材料力学 第二章轴向拉伸和压缩 (Ch2. Axial Tension and Compression)
材 料 力 学 第二章 轴向拉伸和压缩 (Ch2. Axial Tension and Compression)
§2-4拉(压杆的变形( Deformation of Axial forced bar ).阳古完 表32部分材料的E值和μ值 材料名称 弹性模量E(GPa) 泊松比μ 钢 190~210 0.25~0.33 灰铸铁 80~150 0.23~0.27 球墨铸铁 160 0.25~0.29 铜及其合金(黄铜、青铜) 74~130 0.31~0.42 锌及强铝 0.33 混凝土 14-35 0.16-0.18 橡胶 0.0078 0.47 木材:顺纹 9~12 木材:横纹 0.49 纵横向应变关系:E=H1(0≤0D 其中:横向变形系数(or:泊松比 Poisson, s Ratio)
§２－４拉(压)杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 变形Deformation: Dl = l1- l 横向Lateral变形: Dd = d1- d 线应变Linear Strain:1,轴向应变Axial Strain:ε=Dl/l=const 2,横向应变Lateral Strain: e’= Dd / d 显然: e ·e’ <0 受力变形关系: Dl = Nl / EA (or:σ=Ee ; σ≤σp) 其中: E----弹性模量Elastic Modulus; EA---杆的轴向刚度Axial Rigidity of Bar σ p ---比例极限Proportional Limit 纵横向应变关系: e ’= -me (σ≤σp) 其中: m ---横向变形系数(or: 泊松比Poisson’s Ratio)
s2-4拉(压)杆的变形 De formation of Axial forced bar)胡克定律(loke'sLaw) 例题2-5求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力 =2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。 已知材料的弹性模量E=210GPa。 解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面 上的正应力G=40MPa,若正应力不超过材料的比 例极限,则可按公式(2-6)算出沿正应力G方向 (即沿圆周方向)的线应变为 40 =1.9×10-4 E210×10 圆环的周向应变c等于其径向应变E,因为 N esn(d+△d)-m)Ad (b) 例题2-4图 根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为 △=Ed=Ed=1.9×10×200=0.038m
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 4 3 1.9 10 210 10 40 − = = = E e d d d d d d d e e = = + − = ( D ) ) D d d d d 1.9 10 200 0.038mm 4 = = = = − D e e 例题2-5 求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力 p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。 已知材料的弹性模量E=210GPa。 解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面 上的正应力=40MPa，若正应力不超过材料的比 例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力方向 (即沿圆周方向)的线应变e为 圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为 根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为
§2-4拉(压)杆的变形 (Deformation of Axial forced bar)胡克定律( Hooke'sLaw) 例:图示阶梯形钢杆,AB段 50kN 20kN 和CD段的横截面面积相等A1 40kN (a) A B CⅢD 500mm2,BC段横截面积A2 300mm2。已知材料的弹性模量 E=200GPa。 N(kN) 图3.12 试求:1,各杆段的应力 30 2,D端的位移 (b) 山再 解:1,绘轴力图如图(b)所示。 2,求各段应力 如mu山 30×10 N-20×103 40×103 80MPa A1 500 =60MPa oBC E A2 300 -66.7MPaOCD-A Ne=50 3,计算D端位移 (D端位移△p即为杆的总变形,应为各段变形的代数和)。即 △D=△=△1+△ln+△l1= M+N+Nnm=10×10°(30×120×240 EA1EA2EA200×103(500300500 0.767mml 计算结果为负,说明D端发生向左的位移
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) MPa A NAB AB 60 500 30 103 1 = = = MPa A NBC BC 66.7 300 20 103 2 = − − = = MPa A NCD CD 80 500 40 103 1 = − − = = mm EA N l EA N l EA N l l l l l D 0.767 500 40 1 300 20 2 500 30 1 200 10 10 10 3 3 3 1 2 1 = − − − = = + + = + + = D D D D D 例:图示阶梯形钢杆，AB段 和CD段的横截面面积相等A1＝ 500mm2 ，BC段横截面积A2＝ 300mm2 。已知材料的弹性模量 E=200GPa。 试求:1,各杆段的应力。 2,Ｄ端的位移。 解:1,绘轴力图如图(b)所示。 2,求各段应力: 3,计算Ｄ端位移: (Ｄ端位移DＤ即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即: 计算结果为负，说明Ｄ端发生向左的位移
