材料力学 第六章弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
材 料 力 学 第六章 弯曲变形 Deformations in Bending 研究梁的变形有二个主要目的: ①对梁进行刚度计算和校核; ②用于求解超静定梁
§6-1概述 Introduction ,基本概念( Basic Concepts) 在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移 在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面 内的一条平面曲线-挠度曲线(挠曲线 Deflection Curve),它又 叫弹性曲线( Elastic curve) 由图可见,弯曲使梁上任一横截面如截面)产生移动和绕中性 轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=f)称为挠度 eflection), 用y表示因变形前梁轴在x规定挠度y向下为正向上为负。 梁横截面相对于原来 转角0顺时针为正逆时针为负。 的位置转动的角度(如C→ C点的0)称为转角( Angle C B 上上 of rotat 由图易见 ∴0<<5°∴≈1g=(0以弧度计) dx 注:梁横截面形心的水平匚 位移为二阶微量(6x<y);y 通常忽略不计。 e
q A C B y x P C’ fB fC q x §6-1 概述 Introduction 一,基本概念(Basic Concepts): 在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。 在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面 内的一条平面曲线-----挠度曲线(挠曲线Deflection Curve),它又 叫弹性曲线(Elastic Curve)。 由图可见,弯曲使梁上任一横截面(如C截面)产生移动和绕中性 轴的转动。梁横截面形心的垂直位移(如CC’=fC)称为挠度(Deflection), 用y表示(因变形前梁轴在x轴上规定)。 :挠度y向下为正,向上为负。 转角q顺时针为正,逆时针为负。 梁横截面相对于原来 的位置转动的角度(如C→ C’点的q)称为转角(Angle of Rotation),常用q表示。 由图易见: q 5 q q (q 以弧度计) dx dy t g o = 注:梁横截面形心的水平 位移为二阶微量(dx<<y); 通常忽略不计
§6-2(1)梁的挠曲线近似微分方程 Differe 推广到 ction Curve 由(51)式知1M 1M(x) 由高数得 (5-1)→ EI EI 注意到 横力弯曲(x) 0=10h)时,相 E对于弯矩Mx)对梁变形的影响为高阶微量。故可 故得: 忽略不计剪力Qx)引起的位移yo M(x)(6-2a) El M M or: Ely=-M(x)(6-2b)M M>0 (6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程。 ”<0
§6-2(1) 梁的挠曲线近似微分方程 Differential Equation of Beam Deflection Curve − = = ( ) ( ) 1 ....(5 1) 1 推广到 M x x M 横力弯曲 由(5-1)式知: 2 3 2 2 2 1 1 + = dx dy dx d y 由高数得: 1 : 0.017 ) 1 ( 5 : 0.0875 ; = = = = = = = dx dy t g dx dy t g dx dy o o q q q q q 如 时 如 时 注意到: 2 2 1 dx d y = 易得: EI M x dx d y ( ) 2 2 = 因此: 注意:1,小变形时,挠曲线一般为平坦的曲线。 2,剪力Q(x)对梁变形的影响在(L>10h)时,相 对于弯矩M(x)对梁变形的影响为高阶微量。故可 忽略不计剪力Q(x)引起的位移yQ 。 规定:x轴向右 为正,挠度y向下为 正,则y’’应与M异号。 : ' ' ( ) (6 2 ) (6 2 ) ( ) 2 2 or EIy M x b a EI M x dx d y = − − = − − 故得: (6-2)式即梁的挠曲线近似微分方程
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y的正负与坐标 轴y的方向选取有关。故易得:y轴(↑)选取时y=M(E) y轴()选取时y”=-M(EI 本讲义的y轴为向下(↓)选取! 当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横 截面的转角 E1= El 「Mx)bx+C(6-3a)(0以弧度计) ax 及其挠度 Ely= ∫ M(xdx dx+ Cx+d(6-36 其中的积分常数( Integral Constant)C1和C2可由梁对变形的约束 来确定(其相应的条件叫边界条件( Boundary Conditions)。此法通常 叫二次积分法( Double Integration Method) 式(6-3a)通常叫转角方程( Rotative Angle Equation) 式(6-3b)通常叫挠度方程( Deflectional Equation)
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve q M (x)dx C (6 3a) (q 以弧度计) dx dy EI = EI = − + − 一般M的正负与坐标轴的方向选取无关。而y’’的正负与坐标 轴y的方向选取有关。故易得: y轴(↑)选取时y’’=M/(EI); y轴(↓)选取时y’’=－M/(EI)。 本讲义的y轴为向下(↓)选取! 当梁的弯矩函数确定后,即可积分(6-2)式,求得任意x坐标处横 截面的转角: EIy = − ( M(x)dx)dx +Cx + D (6 − 3b) 及其挠度: 其中的积分常数(Integral Constant)C1和C2可由梁对变形的约束 来确定(其相应的条件叫边界条件(Boundary Conditions)。此法通常 叫二次积分法(Double Integration Method)。 式(6-3a)通常叫转角方程(Rotative Angle Equation) 式(6-3b)通常叫挠度方程(Deflectional Equation)
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 常见的边界条件:A B A B 有2n (b) 件 A BTA B 连续 的曲线 在y轴(↓),x轴(→)时:y>0则y↓;y0则g;6<0则 显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁 的支座情况有关。如图(a,(b)的Q,M图相同但变形由于支座的不同 而不同
