力弯曲== 平面弯曲 +横力弯曲 现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁 的正应力公式:
S5-2轴奢曲时梁横截面上的正应力 必 Stress of Beam 中性层区下 验研究 后的轴线垂直。只是相对 d 原来位置转动了一个角度 ②纵向直线(ab)和(cd)m 弯成圆弧线(曲线)。故凹 中性轴 d 面纤维(如弧ab)缩短而凸 面纤维(如弧cd)伸长。 因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维 为中性层( neutral surface)。中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维 的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性 轴( neutral axis) ③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑 比有关的(横向)拉伸与压缩的现象
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam ③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑 比有关的(横向)拉伸与压缩的现象。 A B 1 2 1 2 a b c d dx me me 中性轴 1 2 a b dx c d 1 2 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 变形特点: ①１－１与２－２变 形后仍为直线,仍与变形 后的轴线垂直。只是相对 原来位置转动了一个角度。 ②纵向直线(ab)和(cd) 弯成圆弧线(曲线)。故凹 面纤维(如弧ab)缩短而凸 面纤维(如弧cd)伸长。 因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维 为中性层(neutral surface)。中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维 的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性 轴(neutral axis)
§5-2纯弯曲时梁横面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 由以上的特点可抽象如下的假设: ①平面假设( Plane section assumption) 在纯弯曲时,变形前为平面的横截面。变形后仍为平面 ②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。 o;σ依横截面的高度y改变) ③各纵向纤维间 没有挤压。 梁弯曲的平面假设 z(中性轴) 梁在受力弯曲后 其原来的横截面仍为m 平面它绕其上的中性 轴旋转了一个角度,且 仍垂直于梁变形后的 轴线
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam y x z(中性轴） m m 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 由以上的特点可抽象如下的假设: ①平面假设(Plane section assumption): 在纯弯曲时，变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。 ②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。 = 0 z (即: ;依横截面的高度y改变） ③各纵向纤维间 没有挤压。 梁弯曲的平面假设: 梁在受力弯曲后, 其原来的横截面仍为 平面,它绕其上的中性 轴旋转了一个角度,且 仍垂直于梁变形后的 轴线
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-22.弯曲正应力的公式推导 几何:如图取变形后的dx微段 梁来研究,中性层上的弧长 0,0,=dx=pde 2 cd段的纤维变形前长a=M 变形后长(M为正时) Z cd=(p+ y)de adA y 因此距中性层为y的 层纤维cd的线应变为 -cd (p+y)d0-dx pde+ yd0-pde y pde 式中p为中性层变形后的曲率半径( Radius of curvature),1/p为曲率( curvature) 在纯弯曲时由对称性和圣维南原理,=2一般对各向同性均匀 连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系。 物理:将=() AE→=A (受拉边),σ=-A (受压边) 化关系。如
cd = dx §5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam O1 O2 1 1 2 2 d d O' M M=me y z dA y 在纯弯曲时由对称性和圣维南原理, 一般对各向同性均匀 连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系。 y = 物理:将 关系代入(a)式,即得平面弯曲梁的正应力随y的变 化关系。如: = ( ) (受拉边), (受压边) n n n y A y A A − − − = − = = o1 o2 = dx = d cd = ( + y)d , ( ) ( ) a y y d d yd d dx y d dx cd cd cd = = + − = + − = − = 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 几何:如图取变形后的dx微段 梁来研究，中性层上的弧长 cd段的纤维变形前长 变形后长(M为正时): 因此距中性层为y的一 层纤维cd的线应变为: 式中为中性层变形后的曲率半径(Radius of curvature), 1/ 为曲率(curvature)
上的正应力 曲正应力的公式推导 设 (杆轴) E =EE=-y.…,(c) (中性轴上二 需由静力学关系求解。 y(对称轴) yod4,M,=|xσd4 注意到横截面上=0M=M.M,=9,1m4=-114=-12 E ∵二≠0:∴S=0 表示中心轴应通过横截面的形心 对指定截面 M144=1=因y为对称轴,故21=0面积分之外 E E.简记为E I M (5-1)式为研究弯 YdA==I (5-1)曲问题的一个基 P EI 本公式 代入 M (c)得:G= …(S-2)式中M是需求应力之横截面上的弯矩;是此横截面对 中性轴的轴惯矩;y是需求应力处到中性轴的垂直坐标
