材料力学 第五章弯曲应力 Stresses in Bending
材 料 力 学 第五章 弯曲应力 Stresses in Bending
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 我们知道横截面上的τQ;但用材料力学的方法不易直接推出τ 的分布规律。我们注意到dM/dx=Q;当(5-2)式推广应用于横力弯曲时, 我们有可能由梁段的部分微元x方向的平衡求出τ;再由剪应力互等 定理换成τ。(如下图) da a b ∵M1;<M M Gd4=T∵σ, (M+dmy 元平衡,由 (M+dM)y-M小 dM △dM ∴T=(2-01dA= Ys*NdA- S*
1 2 §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam T a b dA y 我们知道横截面上的Q;但用材料力学的方法不易直接推出 的分布规律。我们注意到dM/dx=Q;当(5-2)式推广应用于横力弯曲时, 我们有可能由梁段的部分微元x方向的平衡求出’;再由剪应力互等 定理换成。(如下图): ∵M1-1<M2-2 ∴1<2 故微元(mnab)上ab面必须有剪力T 使微 元平衡,由mnab微元的∑x=0 得: * ( ) ( ) ( ) ; * * * 2 1 1 2 * 1 * 2 S I dM ydA I dM dA I M dM y My T dA I M dM y I My dA dA T A A A A A = = + − = − = + − = = =
741梁横截面上的剪应力 S*(S*=Lyd r Stress of Beam T为长为dx,宽为b的微元底面ab上的纵向剪应力τ的合力。若假 设τ在bdx面内均匀分布,且方向平行于x轴(等价于: ①矩形横截面上的剪应力τ与对应的Q平行且同向 ②沿梁的宽度(即离中性轴等距离的各点,τ的值不变。) r=rhk故r=My.S*=S由剪应力互等定理r=得: axbb横截面上的剪应力QS* 式中 (5-8) b τ:横截面上距中性轴为y的宽度上任何一点的剪应力 Q此横截面上的剪力。 s*所需求的纤维以上部分面圈 积对中性轴z的的静矩 Ⅰ:此横截面整个面积对中性 轴z的轴惯矩 b-所需求τ处的横截面宽度
Ib QS bI S dx dM T bdx * * = ' 故 ' = = (5 8) * = − Ib QS §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam * ( * ) * = = A S S ydA I dM T T为长为dx,宽为b的微元底面ab上的纵向剪应力’的合力。若假 设’在 bdx 面内均匀分布, 且方向平行于x轴(等价于: ①矩形横截面上的剪应力与对应的Q平行且同向。 ②沿梁的宽度(即离中性轴等距离的各点),的值不变。) 则: 由剪应力互等定理’=得: 横截面上的剪应力 式中: τ:横截面上距中性轴为y的宽度上任何一点的剪应力。 Q:此横截面上的剪力。 S*:所需求的纤维以上部分面 积对中性轴z的的静矩。 I :此横截面整个面积对中性 轴z的轴惯矩。 b:所需求处的横截面宽度。 T
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 讨论 矩形截面 F 缓 1,上下边沿处 τ=0(∵S*=0) Fh rZ plax 2,离中性轴为y处的τ (高为h宽炒)(m)M(x) (5-2) h S*=b( 2)y+的2 2 OS* 120 b h 60h y2) 16 bhb 2 4 bh' 4 3,中性轴上的τ最大 60 为平均剪应力 1.5 max 46h 2cn615倍 4综合(5-2)式,有:矩形截面上的上、下边沿处σmax,τ=0 中性轴处σ=0,τma
1.5 4 6 | max = =0 = = bh Q y ) 4 ( 6 ) 4 ( 2 * 12 ) 4 ( 2 ) 2 2 )( 2 * ( 2 2 3 2 2 3 2 2 y h bh Q y b h bh b Q Ib QS y h y b h y y h S b = = − = − = − − = − + ....(5 2') ( ) ( ) − = M x y x §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 讨论 一 矩形截面: 1,上下边沿处 τ =0（∵S*=0） 2,离中性轴为y处的 (高为h,宽为b): 3,中性轴上的最大: 为平均剪应力 m的1.5倍 4,综合(5-2)式,有:矩形截面上的上、下边沿处 max , τ=0 中性轴处 =0 , max
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 工字型截面 1,冀缘ange)上τ分量很小,τ2分量成线性变化。 2,冀缘与腹板(web)交界处τ分布很复杂,材力方法无法求解 3,腹板上与矩形截面一样成抛物线分布(τ=QS*/b),τ CT 且有:Q≈Q,τeb≈QAb 4,对轧制工字钢 翼 截面J/S*=ISx 可查型钢表 此时,有 TIti OS* 腹 max Q 1n x
( ) * max x x d I S Q Ib QS = = §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 二 工字型截面 1, 冀缘(flange)上y分量很小, z分量成线性变化。 2,冀缘与腹板（web）交界处τ分布很复杂，材力方法无法求解。 3, 腹板上,与矩形截面一样成抛物线分布(=QS*/Ib), max ≈min 且有:Qw ≈Q , web ≈Q/Aweb 4,对轧制工字钢 截面,Iz /S*=Ix /Sx 可查型钢表。 此时,有:
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 是 而 应 R 0 得 由 A OS 2(CUs 0 160 cos0 n 16(0)cos 3丌d ●d●cosb●cos6 64 中性轴 故全截面上的最大剪应力在中性轴上(0=0),其值为 对薄壁环形 OS* 1604Q4 最大剪应力仍在中m=2n=217d=2A max 3d23A3 (式中:A为薄壁环行截面的面积。即τm为平均值的2倍)
三.圆形及圆环形截面的max: 圆形及圆环形截面的不再平行于Q。但是 y分量可以认为满足(5-8)式所用的两个假设。 Ib QS y * = 4 2 3 3 * ( ) 3 16 cos cos cos 64 ) cos 2 ( 3 2 cos 1 * ( ) d Q d d d Q Ib QS n = • • • = = 3 4 3 4 3 16 max 2 = = = A Q d Q A m n 中性轴 §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 而 可由假设离中性轴等距处(m-n线)各点的剪 应力汇交于竖向对称轴上一点A(A=A(y))来求得 由图易见m-n线上m点(或n点)的剪应力最大,为: 故全截面上的最大剪应力在中性轴上(θ=0),其值为: 对薄壁环形截面(壁厚δ<<d(平均直径)), 最大剪应力仍在中性轴上:其值为 2 2 2 2 * max = = = = A Q t d Q It QS (式中:A为薄壁环行截面的面积。即max为平均值的2倍)
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 四T形截面 t 例题5-6 z (P233) Lax RA P=150kN RI 2.5 B 10m 75kN 叫Ⅲ 山ⅢI 166 75kN
§5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 四.T形截面 例题5-6 (P233)
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 例题5-7 (P234) q MIM+dM b
§5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 例题5-7 (P234)
§5-4(2)梁的剪应力强度条件 shear stress strength condition of beam 全梁上的τma一般产生在Qn截面上的(S*b)最大处(一般为中性轴)。 故 ≤[z]…5-15/(S+b)=不在中性轴处的实例 Ib max 曰形梁。 般梁的强度由δ≤[6]控制;但有时需校核剪应力强度条件 需要校核(5-15)式的情形一般有: PP239245 1梁很短载荷很大or很大的载荷作用于支例题5-8例题511 2由型钢铆接或焊接的组合截面梁(如P244图,P266题5-37图) 当腹板(webt=b)很小时 注:梁上荷载为活载时,应按荷载移动产生M的位置校核 σmx≤[而按荷载移动后产生Qna的位置来校核τmx≤[可。如: 对应M=Mma B→A A B LL∠2⊥L∠2
一般梁的强度由б max≤[б]控制;但有时需校核剪应力强度条件。 需要校核(5--15)式的情形一般有: 1.梁很短载荷很大or很大的载荷作用于支座附近。 2.由型钢铆接或焊接的组合截面梁(如P244图,P266题5-37图), 当腹板(web,t=b)很小时。 3.木梁的[]顺纹较小，需较核max≤[]顺纹 §5-4(2) 梁的剪应力强度条件 shear stress strength condition of beam PP239~245 例题5-8~例题5-11 全梁上的max一般产生在Qmax截面上的(S*/b)最大处(一般为中性轴)。 [ ] ......(5 15) * max max max − = b S I 故 Q (S*/b)max不在中性轴处的实例: 曰形梁。 注：梁上荷载为活载时，应按荷载移动产生Mmax的位置校核 max≤ [],而按荷载移动后产生Qmax的位置来校核max≤ []。如: P P A B A B A B P 对 应 M c = M max Q A Q max 对 应 =
§5-5梁的合理设计 由 知:降低最大弯矩M、提高抗 max may max WSo弯截面系数W或局部加强弯矩 较大的梁段,都能降低桨的最大正应力σnx,从而提高梁的承载能力 使梁的设计更为合理。工程中常采用以下措施来提高梁的承载能力 、合理配置梁的荷载和支座:(由此可减小梁上的最大弯矩Mx 二、合理选取截面形状: 当弯矩已定时,横截面上的最大 正应力与抗弯截面系数成反比。因 功七 此所采用的横截面的形状应该是使可∏ 其抗弯截面系数W与其面积A之比尽 (a) P b 可能地大。由于在一般截面中W与 其高度的平方成正比。所以应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较 远的地方以满足上述要求。在梁横截面上距中性轴最远的各点处,分别有 最大拉应力和最大压应力。为了充分发挥材料的潜力应该使它们同时达 到材料的许用应力。对塑材梁,所选横截面形状应以中性轴为其对称轴;对 脆材梁,宜用T形等中性轴为非对称轴的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧
§5-5 梁的合理设计 由: 知:降低最大弯矩Mmax、提高抗 弯截面系数W,或局部加强弯矩 较大的梁段,都能降低梁的最大正应力max,从而提高梁的承载能力, 使梁的设计更为合理。工程中常采用以下措施来提高梁的承载能力: [ ] max max max max = = W M y M 一、合理配置梁的荷载和支座:(由此可减小梁上的最大弯矩Mmax) 二、合理选取截面形状: 当弯矩已定时,横截面上的最大 正应力与抗弯截面系数成反比。因 此,所采用的横截面的形状,应该是使 其抗弯截面系数W与其面积A之比尽 可能地大。由于在一般截面中,W与 其高度的平方成正比。所以,应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较 远的地方,以满足上述要求。 在梁横截面上距中性轴最远的各点处,分别有 最大拉应力和最大压应力。为了充分发挥材料的潜力,应该使它们同时达 到材料的许用应力。 对塑材梁,所选横截面形状应以中性轴为其对称轴;对 脆材梁,宜用T形等中性轴为非对称轴的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧