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 常见的边界条件: A B A B yA=0 yB=0 qA=0, yA=0 当M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分n段则 有2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的连续条 件(Continuity Condition)来确定。 连续条件:弹性曲线应为连续(曲线上任一点y左 = y右 ,不断开,为 连续曲线)、光滑(曲线上任一点q左 = q右 ,无尖角,即dy/dx为连续函数) 的曲线。 Pl P A B A B l l (a) (b) 在y轴(↓),x轴(→)时: y＞0 则 y↓; y＜0 则 y↑; q＞0 则 q ; q＜0 则 q 显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁 的支座情况有关。如图(a),(b)的Q,M图相同,但变形由于支座的不同 而不同
6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 方程和转角方程并确定其最大挠度 max Fu A e stic Curve Integration Method of Elas 例题6-1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在 自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线 B 最大转角0mx 解:为了应用公式(6-2b)求解,首先写出此 梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧 梁段,由荷载P直接写出:M(x)=-P(1x)(1)y 例题6-【图 将式(1)中的M(x)代入公式(6-2b),即得挠曲线近似微分方程 EIy=-M(x)=Pl-PX(2) 在以上结果中:挠度为正值,说明梁变形时B点问下移 面动转角为正值说明梁变形时横截面B沿顺时针转向转动。 在x=0处:y=0;在x=0处:y=0根据这两个边界条件,可得:C=0及D=0 将已确定的这两个积分常数代入(3)、(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线 方程分别为:0y′=Px/(Ep)-Px2/(OE)(5)和y=Px2(2ED=Px3/6E(6) 根据梁的受力情况及 P12 P13 的最大转角0m和最大挠度O max 和fn 2EⅠ max 分别求得0mx及fmx值为 BEl
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 例题6－1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在 自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线 方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和 最大转角qmax。 解:为了应用公式(6－2b)求解,首先写出此 梁的弯矩方程。为此,可取x处横截面右侧 梁段,由荷载P直接写出:M(x)= -P(l-x) (l) 将式(1)中的M(x)代入公式(6－2b),即得挠曲线近似微分方程: EIy”=-M(x)=Pl-Px (2) 然后通过两次积分，即得: EIy'=Plx-Px2 /2+C (3) EIy = Plx 2 /2－Px3 /6+Cx+D (4) 在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。 即在x=0处:y’=0 ;在x=0处:y=0 根据这两个边界条件,可得: C=0 及 D=0 将已确定的这两个积分常数代入(3)、(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线 方程分别为:q= y’= Plx/(EI) - Px2/(2EI) (5) 和 y = Plx 2 /(2EI)－Px3 /(6EI) (6) 在以上结果中:挠度为正值,说明梁变形时B点问下移 动;转角为正值,说明梁变形时横截面B沿顺时针转向转动。 根据梁的受力情况及边界条件,画出梁的挠曲线的示意图(见图)后可知,此梁 的最大转角qmax和最大挠度fmax都发生在x=l 的自由端截面处。由(5)、(6)两式可 分别求得qmax 及fmax 值为: EI Pl f y EI Pl x l x l 3 | 2 | 3 max 2 q max = q = = 和 = = =
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 例题6-2图示一抗弯刚度为E的简支梁,在RAx k 全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此 q 梁的挠曲线方程和转方程并确定其最AB 挠度fm和最大转角0mx 6 解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力 然后,写出此梁的弯矩方程1(x)91 (见图)为: RA=RB=ql/4 2x-2qx()例题6-2图 将式(1)中的M(x)代入公式(6-2b),再通过两次积分,可得: El x2+x3+C(2)E x+x+x+d 3) 4 24 在简支梁中,边界条件是左 根据这两个边界条件,由式(3)可得 铰支座处的挠度都等于零,即: 在x=0处,y=0;在x=l处,y=0 D=0及E ++C=0 x=l 1224 于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为 从而解出 2-6k2+4x2)(4)和y=4,(-22+x)(5上= 24El 24EⅠ 24
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve (3) 12 24 (2) 4 6 ' 2 3 3 4 x C x D q x ql x C EIy q x ql EIy = − + + = − + + + 例题6－2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在 全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此 梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大 挠度fmax和最大转角qmax 。 解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力 (见图)为: RA = RB = ql/2 然后, 写出此梁的弯矩方程 (1) 2 1 2 ( ) 2 x qx ql M x = − 将式(1)中的M(x)代入公式(6－2b),再通过两次积分,可得: 在简支梁中,边界条件是左、右两 铰支座处的挠度都等于零,即: 在x= 0处，y = 0 ; 在x= l处，y = 0 。 0 12 24 0 4 4 = = − + + = = Cl ql ql D EIy 及 x l 根据这两个边界条件,由式(3)可得: 24 3 ql C = 于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 从而解出: ( 2 ) (5) 24 ( 6 4 ) (4) 24 ' 3 2 3 3 2 3 l lx x EI qx l lx x y EI q q = y = − + 和 = − +