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 ; y.....(c) t c p ① = ② = = = = = A A y A N dA; Mz y dA; M z dA; , 0 = = = yz yz A A y M z dA zydA 因y为对称轴，故I ....(5 1) 2 1 − = = = = M M y dA z A 简记为 物理: 对工程中常用的材料，我们可以假设: 由(c)式知道,在横截面上成 线性分布(对线弹性材料而言) 因(c)式中的还不知道,中性轴位置(y值)也不知道,需由静力学关系求解。 静力学:(对平行力系有:) 注意到横截面上 N = 0, Mz = M , M y = 0 ， = 0, = − = − z A A dA ydA S 故 对指定截面 为常数, 可提到 面积分之外。 0; = 0 Sz 表示中心轴应通过横截面的形心。 (5-1)式为研究弯 曲问题的一个基 本公式。 ....(5 − 2) = My 代入 (c)得: 式中M是需求应力之横截面上的弯矩;I是此横截面对 中性轴的轴惯矩; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 I的物理意义:梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲(变形 的能力 中性轴(z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面(oxy)。故oxyz 构成一直角坐标系。如果我们不计M的正负和y的正负,得求6大小 的公式 由此式求出6的大小后,根据M的正负很 G6-2)确对的压)1)项用为 (凸边受拉凹边受压)讨论: ①式(52)表明6∝y;6在中性轴为0;在上、下边沿6最大 假如中性轴z为对称轴:已 c max 6∝M;6∝1/I ②式1=M(6-表明:曲率1/表示梁变形的程度)M; DEⅠ 1/ p∝1/EI 故M↑→轴线越弯曲;E↑→轴线变形越小(越平缓)。 因此,EI叫梁的抗弯刚度( Flexural rigidity)
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 ....(5 − 2) = My (凸边受拉,凹边受压) ②式 表明:曲率1/(表示梁变形的程度) ∝M ; 1/∝1/EI。 ....(5 1) 1 − = M 故 M 轴线越弯曲; EI 轴线变形越小(越平缓) 。 I的物理意义:梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲(变形) 的能力。 中性轴(z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面(oxy)。故oxyz 构成一直角坐标系。如果我们不计M的正负和y的正负,得求б大小 的公式 由此式求出б的大小后,根据M 的正负很 容易确定б的正(拉应力 )负(压应力)应为: (M >0时:上压下拉; M <0时:上拉下压) 讨论: ①式(5—2)表明б∝y;б在中性轴为0;在上、下边沿б最大。 假如中性轴z为对称轴； t max cmax = ；б∝M；б∝1/I。 因此，EI叫梁的抗弯刚度(Flexural Rigidity)
2纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 ③如右图,微段dx内的弯曲变形能 Mde==M dx d 2 El ∵EⅠ 从(0→d0)且与M成正比 dx 故 32=J0 M JO 2EI ④式(5-1)和式(5-2)的适用范围:a.线弹性材料:6max≤6p b.纯弯曲梁的弹性力学解表明平面假设在纯弯曲梁中成立 c.对纯弯曲梁,使用(5-2)式时y轴(&z轴)必须为形心主轴。 d.对平面横力弯曲,ifl/h>5时Q引起的6(由平面不均匀翘曲所致) 很小。同时外载引起的压应力(可忽略(微挤压;微均匀翘曲) 此时可用式(52)计算平面横力弯曲的应力6=M(x)y/(其精度一般 满足工程的需要),用(5-1)式计算梁的曲率K=1/p=M(x)/EI e.当梁为无对称轴的实体梁时,情况比较复杂。需在研究了τ的分 布规律时才能讨论横力弯曲问题
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 dx dθ dθ M M dx EI dx M dU dT Md M 2 2 1 2 1 2 1 = = = = ∵M从(0→M) dθ从(0→dθ)且与M成正比 故全梁的弯曲变形能: = = l l dx EI M U dU 0 2 2 ....(5 − 2) = My ....(5 1) 1 − = M ③如右图,微段dx内的弯曲变形能: ④式(5-1)和式(5-2)的适用范围: a. 线弹性材料:бmax≤бp b.纯弯曲梁的弹性力学解表明平面假设在纯弯曲梁中成立。 c.对纯弯曲梁，使用(5-2)式时y轴(& z轴)必须为形心主轴。 d.对平面横力弯曲,if l/h>5时Q引起的б(由平面不均匀翘曲所致) 很小。同时外载引起的压应力(бy )可忽略(微挤压；微均匀翘曲)。 此时可用式(5-2)计算平面横力弯曲的应力б=M(x)y/I(其精度一般 满足工程的需要),用(5-1)式计算梁的曲率K=1/ρ=M(x)/EI e.当梁为无对称轴的实体梁时，情况比较复杂。需在研究了的分 布规律时才能讨论横力弯曲问题
O(x=M(x)y (5-2) 的正应力强度条件 dition of Normal stress 由前节讨论④d.知式(5-2)可推广应用于平面横力弯曲的正应力 计算当梁的跨长远大于梁高时(D》),其精度一般满足工程的需要 此时,因MM(x),故正应力o=(x)也将为横截面位置坐标x的函数 由此得:平面横力弯曲梁的最大正应力将发生在弯矩数值最大的 横截面(叫:危险截面)上离中性轴最远处(叫:危险点)。因而,其强度 条件可表达为: max max max max max ≤[] ≤[]-.(5-5a) 若定义:|w 叫抗弯截面模量( section modulus in ymax bending,为一个与横截面的大小和形状有关 的几何量,其量纲为[3]常用单位为mm3或m3) 则平面弯曲梁的 maX 强度条件可表达为: a]…5-5b)
§5-3 梁的正应力强度条件 Strength Condition of Normal Stress ....(5 2') ( ) ( ) − = M x y x , [ ] [ ]....(5 5 ) max max max max max max a M y M y − = [ ] ....(5 5 ) max b W M − 由前节讨论④ d.知式(5-2)可推广应用于平面横力弯曲的正应力 计算,当梁的跨长远大于梁高时( l>>h ),其精度一般满足工程的需要。 此时,因 M=M(x),故正应力[=(x)]也将为横截面位置坐标x的函数。 由此得:平面横力弯曲梁的最大正应力将发生在弯矩数值最大的 横截面(叫:危险截面)上离中性轴最远处(叫:危险点)。因而,其强度 条件可表达为: max y I 若定义: W = 叫抗弯截面模量(section modulus in bending,为一个与横截面的大小和形状有关 的几何量,其量纲为[L3 ],常用单位为mm3或m3 )。 则平面弯曲梁的 强度条件可表达为: