材料力学 二章轴向拉伸和压缩 1h2, xaltensionand compress on §2-8拉、压超静定问题 Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars I超静定问题及其解法 Ⅱ装配应力( assembly stress:温度应力 Ⅲ综合问题 作业:2-212-23,2-282-33,2-38,2-41
材 料 力 学 第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2. Axial Tension and Compression 作业:2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-41 §２－8 拉、压超静定问题 Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars Ⅰ.超静定问题及其解法 Ⅱ.装配应力(assembly stress) · 温度应力 Ⅲ.综合问题
B Sta Ca) P 基 静 反力 仅月 结构 B C 与之 (c) 超 (d)反力 仅月 构叫 超 实
§２－8 拉、压超静定问题 Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars Ⅰ超静定问题及其解法 • 基本概念Conception: • 静定问题SDP: 结构(杆件或杆系)的内力和支反力 仅用静力学平衡条件就能 唯一确定的问题。相应的结构 叫静定结构(SDS) • 与之对应: • 超静定问题SIP:结构(杆件或杆系)的内力和支反力 仅用静力学平衡条件不能唯一确定的问题。相应的结构叫 超静定结构 (SIS) • 实例:如图
§2-8拉、压超静定问题 I超静定问题及其解法基本概念 由上可见SIP的未知力个数(内力+未知反力)超过了独立的 平衡方程的个数其差值叫超静定次数(阶数: the order of statical indeterminacy)。解SI需补充一些方程才能唯一确 定未知力。这些补充方程一般是根据变形后约束条件不被破 坏来建立的由于约束条件的限制各杆件(or杆件的各部分) 之间的变形必存在一些联系变形协调条件(con dition of displaced compatibility构件体系的变形协调原则枉 件不破坏彼此不相分离结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影 响结构形状的相对位移。)由此可建立相应的变形几何方程 (geometrical equation of deformation) 在线弹性范围内,我们可由胡克定律将变形与枉件的内力跌 系起来,得到内力为未知量的变形几何方程补充方 程然后与静力学平衡方程一起求解,即可求出结构的所有 未知力
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 基本概念 • 由上可见,SIP的未知力个数(内力+未知反力)超过了独立的 平衡方程的个数。其差值叫超静定次数（阶数: the order of statical indeterminacy）。解SIP需补充一些方程才能唯一确 定未知力。这些补充方程一般是根据变形后,约束条件不被破 坏来建立的。由于约束条件的限制,各杆件(or 杆件的各部分) 之间的变形必存在一些联系——变形协调条件(condition of displaced compatibility——构件体系的变形协调原则:杆 件不破坏,彼此不相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影 响结构形状的相对位移。),由此可建立相应的变形几何方程 (geometrical equation of deformation) • 在线弹性范围内，我们可由胡克定律将变形与杆件的内力联 系起来，得到以内力为未知量的变形几何方程——补充方 程,然后与静力学平衡方程一起求解，即可求出结构的所有 未知力
§2-8拉、压超静定问题 I超静定问题及其解法 思路: 静力+变形几何+物理关系 物理关系即本构关系 Constitutive relation) 理论(弹性力学中方程的封性和解的唯一性定理 和实践证明:无论超静定炊数为多少,愿能 我找到相应数量的补方程来求解。 (比较:流体基本方程的非封闭性)
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 • 思路： •静力+变形几何+物理关系 • 物理关系即本构关系(Constitutive Relation) • 理论（弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理） 和实践证明:无论超静定次数为多少，总能 找到相应数量的补充方程来求解 。 • （比较：流体基本方程的非封闭性）
2-8 例图(a)所示为两端固定的 R 钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m, A=20cm2,P=300kN,E-200GPa。 试求钢杆各段应力和变形。 解1,列静力平衡方程 △l △l. 以整根杆为研究对象,画出受 力图如图(b),静力平衡方程为 P B RA+RRP (a) B RB R 2,建立补充方程 a (b) (c) (杆受力后,C截面下移至C截面,结果AC段伸长Δl1,而CB段缩短Δl2,杆两端 固定总长不变,即△=0。因此,有:△l1=Al2 这就是本例的几何方程。 变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为: A N2=R2(压) B
§２－8 拉、压超静定问题 例 图(a)所示为两端固定的Ⅰ超静定问题及其解法 钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m, A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。 试求钢杆各段应力和变形。 解1,列静力平衡方程 以整根杆为研究对象,画出受 力图如图(b),静力平衡方程为 RA+RB=P (a) 2,建立补充方程 (杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长Dl1,而CB段缩短Dl2,杆两端 固定总长不变,即 D l＝0 。因此,有: D l1 ＝|D l2| 这就是本例的几何方程。 变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为: N1=RA, N2=RB(压)
压起完问 可题万RA+RB=P(a) 由虎克定律式(3.18)求得各段变形为 NE R,I 2=2k2(短) A EA (伸长)△l2 EA EA csP+|1代入式△h=1△b1|即得补充方程 △l 以上两式称为物理方程。将此 R =BA(b)联解(a),(b)两式,得: R R 2P =100N()RB P 3200kN(个) (a) (c) 3,求各段应力和变形(反力求出以后就按静定问题求各段内力、应力和变形 M1_RA_100×10 N2R200×103 =50MPa(拉)a2=== AA20×100 20x10=100MPa(压) 11R,1100×103×1.0×103 EAEA200×103×20×1030,25mm(伸长) N2l2R2l2200×103×500 =0.25mm(缩短) EAEA2×105×2×10
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 ( ) 1 1 1 1 伸长 EA R l EA N l l A D = = ( ) 2 2 2 2 缩短 EA R l EA N l l B D = = 100 ( ) 1 2 3 2 = = + = k N P P l l l RA 200 ( ) 3 2 1 2 1 = = + = k N P P l l l RB 50 ( ) 20 100 100 103 1 1 MPa 拉 A R A N A = = = = 100 ( ) 20 100 200 103 2 2 MPa 压 A R A N B = = = = 0.25 ( ) 200 10 20 10 100 10 1.0 10 3 2 3 3 1 1 1 1 mm 伸长 EA R l EA N l l A = D = = = 0.25 ( ) 2 10 2 10 200 10 500 5 3 3 2 2 2 2 mm 缩短 EA R l EA N l l B = D = = = 由虎克定律式(3.18)求得各段变形为: 以上两式称为物理方程。将此 代入式 D l1＝|D l2| 即得补充方程: RA+RB=P (a) EA (b)联解(a),(b)两式,得: R l EA R l A 1 B 2 = 3,求各段应力和变形(反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形):
例:图a)所示三杆铰接组成的结构,<tm 给 由前述超静定问题的解法及例题 1,2两杆横截面刚度为E1A1,3杆为E3A3(可见,在综合应用变形的几何方面、 求在P力作用下三杆的内力。 变形与力之间的物理方面以及静力学 解:1,列静力平衡方程(取节点A为研 方面来解超静定问题时,根据问题的 究对象(图(c),其静力平衡方程为 变形相容条件写出变形几何方程(几) n1-N2 2N COSa+Na=p(a) 习何方面),并通过胡克定律(物理方 面)而得到补充方程,这是整个解题 未知力有三个,而平衡条件只有—步骤中的主要环节。抓住了这一环, 两个,故为一次超静定结构,需建立 超静定问题就迎刃而解了 个补充方程。 p P 2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A′ 线上。根据变位图,几何方程为:△1=△13c0S0(/4点A 点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:△1=△12 应在杆3的轴 物理方程为:Δ N11 34 N N3l3 (c)将式(c)代入式(b),得补充方程 cos a E1A E141E34 联立求解式(a)和(d),并注意到1Coso=13得 N,=N P(E, A, cosa/1) 2 E A cosa/4+E3 A3 /13 N P·(E343/l3) 2E14cos2a/h+E34/l2(2E141cos3a/E343)+1 2 cosa+(E, 4,/E,4, cosa 结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杄本 身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆杄,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性
2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A’ 点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:Dl1 =Dl2 ,A’点应在杆3的轴 线上。根据变位图,几何方程为: Dl1=Dl3cosa (b) 物理方程为: §２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 例:图(a)所示三杆铰接组成的结构, 1,2两杆横截面刚度为E1A1,3杆为E3A3。 求在P力作用下三杆的内力。 解:1,列静力平衡方程(取节点A为研 究对象(图(c)),其静力平衡方程为: N1=N2 2N1cosa+N3=P (a) 未知力有三个,而平衡条件只有 两个,故为一次超静定结构,需建立一 个补充方程。 2cos ( cos ) 2 cos ( cos ) 2 3 3 1 1 1 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 2 a a a a E A E A P E A l E A l P E A l N N + = + = = 2 cos (2 cos ) 1 ( ) 3 3 3 1 3 3 3 1 1 2 1 1 3 3 3 3 + = + = E A E A P E A l E A l P E A l N a a 由前述超静定问题的解法及例题 可见，在综合应用变形的几何方面、 变形与力之间的物理方面以及静力学 方面来解超静定问题时，根据问题的 变形相容条件写出变形几何方程（几 何方面），并通过胡克定律（物理方 面）而得到补充方程，这是整个解题 步骤中的主要环节。抓住了这一环， 超静定问题就迎刃而解了。 (c) 将式(c)代入式(b),得补充方程: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 E A N l l E A N l Dl = D = cosa 3 3 3 3 1 1 1 1 E A N l E A N l = 联立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得: 结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杆本 身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性。 (d)
例:桁架如图所示,由三根抗拉压刚度均为EA的 Ni 杆AD、BD和CD在D点铰接而成。试求1,在P OR 力作用下各杆的内力。 解:1,计算P力作用下三杆的内力 E (1)作节点D的受力图用截面将AD、BD及CD杆截 开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为N1、 3 D1PN及N且均为拉力,如受力图所示。则平衡条件为 ∑x=0→(M1+N3)a+N2= Pcos B(1 ∑y=0→(M1-Nmna=PimB(2) 可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三 F 个未知量,故为一次静不定问题。 (2)作变形位移图因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形 M1=DD1,△2=DD2,43=DD 过D1、D2及D3各点作各杆垂直线,相交于D点(如位移图所示)。在位移图 中过D点作铅垂线,延长DD及DD3与此铅垂线交于F、E点,由几何关系可得: DG= DF-FG= DG=GE_ED=Al2_Al3 sin a tga iga sin a
§2－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 X = 0 (N1 + N3 )cosa + N2 = Pcos Y = 0 (N1 − N3 )sina = Psin 1 1 2 2 3 3 Dl = DD , Dl = DD , Dl = DD a tga l l DG DF FG 1 2 sin D D = − = − a sin a 2 3 l tg l DG GE ED D D = − = − 例:桁架如图所示,由三根抗拉压刚度均为EA的 杆 AD、BD和CD在D点铰接而成。试求:1,在Ｐ 力作用下各杆的内力。 解:1,计算P力作用下三杆的内力 (1) (2) (1)作节点Ｄ的受力图 用截面将AD、BD及CD杆截 开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为N1、 N2及N3且均为拉力,如受力图所示。则平衡条件为: 可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三 个未知量,故为一次静不定问题。 (2)作变形位移图 因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形: 过D1、D2及D3各点作各杆垂直线,相交于D’点(如位移图所示)。在位移图 中过D点作铅垂线,延长D1D’及D’D3与此铅垂线交于F、E点,由几何关系可得:
§2-8拉、压超静定问题 I超静定问题及其解法 ∑X=0=(M+N)sa+M2=Pos(∑Y=0→(M1-N)sma=Psin(2) △1△ DG= DF-FG= DG=GE-ED= iga sin a 比较上面二式,得变形协调条件为 (3)物理关系为 2Al2 coSa 1B N N △l1= △l E1A eacosa EyA2 EA E3A3 EAcosa 将此式代入变形协调亲件得补充方程 N1+N3=2N2co32a(3) 联解平衡方程式(1)、(2)及补充方程式(3),得 Ni=P 2cos B cos a+ sinB N)= cos B-P N,=P2cos B cos asin $(6) 21+2 cosa 1+2cos a 2 1+2 a sin a 讨论:若β=0,则有:M=N32=saPN21+2c2 1+2cos a P 若P=90则有:N1=N3=23maA2=0
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 若=90o ,则有: 0 ( )cos cos (1) X = N1 + N3 a + N2 = P 0 ( )sin sin (2) Y = N1 − N3 a = P a tga l l DG DF FG 1 2 sin D D = − = − a sin a 2 3 l tg l DG GE ED D D = − = − Dl 1 + Dl 3 = 2Dl 2 cosa cosa cosa 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 EA N l E A N l l EA N l E A N l l EA N l E A N l Dl = = D = = D = = a 2 1 3 2 N + N = 2N cos (6) sin sin 1 2cos 2cos cos 1 2cos 2 cos sin sin 1 2cos 2cos cos 2 3 2 3 2 3 3 2 1 − + = + = + + = a a a a a a a P N P N P N N N P N P a a a 3 2 3 2 1 3 1 2cos 1 1 2cos cos + = + = = 0 2sin 1 = − 3 = N2 = P N N a 比较上面二式，得变形协调条件为: (3)物理关系为: 将此式代入变形协调条件, 得补充方程: (3) 联解平衡方程式(1)、(2)及补充方程式(3),得: 讨论:若=0,则有:
§2-8拉、压超静定问题 I超静定问题及其解法 在结构分析中,以内 力作为基本未知量的方法 称为力法。即先求出内力, 进而求应力和变形 也可以选取结构的节点位移作为基本未 知量首先求出,再求内力和应力。这种从位移 作为基本未知量的方法称为位移法。位移法 在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规 便于编制结构通用计算机程序的特点
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 也可以选取结构的节点位移作为基本未 知量首先求出,再求内力和应力。这种以位移 作为基本未知量的方法称为位移法。位移法 在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规 范,便于编制结构通用计算机程序的特点。 在结构分析中,以内 力作为基本未知量的方法 称为力法。即先求出内力, 进而求应力和变形