材料力学 第三章扭转 Torsion
材 料 力 学 第三章 扭 转 Torsion
§3-1概念与实例 Concepts and Examples 圆轴 shaft:传 动轴,动力轴,通 常为圆截面直杆。 C 受力及变形的基本 情况如图 受力情况: 受一作用在垂直于杆轴的两个平面内的力 偶(其矩相等,转向相反)作用 两横截面绕杆轴线作相动,因而有 相对角位移,称为扭转角 Twisting angle 同时,杆的纵向直线变为螺旋线(小变形时可 近似为倾斜线)
§3-1 概念与实例 Concepts and Examples 圆轴shaft: 传 动轴，动力轴，通 常为圆截面直杆。 受力及变形的基本 情况如图: 受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力 偶（其矩相等，转向相反）作用。 受力情况: 任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有 相对角位移，称为扭转角Twisting angle。 同时，杆的纵向直线变为螺旋线（小变形时可 近似为倾斜线）。 变形情况:
用形力6万法只能解 次等直园杆(实儿O园筒) 的扭转问题和闭薄壁直杆 的自出扭转问题。 主辅 从动轮 轴 主动轮 叶片 (6)
用材力的方法只能解 决等直圆杆（实心OR圆筒） 的扭转问题和闭口薄壁直杆 的自由扭转问题
§3-3外力偶矩的计算 Calculation of Torsional loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque figure 3.2. 1 Calculation of Torsional Loads Torsional moment 、手摇绞车之类:m。=Q×R or m=P×b 外力作用点到轴心的距离 钢轴 B □W
§3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads •扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure • 3.2.1 Calculation of Torsional Loads — Torsional moment • 一、手摇绞车之类: mc=Q×R or mc=P×b 外力作用点到轴心的距离 W D
§3-3外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩图 orque and torque Figure 机器传动轴 30P =9.55 P←-(kW) 丌n n←(r·p·m) 已知轴的转速为n(rpm),传递的功率P(kW=kNms则 单位时间所做的功为:W=P=me(2πn/60 所以m=(30/)(N/m)9.549N(kw)/n(rpm)-(3-4) 注:主动轮上的外力偶矩(m。)与轴的转向一致;被动轮 上的外力偶矩(me)与轴的转向相反 注意到: 1kW=1.36PS s 9.55P ←(PS) (马力故有:m 7.02 1.36n n←(r·p·m) 从动轮 主动轮 从动轮
§3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads •扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure ( ) ( ) 9.55 30 r p m k W n P n P me = = ( ) ( ) 7.02 1.36 9.55 r p m PS n P n P me = = 二、机器传动轴: 已知轴的转速为n(r·p·m); 传递的功率P(kW=kN·m/s)则: 单位时间所做的功为: W=P=me·(2n/60) 所以 me=(30/π) ·(N/n)=9.549 N(kw)/n(r·p·m) ---(3-4) 注: 主动轮上的外力偶矩（me）与轴的转向一致；被动轮 上的外力偶矩（me）与轴的转向相反。 注意到: 1kW=1.36PS (马力),故有:
§3-3外力偶矩的计算 Calculation of Torsional loads ●扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 3.2.2扭矩 Torque-扭矩轴的内力 IInternal forces of Torsion shaft 扭矩图 Torque Figure 扭矩 Torque 外力偶矩作用于圆轴后,产生 扭转变形→横截面的分布内力(剪应力)→内力偶矩T or MIT 扭矩) T(Mr)可根据作用于圆轴上的外力偶矩m由截面法求出; T(Mr)的量纲:[力[长度 常用单位:Nm;kNm T(Mr)的正负规定:如图,按右手螺旋法则确定 MI>0 MRO
§3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads • 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure T(MT )可根据作用于圆轴上的外力偶矩mi由截面法求出; T(MT )的量纲: [力]·[长度] 常用单位: N·m；kN·m T(MT )的正负规定: 如图，按右手螺旋法则确定 ⎯ ⎯→ ⎯合成⎯→ 产生 3.2.2 扭矩Torque---扭矩轴的内力Internal forces of Torsion shaft · 扭矩图 Torque Figure 一、扭矩Torque: 外力偶矩作用于圆轴后，产生: 扭转变形 横截面的分布内力(剪应力) 内力偶矩T (or MT ,扭矩)
§3-3外力偶矩的计算 Calculation of Torsional loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figur 3.2.2 Torque---Internal forces of Torsion shaft. Torque Figure 二、扭矩图 Torque Figure 按扭矩沿轴线的变化所作的内力图—扭矩图 求 Torque的基本方法:截面法(注意用设正法) 如图,nn截 面上(Ⅱ)部分(右 侧)的扭矩大小和 方向可由下面两 种方法确定 ①右侧部分自身平衡(外力偶矩m4ms与T(Mr)平衡)求出的T(Mn)大小 和方向作用于右侧部分的nn截面 ∑m=0:T+m1+m=0→T=m1-m(I) ②左侧部分外力偶矩(m,m2,m3)的代数和,求出的T(M1)大小和方向作 用于右侧部分的nn截面 T=m3+m2-m==m-m5(ⅡI)
§3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads • 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 4 5 0 4 5 mx = 0: T + m + m = T = −m −m T = m3 + m2 − m1 = −m4 − m5 3.2.2 Torque---Internal forces of Torsion shaft · Torque Figure 二、扭矩图 Torque Figure 按扭矩沿轴线的变化所作的内力图——扭矩图 求Torque的基本方法: 截面法——(注意用设正法) 如图,n—n截 面上(Ⅱ)部分(右 侧)的扭矩大小和 方向可由下面两 种方法确定: (Ⅰ) ①右侧部分自身平衡(外力偶矩m4 , m5与T(MT)平衡),求出的T(MT)大小 和方向作用于右侧部分的n—n截面。 (Ⅱ) ②左侧部分外力偶矩(m1 , m2 , m3 )的代数和,求出的T(MT)大小和方向作 用于右侧部分的n—n截面
此外,还可以将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示,并规定 当力偶矢的指向亮开截面扭矩为正,反之为负。这两种对扭矩正 负号的规定是一致的。按此规定,在图b或c中所示横截面I上的扭矩T应 为正号 m1=6m,m2=m,m3=2m,m=3m。先 求杆中间BC段中任一横截面I 上的扭矩。用截面法将杆沿横截 3m(d) 面Ⅰ—I处假想地截分为二,并研 (6) sEll JITTTUIT 究其左半段杆(图b)的平衡。由 衡方程得:∑m=0,7-m1+m2=0 T=m-m2=6-m=5m 扭矩T的转向如图b所示。 同理:T 6 3m在同一横截面上所求得的扭矩 为了表明沿杄轴线各横截面上的扭矩的变化情况,从而确定最 大扭矩及其所在横截面的位置,可仿照轴力图的作法(参见§2-2) 绘制扭矩图。绘出图a所示的杆的扭矩图如图d。可见,最大扭矩 上的扭矩为几m在杆的左端一段内任一横截面上,其值为6m
如果研究其右半段杆的平衡，则在同一横截面上所求得的扭矩 在数值上与上面得到的相等但转向却相反(图c)。 为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致,对 扭矩的正负号应按杆的变形情况来规定。习惯上规定杆因扭转而使 其纵向线在某一段内有变成右手螺旋线的趋势时，则该段杆横截面 上的扭矩为正，反之为负。 设一等直圆杆如图a所示，作 用在杆上的外力偶矩分别为: m1=6m，m2=m，m3=2m，m4=3m。先 求杆中间BC段中任一横截面I——I 上的扭矩。用截面法将杆沿横截 面I——I处假想地截分为二，并研 究其左半段杆(图b)的平衡。由平 衡方程得: §3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads • 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure T1 = m1 −m2 = 6m−m = 5m 此外，还可以将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并规定 当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。这两种对扭矩正 负号的规定是一致的。按此规定，在图b或c中所示横截面I—I上的扭矩TI应 为正号。 同理: T = m1 = 6m T = m4 = 3m mx = 0, T1 −m1 + m2 = 0 扭矩Tl的转向如图b所示。 这样，就可以使得按左段杆和右段杆的平衡条 件所得到的同一截面上的扭矩在正负号上相一致。 为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最 大扭矩及其所在横截面的位置，可仿照轴力图的作法(参见§2-2) 绘制扭矩图。 绘出图a所示的杆的扭矩图如图d。可见，最大扭矩 Tmax在杆的左端一段内任一横截面上，其值为6m
S oO E-t 例题32:一传动轴如图a所mymP P Pi m4P n 示,其转速n=300r/min,主动(a) 轮输入的功率P1=500kW。若不 计轴承摩擦所耗的功率,三个 从动轮输出的功率分别为: P2=150kW、P2=150kW及P4=200kW。 试作轴的扭矩图。 I C A 解:首先按公式(3-4a)计算外 6.37 力偶矩(图a) m1=95S5×500 a)单位kN·m 15.9kNm 300 m=m=9552 9.55×150 n300 4.78kNm 4.78 m=9552=955×20063kNm 9.56 300 然后,由轴的计算简图(图b),用截面法计算各段轴内的扭矩扭矩的正负号按前 述的规定。先计算CA段内任一横截面II(图b)上的扭矩。沿横截面IⅡ将轴截 开,并研究左边一段轴的平衡假设T为正值扭矩,由平衡方程 ∑m=0,m2+m3+m=0得mn=-m=m=-956Nm结果为负号,说明T1应是负 同理在RC段内7=-m2=478Nm在AD段内1=m1=637Nm 作扭矩图如图d。可见,最大扭矩T在CA段内,其值为9.56kNm
作扭矩图如图d。可见,最大扭矩Tmax在CA段内,其值为9.56 kN·m。 §3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads • 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 例题3-2:一传动轴如图a所 示，其转速n=300r/min，主动 轮输入的功率P1=500kW。若不 计轴承摩擦所耗的功率，三个 从动轮输出的功率分别为: P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。 试作轴的扭矩图。 解:首先按公式(3－4a)计算外 力偶矩(图a) 同理,在BC段内 T = −m2 = −4.78kNm 然后,由轴的计算简图(图b),用截面法计算各段轴内的扭矩,扭矩的正负号按前 述的规定。先计算CA段内任一横截面II—II(图b)上的扭矩。沿横截面II—II将轴截 开,并研究左边一段轴的平衡,假设TII为正值扭矩,由平衡方程 mx = 0, m2 + m3 + T = 0 得 T = −m2 − m3 = −9.56kNm 结果为负号,说明TII应是负 在AD段内 T值扭矩 = m4 = (6图 .37c)kNm。 kNm n P m kNm n P m m kNm n P m 6.37 300 9.55 200 9.55 4.78 300 9.55 150 9.55 15.9 300 9.55 500 9.55 4 4 2 2 3 1 1 = = = = = = = = = =
§3-4等直圆杆的扭转 Torsion of prismatic shaft 34.1受扭圆轴的应力和变形 Stress deformation of shaft in Torsion 因为M1为绕轴线x的力偶矩,故只可能由横截面内的应力一剪应力τ合成。 由实验观察得圆轴扭转变形如图, 其纵向直线(与杆轴x平行)变成相互 me A B 平行的斜线。而圆周线的形状和尺寸 均未变,圆周线之间的距离也未改变 故对圆轴扭转可作如下假设 D Me (1)(刚)平面假设 Hypothesis of Rigid Cross Section 实质:横截面无曲变形。圆轴受扭变形后,所有横截平面仍保特为平 (2)刚轴线假设 厦但绕杆轴线不同程度地转动了一个角度。(两相 Rigid Axis Hypothesis:邻(dx)的横截面1-1,2-2产生相对转动角dφ)。 圆轴受扭后,轴线无伸缩。即两横截面同的距保持不变。 实质:圆轴无轴向(伸变形。 以上两假设相当于把圆轴杆看成穿在刚性轴线上的无数圆薄片组成,两相邻 圆薄片之间存在抗扭(转角)刚度。在受到扭矩作用时,每一圆薄片相对原来位 置转动了一个角度。两相邻圆薄片之间存在相对扭转角dφ
实质: 圆轴无轴向(伸缩)变形。 圆轴受扭后，轴线无伸缩。即两横截面间的距离保持不变。 §3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion. 因为MT为绕轴线x的力偶矩，故只可能由横截面内的应力—剪应力t合成。 由实验观察得圆轴扭转变形如图, 其纵向直线(与杆轴x平行)变成相互 平行的斜线。而圆周线的形状和尺寸 均未变,圆周线之间的距离也未改变。 故对圆轴扭转可作如下假设: ⑴(刚)平面假设 Hypothesis of Rigid Cross Section: 圆轴受扭变形后,所有横截(平)面仍保持为平 面,但绕杆轴线不同程度地转动了一个角度。(两相 邻(dx)的横截面1—1,2—2产生相对转动角dφ)。 实质: 横截面无翘曲变形。 ⑵刚轴线假设 Rigid Axis Hypothesis: 以上两假设相当于把圆轴杆看成穿在刚性轴线上的无数圆薄片组成，两相邻 圆薄片之间存在抗扭（转角）刚度。在受到扭矩作用时，每一圆薄片相对原来位 置转动了一个角度。两相邻圆薄片之间存在相对扭转角dφ