材料力学 第二章轴向拉伸和压缩 CIZ.xal Tensionand compression §2-7强度条件 Strength Condition 安全系数 Factor of safet 许用应力 Allowable stress
材 料 力 学 第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2. Axial Tension and Compression §２－7强度条件Strength Condition· · 安全系数 Factor of safety · · 许用应力 Allowable stress
§2-7强度条件安全系数·许用应力 拉(压)杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar 由公式(o=Nmax/A)求得拉(压)杆的最大工作应力后, 并不能判断杆件是否会因强度不足而发生破坏。只有把杆 件的最大工作应力与材料的强度指标联系起来,才有可能 对此作出结论 材料的两个主要强度指标为屈服极限 Yielding limi s和强度极限 Ultimate strength)o,将其统称为极限应 力 Ultimate stress),用G表示。为确保拉(压)杆不致因强度 不足而破坏,应使其最大工作应力( Maximum working stress ax 不超过材料的某一个限值 显然,该限值应小于材料的极限应力σu,可规定为极 限应力σ的于分之一,并称之为材料在拉伸(压缩)时的 许用应力( Allowable stress) 以[d1表示,即:[o n式中,n是一个大于1 的系数称为安全系数( Factor of safety),其数值通常由设计规范规定
§２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件Strength Condition of Axial Forced Bar 由公式(s=Nmax/A)求得拉(压)杆的最大工作应力后, 并不能判断杆件是否会因强度不足而发生破坏。只有把杆 件的最大工作应力与材料的强度指标联系起来,才有可能 对此作出结论。 材料的两个主要强度指标为屈服极限(Yielding limit) ss和强度极限(Ultimate strength) sb,将其统称为极限应 力(Ultimate stress),用su表示。为确保拉(压)杆不致因强度 不足而破坏,应使其最大工作应力(Maximum working stress) smax不超过材料的某一个限值。 显然,该限值应小于材料的极限应力su,可规定为极 限应力su的若干分之一,并称之为材料在拉伸(压缩)时的 许用应力(Allowable stress)。 以[s]表示，即: n s u [s ] = 式中,ｎ是一个大于1 的系数,称为安全系数(Factor of safety),其数值通常由设计规范规定
§2-7强度条件安全系数·许用应力 拉(压)杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar 为确保拉(压)杆不致因强度 不足而破坏的强度条件为 max ≤[o] max 强度判据 strength criterion 对于等截面直杆拉伸(压缩时的强度条件为mx≤[a 对于受压杆件,式(3.9)中的Nm应为Nmx 对于受拉、受压许用应力不同的材料,应分别建立受拉、 受压强度条件,即 十 N max r≤[a+ max max<o 式中 A σt和ama分别表示杆件最大工作拉应力和最大工作压应力; Nh和Nm分别表示最大轴向拉力和最大轴向压力; a+]和[a-]分别表示材料的许用拉应力和许用压应力
§２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件Strength Condition of Axial Forced Bar 分别表示杆件最大工作拉应力和最大工作压应力; [ ] max s max s = A N [ ] max s A N [ ] max max + + + s = s A N [ ] max max − − − s = s A N + s max − s max + Nmax − Nmax [ ] + s [ ] − s 为确保拉(压)杆不致因强度 不足而破坏的强度条件为: 强度判据 strength criterion 对于等截面直杆,拉伸(压缩)时的强度条件为: 对于受压杆件,式(3.9)中的Nmax应为|N|max。 对于受拉、受压许用应力不同的材料,应分别建立受拉、 受压强度条件,即: 式中: 和 和 和 分别表示最大轴向拉力和最大轴向压力; 分别表示材料的许用拉应力和许用压应力
§2-7强度条件安全系数许用应力 I拉(压)杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar 应用强度条件,可以解决以下三类强度计算问题 (1)校核强度 Check of Strength已知构件作用的荷载(→Nax)、横截 面面积(A)和材料的许用应力(o,检察强度条件是否被满足。若满足, 则构件安全;否则就不安全。 (2)截面设计 Design of Sectional Area已知构件作用的荷载(→N1a)和 g材料的许用应力(o,根据强度条件可确定杆件的横截面面积A,例如对 抗拉和抗压能力相同的等直杆由N哪A21m再由横截面 尺寸的比例关系可得截面尺寸,A 或由型钢表选择合适的型号。 (3)确定许可荷载 Determination of allowable load已知构件横截面面 积(A)和材料的许用应力(o]),根据强度条件可求得构件的许可轴力[N, 例如对抗拉和抗压能力相同的等直杆由Nm≤ 得:[N]≤G14 再由平衡条件建立荷载与杆件轴力的关系,进而确定许可荷载[]。 下面举例说明强度条件的应用
应用强度条件,可以解决以下三类强度计算问题: (1)校核强度Check of Strength 已知构件作用的荷载(→Nnax)、横截 面面积(A)和材料的许用应力([s]),检察强度条件是否被满足。若满足, 则构件安全；否则就不安全。 (2)截面设计Design of Sectional Area 已知构件作用的荷载(→Nnax)和 材料的许用应力([s]),根据强度条件可确定杆件的横截面面积A,例如对 抗拉和抗压能力相同的等直杆,由 §２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件Strength Condition of Axial Forced Bar 再由平衡条件建立荷载与杆件轴力的关系,进而确定许可荷载[P]。 下面举例说明强度条件的应用。 [ ] max s A N [ ] max s N A [ ] max s A N [N] [s ]A 得: 尺寸的比例关系可得截面尺寸, 或由型钢表选择合适的型号。 再由横截面 (3)确定许可荷载Determination of Allowable Load 已知构件横截面面 积(A)和材料的许用应力([s]),根据强度条件可求得构件的许可轴力[N], 例如对抗拉和抗压能力相同的等直杆,由 得:
§2-7强度条件安全系数许用应力 I拉(压)杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar 例图(a)所示钢杆,已知45kN 65kN 50kN 30k a 许用应力[]=160MPa;杆 横截面面积为A1=300mm2,45N A2=140mm2。试核核此杆(b) 30kN 的强度。 20kN 解:1,作轴力图如图3.8(b) 2,校核强度(由轴力图可知,AB段轴力最大BC段轴力最小 但A2<A1,两段应力何者为大,需计算比较后才能确定。) 1BNAB45×10 BO 20×103 300=150 MPa OBO-A2 =143MPa 140 所以,omax=OB=150MPa<](=160Mea) 可见,钢杆强度符合要求
解:1,作轴力图如图3.8(b) 2,校核强度(由轴力图可知,AB段轴力最大,BC段轴力最小, 但A2＜A1 ,两段应力何者为大,需计算比较后才能确定。) MPa A NAB AB 150 300 45 103 1 = s = = MPa A NBC BC 143 140 20 103 2 = s = = max 150MPa [ ] ( 160MPa) 所以， s = s AB = s = 可见,钢杆强度符合要求。 例 图(a)所示钢杆,已知 许用应力[s]=160MPa;杆 横截面面积为A1=300mm2 , A2=140mm2。试核核此杆 的强度。 §２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件Strength Condition of Axial Forced Bar
§2-7强度条件安全系数许用应力 I拉(压)杆的强度条件 例图(a)所示结构,在 刚性杆AB上作用有均布荷载 q=40kN/m,拉杆BC用等边角 ANAt 钢制成,其[]=160MPa。试 (b) 选择等边角钢型号 (a) 解:1,计算拉杆BC轴力N: 45° 取刚性杆AB作为脱离证江江 (图(b),由平衡方程∑m1=0 q 得:Nsn45×2-2×1=0求得 N=√2q=√2×40=566kN(拉) 2,选择等边角钢型号 N566×103 由强度条件得:"o-160 353.75mm 查P421附录型钢表中表1“热轧等边角钢”,应选择40×40× 号 等边角钢,其横截面面积A=3.791cm2=379.1mnm2
解:1,计算拉杆BC轴力N: 取刚性杆AB作为脱离体 (图(b)),由平衡方程 §２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件 查P421附录型钢表中表１“热轧等边角钢” ,应选择40×40×5 号 等边角钢，其横截面面积A=3.791cm2=379.1mm2 。 Nsin 45 2− 2q1= 0 o N = 2q = 2 40 = 56.6k N (拉) 2 3 353.75 160 56.6 10 [ ] mm N A = = s 例 图(a)所示结构,在 刚性杆AB上作用有均布荷载 q=40kN/m,拉杆BC用等边角 钢制成,其[s]=160MPa。试 选择等边角钢型号。 得: mA = 0 求得: 2,选择等边角钢型号 由强度条件得:
12m 系数.许成力 例图(a)所示结构,BC杆为 (b) 铝杆,横截面面积A=50m2, Ns Mn许用应力[o]=100a;AB B 杆为钢杆,As=30mm2,许用应 力[σ]s=160MPa。试求此结 P 构的许可荷载[P]。 解:1,由强度条件确定许可轴力: 假设铝杆先坏,则有:N2=2P [MA≤[]4=10050=5000=50N x5=5.25kN [Ns sol As=160 x30=4800N=4.8kN 可求得:[Pl=20N4=20 2确定许可荷载节点B的平衡条假设钢杆先坏则有:N=1PNk 件确定轴力与荷载的关系(图(b):可求得:[l=21N1=2×48=75N ∑ X=0: NAcoS B-Ns cosa=0 显然,结构的许可荷载[P]必须是[P]s ∑Y =0:NAmB+ Ns sin a-P=0和[P]两者中的较小者,即: 其中 sin a= cosa〓 B +6210c=P=min{P]s,[P]=5.25kN 8 52+12213 联立求解以上两式得:N、=1PM=2N 20n可见,此结构的强 21 度出铝行控制
§２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件 可见,此结构的强 度由铝杆控制。 [N] S [s] S AS =16030 = 4800N = 4.8k N [N] A [s] A AA =10050 = 5000N = 5.0kN X = 0: NA cos − NS cos = 0 Y = 0: NA sin + NS sin − P = 0 10 6 cos 10 8 8 6 8 sin 13 12 cos 13 5 5 12 5 sin 2 2 2 2 = = + = = = + = NS P NA NS P 21 20 13 20 21 13 = = = NS P N S [ ] 21 13 = P S N S 4.8 7.75k N 13 21 [ ] 13 21 [ ] = = = 例 图(a)所示结构,BC杆为 铝杆,横截面面积AA=50mm2 , 许用应力[s]A=100MPa；AB 杆为钢杆,AS=30mm2 ,许用应 力[s]S=160MPa。试求此结 构的许可荷载[P]。 解:1,由强度条件确定许可轴力: 2,确定许可荷载(由节点Ｂ的平衡条 件确定轴力与荷载的关系(图(b)): 其中: 联立求解以上两式，得: 假设铝杆先坏，则有: 可求得: 可求得: 假设钢杆先坏,则有: 显然,结构的许可荷载[P]必须是[P]S 和[P]A两者中的较小者,即: [P]=min{[P]S,[P]A}=5.25kN NA P N A [ ] 21 20 = P A N A 5 5.25k N 20 21 [ ] 20 21 [ ] = = =
§2-7强度条件·安全系数许用应力 拉(压)杆的强度条件 例题2-14图a是一根等直杆在自重及集中力P作用下的示意图。杆 的长度为,横截面面积为A,其材料的容重为γ,弹性模量为E,许用应力为 σ]。试分析杆的自重对强度的影响,并求杆的伸长。 解:要研究自重对杆的强度的影响,应探讨自重与杆内最大正应力的 关系为此可先计算杆的任一横截面mm上的轴力从而求出杆的最大轴力 将杆从该截面处假想地截开,并研究下边部分(图b)的平衡,由平衡方程 ∑x=0,Nx)-P-4x=0可得:N(x)=P+4x 2+A 由此作出轴力图如图d所示从图 可见危险截面在杆的顶端,该截面上 的轴力为 max =P+%l NGe)N()+dN(x) 将此Nm代入此杆的强度条件,得 Nmax P P A +yls]或A≥ YAd [o]-rd NGr) 由此式可见,若杆的与基 yAx 材松的1相比狼,则杆的宜 重影响很m可格去不计 P
§２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件 X = 0 , N(x) − P−Ax = 0 N(x) = P + Ax [ ] max s max = = + l s A P A N l P A s − [ ] 例题2-14 图a是一根等直杆在自重及集中力Ｐ作用下的示意图。杆 的长度为l,横截面面积为A,其材料的容重为,弹性模量为E,许用应力为 [s]。试分析杆的自重对强度的影响,并求杆的伸长。 解:要研究自重对杆的强度的影响,应探讨自重与杆内最大正应力的 关系,为此可先计算杆的任一横截面m-m上的轴力,从而求出杆的最大轴力。 将杆从该截面处假想地截开,并研究下边部分(图b)的平衡,由平衡方程 可得: 由此作出轴力图如图ｄ所示.从图 可见,危险截面在杆的顶端,该截面上 的轴力为: Nmax = P + Al 将此Ｎmax代入此杆的强度条件, 得: 或 由此式可见,若杆的l与其 材料的[s]相比很小.则杆的自 重影响很小而可略去不计
P+4系数许用应力 求杆的伸长时,由于在考虑自 重影响的情况下杄内各横截面上 的轴力不相等,故不能直接应用公 式△=N/(EA,而必须从长度为dx M(x)N(x)+N(x)!的微段(图e出发。略去无穷小量 dN(x)后,应用公式△=N/(EA),求得 dx段的伸长为 N(xdx 1 P yAde EA EA+ dx NGx 积分后即可求出杆的伸长为 ZA P △/= CE+yxx= Pl yI- (P+W/2)/ E、A EA 2E EA 式中,W=A为杆的自重。由此可见,等直杆 a)因自重而引起的伸长等于将行重的一半作 用在行端所引起的伸长
§２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅰ拉(压)杆的强度条件 x dx A P EA E N x dx dx = = + ( ) 1 ( ) + = + = = + l EA P W l E l EA Pl x dx A P E l 0 2 ( 2) 2 1 求杆的伸长时,由于在考虑自 重影响的情况下杆内各横截面上 的轴力不相等,故不能直接应用公 式l=Nl/(EA),而必须从长度为dx 的微段(图e)出发。略去无穷小量 dN(x)后,应用公式l=Nl/(EA) ,求得 dx段的伸长为: 积分后即可求出杆的伸长为: 式中,W=Al为杆的自重。由此可见,等直杆 因自重而引起的伸长等于将杆重的一半作 用在杆端所引起的伸长
§2-7强度条件安全系数许用应力 Ⅱ许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of sa 构件在外力作用下产生的应力称为工作应力 Working stress 整个杆件(或结构)工作应力的最大值称为最大工作应力。 材料在破坏时的应力称为极限应力,以σ表示 材料的极限应力是通过标准试件的拉伸(或压缩)试验来确定的(参见§2-6) 当杆件的最大工作应力达到材料的极限应力时称为杆件 的破坏条件,目 max 为了保证构件安全可靠地工作,需要引入许用应力 Allowable stress o的概念。许用应力定义为:]=n 式中n称为规定安全系数 Factor of safety,n>1。它除了含 有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影响
构件在外力作用下产生的应力称为工作应力Working stress。 整个杆件(或结构)工作应力的最大值称为最大工作应力。 材料在破坏时的应力称为极限应力,以su表示。 材料的极限应力是通过标准试件的拉伸(或压缩)试验来确定的(参见§２－6)。 当杆件的最大工作应力达到材料的极限应力时称为杆件 的破坏条件,即 §２－7强度条件·安全系数·许用应力 Ⅱ.许用应力和安全系数Allowable stress and Factor of safety s max = s u 为了保证构件安全可靠地工作，需要引入许用应力 Allowable stress [s]的概念。许用应力定义为: n s u [s ] = 式中 n 称为规定安全系数Factor of safety, n > 1 。它除了含 有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影响