§2-4拉(压)杆的变形 De formation of axial Forced bar)胡克定律( Hooke'sLaw) 例:某矿井升降机如图(a)所示,因 吊索很长,其自重引起的应力和变形应 P+yAl 予以考虑。设钢索长为,横截面面积为 A,材料容重为?,弹性模量为。试求:z度z 钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的 应力和变形(设起吊是匀速的)。 RP+A用截面法求得截面ta。 解:1,计算应力:(索上端支反力 的内力为N=R0Ax=A(1x)+P故:Nm=7AH+P)。索为等截面的,其 x截面上的应力为σx=N3/A=(1x)+P/A。最大应力发生在索的最上 端横截面上,其值为 Omax=Nmax/A-Yl+P/A 2,计算变形M=(△= (y·(-x)+-kx 十 E EA 2EA EA 式中W=A为杆的总重量。 上式表明:杆的重量引起的伸长部分,担当于不考虑自重,而 在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) EA Pl EA Wl EA Pl E l dx A P l x EA E N x dx l d l l l l + = + = = = − + = 0 2 0 2 2 ( ( ) ) ( ) 1 D D 例:某矿井升降机如图(a)所示，因 吊索很长，其自重引起的应力和变形应 予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为 Ａ,材料容重为，弹性模量为E。试求: 钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的 应力和变形(设起吊是匀速的)。 的内力为Nx=R0-Ax=A(l-x)+P 故:Ｎmax ＝Al+P)。索为等截面的,其 x截面上的应力为 x=Nx /A=(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上 端横截面上,其值为 max=Nmax/A=l+P/A 解:1,计算应力:(索上端支反力 R0=P+A l 。用截面法求得x截面 2,计算变形: 式中Ｗ=Ａl为杆的总重量。 上式表明: 杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而 在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长
s2-4拉(压)杆的变形 De formation of Axial forced bar)胡克定律(oke'sLaw) 粉架节点位移 B 例:图(所示托架杆1和杆2均为 钢杆弹性模量E=200GPa横截面面积 分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷 P 载P=10kN,42=2m。试求节点A的位移 解:1,求各杆轴力:(取节点A 为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条 A3 件求得两杆轴力分别为) (c) sin 30 =2P=20kN(拉)N2=N1cos30°=1.732P=17.32kN(压) 2,求各杆的变形:AM1= N 1_20×103×2×10=1.0m=AA1(伸长) E 200×103×200 作业:2-12M N,l,17.32×103×1.732×103 =0.6mm=AA2(缩短) 200×103×250 2-13,2-15 EA
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 1.0 ( ) 200 10 200 20 10 2 10 3 1 3 3 1 1 1 1 mm AA 伸长 EA N l l = = D = = 0.6 ( ) 200 10 250 17.32 10 1.732 10 3 2 3 3 2 2 2 2 mm AA 缩短 EA N l l = = D = = 桁架节点位移: 例: 图(a)所示托架,杆1和杆2均为 钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积 分别为A1=200mm2 ,A2=250mm2 ,荷 载P=10kN,l1=2m。试求节点Ａ的位移。 解:1,求各杆轴力:(取节点A 为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条 件求得两杆轴力分别为) P k N P N 2 20 sin 30 1 = = = （拉） N2 = N1 cos30 =1.732P =17.32k N （压） 2,求各杆的变形: 作业:2-12, 2-13,2-15
§24拉(压)杆的变形( Deformation of Axial Forced Bar) ,求节点A的位移: 30 由于两杆的变形,节点A位移至A 点,A点是以B为圆心,(1+△l1)为 (a) 半径作圆弧与以C为圆心,(l2+△2 30 30 为半径作圆弧的交点。由于变形相 对于杆的原长很微小,这种作图方法 P 和计算A′点位移很不方便,但正因为 变形微小可将述两圆弧用过A和"2-x (b) c) 两垂线代替(图(c))。此图称为节点 A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移δH和垂直位移δ分别为 m=A2=△l2|=06m(+-) 1.00.6 UAV =AA=A0+OA3 十 =3.0mm() sn30°1g30°0.50.577 节点A的总位移为:δ4=√6+6y=√062+3.02=3.1m
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)·胡克定律(Hooke’s Law) 0.6 ( ) AH = AA2 = Dl 2 = mm 3.0 ( ) 0.577 0.6 0.5 1.0 sin 30 30 1 2 = 3 = + 3 = + = + = mm t g l l AV AA AO OA D D A AH AV 0.6 3.0 3.1mm 2 2 2 2 = + = + = 3,求节点Ａ的位移: 由于两杆的变形,节点A位移至A’ 点,A’点是以B为圆心,(l1＋Dl1 )为 半径作圆弧与以C为圆心,(l2＋Dl2 ) 为半径作圆弧的交点。由于变形相 对于杆的原长很微小,这种作图方法 和计算A’点位移很不方便,但正因为 变形微小,可将上述两圆弧用过A1和 A2两点并分别垂直于杆１和杆２的 两垂线代替(图(c))。此图称为节点 A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移AH和垂直位移AV分别为 节点Ａ的总位移为:
§2-5拉(压杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar 弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表 的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系 使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领, 这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据, 下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内 所积蓄的能量在数量上的关系。 现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例利用能量守恒原理来 找出上述关系。设杆(图2-1)的上端固定在其下端的小盘上逐渐增加重 量每加一点重量杆将相应地有一点伸长已在盘上的重物也相应地下沉 因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为图2-11 杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失 去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故 在卸除荷载以后这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。 通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为理性应变能。 在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能
§2－5拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar 弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表 的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系 使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领, 这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据, 下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内 所积蓄的能量在数量上的关系。 现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来 找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重 量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉, 因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为 杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失 去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故 在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。 通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性应变能。 在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能
§2-5拉(压杆内的应变能 Strain energy of Axial Forced Bar 轴向变形下的外力功 Work of external Forced in Axial Deformation: dW=dT=PN1∴W=7=m=pN故:s=「"ode Al 0 age:T=PA/= PI EA4/ 2EA21 a Ea 2E2 弹能模量 (Modulus of Resilience) o de 0 △l P8 韧性模量 Modulus of Toughness): umax=od
External Work in Elastic Range: §2－5拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar 韧性模量(Modulus of Toughness) : = = = l 0 Pd l D W T dT D l EA l EA P l T P l 2 2 2 1 2 2 D = D = = 2 2 2 1 2 2 e e E E t = = = = e ue d e e 0 = max 0 max e u de 轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation: ∵dW＝dT＝PdDl ∴ = = = P d Al T V T t e e 故 0 : 弹能模量: (Modulus of Resilience)
r=2y=B2y5拉压)杆内的应变自2m= Strain energy of Axial Forced Bar 变形能 Strain Energy and比能 Energy Density (Strain Energy per Unit Volume 外力作功(T)→引起构件变形→产生内力→(o~)将外力功()转化 为内能(U)因是构件变形引起,故称为变形能。 当(≤)时称为弹性变形能它为可完全恢复的内能,故==2 比能(杆件单位体积内储存的变形能):“M=1o(o≤0时) u的量纲([力][长度]/[长度]3),常用单位:J/m3 材料进入塑性阶段后,有:U。+Up=T→n+p==20e un=t-u P = oda 20((其中:=+6= (1y=mo是使试件断裂所需要的比功,故t越注:U和u恒为正 大→此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)
§2－5拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar ( 是使试件断裂所需要的比功，故tf越 大→此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。 U T PDl 2 1 = = e 2 1 = = t = Al U u U U T u u t e + p = e + p = ue e e 2 1 = p ue d e u t e e e 2 1 1 0 = − = − = max 0 e t de f 变形能Strain Energy and比能Energy Density (Strain Energy per Unit Volume): 外力作功(T)→引起构件变形→产生内力→( ～e)将外力功(T)转化 为内能(U)----因是构件变形引起，故称为变形能。 当(≤e)时称为弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故: 比能(杆件单位体积内储存的变形能): ( ≤e时) u的量纲([力][长度]/[长度] 3),常用单位：J/m3 。 材料进入塑性阶段后，有: (其中: ) 1 1 p1 e p e e = e +e e = e +e 注:U 和 u 恒为正。 l EA l EA P l T P l 2 2 2 1 2 2 D = D = = 2 2 2 1 2 2 e e E E t = = =