材料力学 第六章弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
材 料 力 学 第六章 弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
6-3按叠加原理计算梁的挠度和转角 Method of Superposition 例题6-4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原 四4电,上。和支座处横截面的转角A、B。 5al 如):HH五 384EⅠ16EⅠ b,=6.+6 g+m理a 24EⅠ3EI n=日n+, B B 7 ml 24E6EⅠ
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 Method of Superposition 例题6-4 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原 理求梁跨中点的挠度fC和支座处横截面的转角qA、qB 。 解:此梁上的荷载可以 分为两项简单的荷载， 如图b、c 所示: EI ml EI ql EI ml EI ql EI ml EI ql f f f m B q B B m A q A A m C q C C 24 6 24 3 384 16 5 3 3 4 2 = − − = + = + = + = + = + q q q q q q
6-3按叠加原理计算梁的挠度和转角 例题6384E/278E1"On=(92 5(q/2)45q/ 24E48E/陪度 f和两响截呷 解:为了利用 两种情况的 fn=0,O4=0 (q/22)q3b反对称荷载 A2 B 24E 384EI 在正对玫若盐在田玉泌由都面的技 乙而进 由咐录IV表 中查得分别 在反对fC=fn+f 2768EI 行跨中截 面的挠度f 我面上的 梁,因此pP4=40248E384E/12800)的简支 弯矩又等于 q 将相 位移值进科n=0n+B gl gl7qgl 加,即得 (U) 48E384EI384E (b) A EHHIITTY
在反对称荷载作用下,梁的挠曲线对于跨中截面应是反对称的,因而跨中截 面的挠度fC2 应等于零。由于C截面的挠度为零,但转角不等于零,且该截面上的 弯矩又等于零。故可将AC段和CB段分别视为受均布荷载作用且长度为l/2的简支 梁,因此,由附录IV表中查得: 例题6-5 试利用叠加法,求图a 所示抗弯刚度为EI的简支梁的跨中截面挠度 fC和两端截面的转角qA 、qB 。 解:为了利用附录IV表中的结果,可将图a所示荷载视为正对称荷载与反对称荷载 两种情况的叠加(图b)。 §6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 Method of Superposition EI ql EI q l f C A B 24 384 ( 2)( 2) 0 , 3 3 2 2 2 = q =q = = EI ql EI q l EI ql EI q l f C A B 24 48 ( 2) , 768 5 384 5( 2) 3 3 1 1 4 4 1 = = q = −q = = 将相应的 位移值进行叠 加，即得: 在正对称荷载作用下,梁跨中截面的挠度以及两端截面的转角,由附录IV表 中查得分别为: ( ) 384 7 48 384 ( ) 128 3 48 384 ( ) 768 5 3 3 3 1 2 3 3 3 1 2 4 1 2 E I ql E I ql E I ql E I ql E I ql E I ql E I ql f f f B B B A A A C C C = + = − + = − = + = + = = + = q q q q q q
梁的挠度和转角 alll HEATHEn opposition Ba 9 24EI24EI 3EI MBl ga(2a)_2qa HH珍M-g BMB 3EI 3EI BEl 501450(2a)450q 张( 2ga D384EⅠ384EⅠ24EⅠ zoa ga(2a M3 DMB 16El 16El 4EⅠ B 0=0 +6 naTt B3EⅠ3EI3EI 4 gaga 々Ja D=fda+ j DMB 24EI 4EI 24EI M3=ga BBM, Dw a+ a+ ga iqa 8EI3EI4EⅠ12EI
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 Method of Superposition 例题6－6 一抗弯刚度 为EI的外伸粱受荷载如图a 所示,试按叠加原理并利用 附录IV的表,求截面B的转 角qB以及A端和BC段中点 D的挠度fA 和fD 。 EI qa EI qa a EI M l f EI qa EI q a EI ql f EI qa EI qa a EI M l EI qa EI q a EI ql B B DM Dq B B BM Bq 16 4 (2 ) 16 24 5 384 5 (2 ) 384 5 3 2 3 (2 ) 3 24 3 (2 ) 24 2 2 2 4 4 4 4 2 3 3 3 3 = − = − = − = = = = − = − = − = = = q q EI qa EI qa EI qa f f f EI qa EI qa EI qa B D Dq DM B B Bq BM 24 4 24 5 3 3 2 3 4 4 4 3 3 3 = + = − = − q =q +q = − = − EI qa EI qa a EI qa EI q a f f f a A B 12 7 8 3 4 (2 ) 4 3 4 4 1 2 = + = −q + = + =
§6-4(1)梁的刚度校核 Rigidity Condition of Beam 工程上一般要求瓜m≤门式中(m=pm X max ≤l] max max 士建工程中通常只限制/m [/门 在机械制造 故梁的刚度条件又可表达为 工程方面,对主 要的轴,[/]的值 max f 在土建工程方面,[157 (6-5)则限制在 的值常限制在1/250 /5000~1/10000 1/1000范围内; max 范围内; 对于一般土建工程中的构件强度要求如能对传动轴在 满足刚度条件一般也能满足。因此,在设计工支座处的许可转 作中,则度要求比起强度要求来常处于从属地角间]一般限制在 位。但是,当正常工作亲件对构件的位移限制很0.005 或按强度条件所选用的构件截面过于单薄的范断多0.001ad 刚度条件有的地可能起控制作用
§6-4(1)梁的刚度校核Rigidity Condition of Beam q q max max 工程上一般要求 f f : ( ) ( ) max max max max q = q 式中: f = y 土建工程中通常只限制 f max 且 l n f = 1 q q − max max (6 5) l f l f 故梁的刚度条件又可表达为: 在土建工程方面,[f/l] 的值常限制在:1/250～ 1/1000范围内; 在机械制造 工程方面,对主 要的轴,[f/l]的值 则限制在 1/5000～ 1/10000 范围内; 对传动轴在 支座处的许可转 角[q]一般限制在 0.005～0.001rad 范围内。 对于一般土建工程中的构件,强度要求如能 满足,刚度条件一般也能满足。因此,在设计工 作中,刚度要求比起强度要求来,常处于从属地 位。但是,当正常工作条件对构件的位移限制很 严,或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时, 刚度条件有时也可能起控制作用
§6-4(1)梁的刚度校核 Rigidity Condition of Beam 例题6-7简支梁如图,已知按强度条件所选择的梁为两根20a号槽钢, 每根槽钢的惯性矩I=1780cm,钢的弹性模量为E=210GPa。此梁许可 的挠度与梁跨长的比值为[f/1]=1/400。试核核此梁的刚度。 解:由于简支梁上的横向力指向相同,其挠曲线上将无拐点。因此,可 将梁跨中点C处的挠度f作为梁的最大挠度fa。根据附录Iⅴ的第1l 釉情况按叠加原理可求得最大挠度的数值为 4 C [3/-4b2]= 3(∑P)4∑P 48E 48El i=1 注意到:ab,a+b=l 故丬 fm=494mm故 n 40KN 12KN 4.940.82 maX B < 12400400l400 07Jc10.30 得因此此梁刚度条件满足要求。【24m
例题6-7 简支梁如图,已知按强度条件所选择的梁为两根20a号槽钢, 每根槽钢的惯性矩I=1780cm4 ,钢的弹性模量为E=210GPa。此梁许可 的挠度与梁跨长的比值为[f/l]=1/400。试核核此梁的刚度。 解:由于简支梁上的横向力指向相同,其挠曲线上将无拐点。因此,可 将梁跨中点C处的挠度fC作为梁的最大挠度fmax。根据附录 IV的第11 种情况,按叠加原理可求得最大挠度的数值为: §6-4(1) 梁的刚度校核 Rigidity Condition of Beam [3 ( ) 4( )] 48 1 [3 4 ] 48 4 1 3 4 1 2 4 1 2 2 max = = = = − = − i i i i i i i i i i C l Pb Pb E I l b E I Pb f f 注意到:∵a≥ｂ, a＋b＝l ∴b＜ l／2 故将:E=210GPa,I=1780cm4 ; P1=120kN,b1=0.4m;P2=30kN, b2=0.8m;P3=40kN,b3=0.9m; P4=12kN,b4=0.6m代入上式, 得: 因此 此梁刚度条件满足要求。 故 , 400 1 [ ] 400 0.82 2400 4.94 4.94 : max max = = = = l f l f f mm
86-4(2)提高梁的刚度的措施 由当前的结果知梁的挠度和转角θ与梁的支承情况、荷载情况 材料选取、截面形状与尺寸、跨长等因素有关 可表为 式中P为广义荷载q,PM等 P k为由支承和荷载决定的系数。f(or)=k 故当梁的支承和荷载确定后,可采取下 El 列措施来提高梁的刚度 1.增大梁的抗弯刚度EI 少可增大 同类材料(如软钢与高强度钢)变化不大 2调整跨长(1,a)和改变结构 →量
§6-4(2) 提高梁的刚度的措施 EI Pl f or k n ( q ) = 式中 P 为广义荷载q , P ,M等; 1.增大梁的抗弯刚度 EI 可增大 同类材料(如软钢与高强度钢)变化不大。 由当前的结果知梁的挠度f和转角q与梁的支承情况、荷载情况、 材料选取、截面形状与尺寸、跨长等因素有关。一般可表为: k为由支承和荷载决定的系数。 故当梁的支承和荷载确定后,可采取下 列措施来提高梁的刚度: 2.调整跨长( l , a )和改变结构
§6-5梁内的弯曲应变能 对纯弯曲梁,如图,梁轴m 线弯曲后成为曲率K=1/p= MEI的园弧孤弧长内的圆心群 角为M C p EI 故其弯曲 MlEe 应变能为 U=-M0 2EI 在横力弯曲时,梁内应变能包括两部分: 但与弯曲变形相应的弯曲应变能例题自学 ②与剪切变形相应的剪切应变能 如左图在小恋形线确性的冬件下 曲应变能dU=1MO=1Mm=1M(x) 2P 2 EI dr yM(+dM(lu=(du M2(x) 当梁的1>h时,梁的剪 dx切应变能要比弯曲应变能 M(x) 02EⅠ小得多通常忽略不计
§6-5 梁内的弯曲应变能 ....(a) l Ml = = q l EI EI M l U M 2 2 2 1 2 2 q = q = = 例题自学 对纯弯曲梁,如图,梁轴 线弯曲后成为曲率k=1/= M/的园弧,l弧长内的圆心 角为: 故其弯曲 应变能为: 在横力弯曲时,梁内应变能包括两部分: ①与弯曲变形相应的弯曲应变能。 ②与剪切变形相应的剪切应变能。 如左图,在小变形、线弹性的条件下,其弯 曲应变能为: dx EI dx M x dU Md M ( ) 2 1 2 1 2 1 2 = = = q = = l l dx EI M x U dU 0 2 2 ( ) 当梁的l>>h时,梁的剪 切应变能要比弯曲应变能 小得多,通常忽略不计
§6-6 A B C Calculation of si 我们前面讨论的均 (b),(c),(d), (e)四种静定梁均 可被选为超静定梁 B C (a)的基本静定梁 对中间支座很 R’nRlR 多的这类超静定梁 (工程上叫连续梁 Continuous Beam) R R 以(e)形式的基本(e) 梁来求解最方便 M B C
§6-6 简单超静定梁的解法 Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam 我们前面讨论的均为仅用平衡方程就能确定所有的支座反力和 内力的梁——静定梁(SDB)。 若对静定梁增加支座,则变为未知反力数 > 独立的平衡方程数 的超静定梁(SIB)。 未知反力数 - 独立的平衡方程数 = n: 超静定次(阶)数(Degree of SI) n 阶超静定梁有 n 个多余约束(Redundant Constraint) 对应有n个多余约束反力(Redundant Reaction) 值得指出的是:超静定梁的多余约束仅是从平衡的观点来看是 “多余”的。但是从减少内力(↑强度)和变形(↑刚度)的观点来看, 在工程实际中,所谓“多余”的约束却是必不可少的。 从超静定梁上除去多余的约束(以相应的未知反力代之)后所得 静定梁通常叫原超静定梁的基本静定系(简称:静定基)。一般而言, 静定梁的选择不是唯一的。如: A B C D RB RC R’B R’D R”C R”D MB MC (a) (b) (c) (d) (e) (b),(c),(d), (e)四种静定梁均 可被选为超静定梁 (a)的基本静定梁。 对中间支座很 多的这类超静定梁 (工程上叫连续梁 Continuous Beam), 以(e)形式的基本 梁来求解最方便
§6-6简单超静定梁的解法 Calculation of simple statically Indeterminate Beam 用变形比较法( Method of Deformation Contrast )解简单的超 静定梁的要点是:基本梁在未知外和未知反力作用下对应点的变 形应与超静定架相同。 例如:在求解图示一次超静定梁间理理理田2 题时。可选取右中图所示的静定基或12 者右下图所示的静定基。下 图所示来求解此问题 几何关系:04=6+0m 图 B Z 本构关系 8 q 4EL 故得「q3_m B 补充方程 0 解此124E/3E/ M图卫工叫图 方程,得: q4 12 在此多余反力作用下,静定基与原超定梁 B 8()等价。(指两者的反力、内力、变形、位移等等 均相同)故此超静定梁的剪力和弯矩如上图示
§6-6 简单超静定梁的解法 Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam 用变形比较法(Method of Deformation Contrast)解简单的超 静定梁的要点是:基本梁在未知外载和未知反力作用下,对应点的变 形应与超静定梁相同。 例如:在求解图示一次超静定梁问 题时。可选取右中图所示的静定基,或 者右下图所示的静定基。下面按右中 图所示来求解此问题: 几何关系: = + = 0 A Aq AmA q q q 本构关系: EI m l EI ql B Aq AmA 3 , 24 3 q = q = − 故得 补充方程: 0 24 3 3 − = EI m l EI ql B ( ) 8 2 ql mB = 解此 方程,得: 在此多余反力作用下,静定基与原超静定梁 等价。(指两者的反力、内力、变形、位移等等 均相同)故此超静定梁的剪力和弯矩如上图示