(13-6bx2+4x3)(4)和y 24(3-2x2+x)(5) 分 24EI 由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点 R KB 都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的 由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且 中B 都是最大值。分别以x=0及x=代入式④可得6L 最大转角值为 max y---24E/f 例题6-2图 又因挠曲线必为一光滑曲线,故在对称的挠曲线中,最大挠度必在梁跨中点 x=1/2处。所以其最大挠度值为 从以上两例题知m=y (13-21,+) (6-3a)和(6-3b)两式中 24EI 48384EI 的积分常数C,D的几 何意义为: EI0= El ∫M(x)+C(6-3m)(O以弧度计) C=Ely =Ele 0 D=Ely h=M3)+Cx+D(6-3b) 式中:θ和y分别代表坐标原点处截面的转角和挠度
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve ( 2 ) (5) 24 ( 6 4 ) (4) 24 ' 3 2 3 3 2 3 l lx x EI qx l lx x y EI q q = y = − + 和 = − + EI ql y y x l x B A ' 24 ' 3 0 max = = = = = q q q EI l l ql l l EI l q f y l x 384 5 ) 4 8 ( 2 24 2 2 3 4 3 2 max = = − + = = q M (x)dx C (6 3a) (q 以弧度计) dx dy EI = EI = − + − EIy = − ( M(x)dx)dx +Cx + D (6 − 3b) 0 0 0 ' D EIy C EIy EI x = = = = q 由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点 都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。 由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且 都是最大值。分别以x=0及x=l代入式(4)可得 最大转角值为: 又因挠曲线必为一光滑曲线,故在对称的挠曲线中,最大挠度必在梁跨中点 x=l/2处。所以其最大挠度值为: 从以上两例题知: (6-3a)和(6-3b)两式中 的积分常数C,D的几 何意义为: 式中:q0和y0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve 例题6-3图示一抗弯刚度为EI的简支 RA R 梁,在D点处受一集中荷载P作用。试求 此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定 2 I C D I B 其最大挠度和最大转角。 4x1 解:此梁的两个支反力(见图)为 a b Pb R r B 例题6-3图 利用单位阶跃函数,全梁的弯矩方程可表示为 M(x)=R1x-P(x-a)l(x-a)式中单位阶跃函数u(x-a) (x≥a) 积休E”=-M(x)=-Rx+P(x-a) Pb .u(x-a x+P(x-a).u(x-a) E10=Ely= Pbx n(x-a +P .u(x-a)+el6 Pbx3 d-d Ely +P 6 u(x-a)+e10ox+ely o
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve & (1) l Pa R l Pb RA = B = = − − − − = 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a M x RA x P x a u x a 式中单位阶跃函数 u x a 例题6－3 图示一抗弯刚度为EI的简支 梁,在D点处受一集中荷载P作用。试求 此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定 其最大挠度和最大转角。 解:此梁的两个支反力(见图)为: 利用单位阶跃函数,全梁的弯矩方程可表示为: 积分得梁的转角方程和挠曲线方程为: 0 0 3 3 0 2 2 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 2 ( ) 2 ' " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x a EI x EIy x a P x l Pb EIy u x a EI x a P x l Pb EI EIy x P x a u x a l Pb EIy M x R x P x a u x a A − + + − = − + − + − = = − + = − = − + − − = − + − − q q q
§6-2(2)梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration M Pb lic Curve 因为简支梁的y=0y1=0。易得:E1761 (2-b 故: Pbx(x-a 作业:6-2 E10=Ely P l(x-a)+,(7-b2) 2 6/ 6-8,6-13 Pb x-a Pb El +P u(r-a +(12-b2) Pb Pb 6,=b (2-b2) Pab(l+6 (2-b2) 6El 6El max 9√3EⅠ Pab(l+a) Pb x=l 6El max 当a>6时) -48EI (312-4b2) Pb R Ey10=,(12-b2)>0 2 Ely P-2a)b时) ∫fc 72-b (a+2b y=0→x y 例题6-3图
§6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分 Integration Method of Elastic Curve ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 6 max 2 2 0 当a b时 lEI Pab l a lEI Pab l b l b lEI Pb B x l A = + = = − + = = − = = q q q q q (3 4 ) 48 ( ) 9 3 2 2 2 2 2 3 max ' 0 l b EI Pb f l b lEI Pb f y l x y = − = = − = = 3 ( 2 ) 3 ' 0 ( 2 ) 0 ( ) 3 '| ( ) 0 6 '| 2 2 1 2 2 0 l b a a b y x l a a b Pab EIy l b l Pb EIy x a x + = − = = = − = − = = 当 时 作业:6-2, 6-8,6-13 ( ) 6 2 2 0 l b l Pb 因为简支梁的 EIq = − y0=0,yl=0 。易得: l b x l Pb u x a x a P x l Pb EIy l b l Pb u x a x a P x l Pb EI EIy ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 2 ( ) 2 ' 2 2 3 3 2 2 2 2 − + − − = − + − + − − q = = − + 故: