《材料力学》第四章 弯曲内力 Internal Forces in Bending

材料力学 第四章弯曲内力 Internal Forces in Bending

材 料 力 学 第四章 弯曲内力 Internal Forces in Bending

84-1对 算简图 P 几何特点横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵 浙向对称平面 受力特点横向外力作用在与杆件的纵向对称 面(形心主惯性平面)重合或平行的平面内。 变形特点杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成 P 条平面曲线。 F 工程中最常见的梁,例如图4-1a、b、c中的AB梁,其横截面都具 有对称轴,同时,梁上所有的外力(或外力的合力)均作用在包含 此比种对称轴的同一纵向平面(通常称为纵对称面)内

• Ⅰ.弯曲的概念 • 在工程中常遇到这样一类等直杆，它们所承受的外力 是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力 偶）。在这些外力作用下，杆的轴线在变形后成为曲 线，这种变形称为弯曲Bending。凡是以弯曲为主要变 形的杆件，通常称为梁Beam。梁是一类常用的构件， 几乎在各类工程中都占有重要地位。 §4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 几何特点 横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵 向对称平面。 受力特点 横向外力作用在与杆件的纵向对称 面（形心主惯性平面）重合或平行的平面内。 变形特点 杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一 条平面曲线。 工程中最常见的梁，例如图4－la、b、c中的 AB梁，其横截面都具 有对称轴，同时，梁上所有的外力（或外力的合力）均作用在包含 此种对称轴的同一纵向平面（通常称为纵对称面）内

梁的计算简图 纵对称面 P2 对称轴 外力均对称子梁的纵 必定是一条在该纵 2),即梁变形后的 n相重合。这种弯曲 梁变形后的轴线 与外力在同平面内血 论梁的应力和变形计算。至皱线 七章中介绍。本章则为弯曲

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅰ.弯曲的概念 由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵 对称面，因此,梁变形后的轴线必定是一条在该纵 对称面内的平面曲线（图4－2），即梁变形后的 轴线所在平面与外力所在平面相重合。这种弯曲 称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单 和最常见的情况，在下面几章中，将以对称弯曲为主，讨 论梁的应力和变形计算。至于非对称弯曲问题，则将在第 七章中介绍。本章则为弯曲问题的计算提供基础

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 的主要是等截面的直梁,而且外力为作用在梁 纺—系。因此,在梁的计算筒中就望的 (d)mRIR 算简图中对支座简化的关键,在于分析支座对 束情况。 (b) H 的约束情况,可以简化为以下 1.固定端 fixed end、 built-in固定端 截面既不能移动,也不能转动。故它4R 约柬,对应有三个支反力,即水平支反,舒H 为M的支反力偶。 2.固定铰支座 fixed hinged support固定铰支座限 制梁在支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动,但 并不限制梁绕纹中心转动。故其对梁在支座处的截面有两 个约束,相应有两个支反力,即水平支反加和舒垂支反加R

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 由于这里所研究的主要是等截面的直梁，而且外力为作用在梁 纵对称面内的平面力系。因此，在梁的计算简图中就用梁的 轴线代表梁。梁计算简图中对支座简化的关键，在于分析支座对 梁在荷载平面内的约束情况。 梁的支座，按其对梁的约束情况，可以简化为以下三种基本形式: 1．固定端fixed end、built-in 固定端支座使梁的端 截面既不能移动,也不能转动。故它对梁的端截面有三个 约束，对应有三个支反力，即水平支反力H，铅垂支反力R和矩 为MR的支反力偶。 2．固定铰支座fixed hinged support 固定铰支座限 制 梁在支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动，但 并不限制梁绕铰中心转动。故其对梁在支座处的截面有两 个约束，相应有两个支反力，即水平支反力H和铅垂支反力R

P B A (b) R 应当注意,梁实际支座的化, 束情况来确定的。但是,支座的简化优优可异的度安买,些 与所有支座对整个梁的约束情况有关。例如,图4一4a所示的插入 砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可 能;此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙 就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定 铰支座,而另一个则简化为可动铰支座(图4-4b)。图4-1b中的车 辆轴的支座也具有类似的情况

3．可动铰支座movable hinged support 可动铰支座只限 制 梁在支座处的截面沿垂直于支承面方向移动。故它对梁在 支座处的截面仅有一个约束，相应地也只有一个支反力，即垂直 于支承面的支反力R。 梁的实际支座通常可简化为上述三种基本形式。 §4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 应当注意,梁实际支座的简化,主要是根据每个支座对梁的约 束情况来确定的。但是,支座的简化往往与对计算的精度要求,或 与所有支座对整个梁的约束情况有关。例如,图4－4a所示的插入 砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可 能；此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙 就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定 铰支座,而另一个则简化为可动铰支座(图4－4b)。图4－1b中的车 辆轴的支座也具有类似的情况

§4-1对称弯曲的概念( Ⅱ.梁的计算 从以上的分析可知,如果梁具有 截面处分别有一个固定铰支座和一个可(e 力可由平面力系的三个平衡方程求出。 determinate beam。图45a、b、c所示是工程上币用到时三本形 式的静定梁,分别称为悬臂梁 Cantilever beam、简支梁 simple beam和外伸梁 :Simple beam梁在两支座间的部分称为跨span, (a) 其长度则称为梁的跨长(跨度span) 常见的静定梁大多是单跨的。 根据梁的计算简图就可以按平衡 (b) 方程求得静定梁的支反力。作用在梁 上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线 疡1的平面平行力系,在此情况下,水平 支反力H应等于零。于是,静定梁的 支反力将仅有两个,可以通过平面平 mm行力系的两个平衡方程来确定

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 从以上的分析可知，如果梁具有一个固定端，或在梁的两个 截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，则其三个支反 力可由平面力系的三个平衡方程求出。这种梁称为静定梁statically determinate beam。图4-5a、b、c所示是工程上常用到的三种基本形 式的静定梁，分别称为悬臂梁Cantilever beam 、简支梁Simple beam和外伸梁Simple beam with overhang。 有时为了工程上的需要，对一个梁 设置较多的支座，因而梁的支反力数目 多于平衡方程的数目，此时若只用平衡 方程就无法确定其所有的支反力。这种 梁称为超静定梁statically indeterminate beam。 梁在两支座间的部分称为跨span， 其长度则称为梁的跨长(跨度span)。 常见的静定梁大多是单跨的。 根据梁的计算简图就可以按平衡 方程求得静定梁的支反力。作用在梁 上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线 的平面平行力系，在此情况下，水平 支反力H应等于零。于是，静定梁的 支反力将仅有两个，可以通过平面平 行力系的两个平衡方程来确定

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 例题4-1计算图a所示悬臂梁的支反力。 解:在竖直荷载作用下,梁固定端的支反力有两个,即矩为皿的支反力偶和铅垂 支反力RA。设m和R的转向和指向如图b所示。将梁上的均布荷载以其合力q1/2 由平衡方程:∑Y=0.R P=0和∑mn=0,m,9×31-P=231/4 代替,合力的作田坐通过均左芹却四亚面的亚心 空的 2 解得 所得结果为 +P正,表示原假设 T 的支反力和支反 m,、y+P力偶的指向和转 B 向正确 1/2 为了校核计算结果,可将所y 3l4 12 P 得的RA和m与梁上的荷载一起对 R B点取矩得到: x +PD)-(+P)+×=0 B 2 A 即∑m2=0这一平衡方程能得到满足,因而计算结果是正确的

§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 Pl ql m P ql R A A = + = + 8 3 2 2 0 2 4 ) 2 ) ( 8 3 ( 2 + − + +  = ql l P l ql Pl ql A C B q l/2 l/2 P ql/2 l 3l/4 x y A C B P mA 解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂 支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 解得: 所得结果为 正，表示原假设 的支反力和支反 力偶的指向和转 向正确。 为了校核计算结果，可将所 得的RA 和mA与梁上的荷载一起对 B点取矩得到: 这一平衡方程能得到满足，因而计算结果是正确的。 例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。 代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。 由平衡方程: 将梁上的均布荷载以其合力ql/2 0 4 3 2 0 0, 2  = 0, − − =  = −  − Pl = ql l P m m ql Y i RA 和 A i A 即 mBi = 0 RA

求支反力时,先将中间铰c拆开(图b),并通过平衡方程求出 副梁的支版力然后收剧泌门R的两个支反力 并 X=0→XC=XB ∑ mn=0:-Y×5+20×3×2.5+5=0→Y=3lkN 例 (1)∑y 20×3-31=29kN 组(2)研究AC梁,由平∑x,=0X=M∑y=0→R,=50+31=81kN 0→ 31×1.5+50×1=965kN·n PE 5UK q=20kN/m E C D K 米B 0.5m1m 3m m,2=50kN Yc=Y g=20kN /m m=5kN. m XA Xc B XB A E Xc=xc C D R

§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图 • 例题4－2 求图a所示多跨静定梁的支反力。 • 解：若把梁的AC段移去，则CB段就会坍下来。因此，AC段是该 组合梁的基本梁或称为主梁；CB段则称为副梁。 求支反力时，先将中间铰c拆开（图b），并通过平衡方程求出 副梁CB的支反力。然后，再将副梁CB的两个支反力XC、YC反向 。并分别加在主梁AC的C点处，求出主梁AC的支反力。 （1）研究 Y CB梁，由平衡方程 R k N X X X m Y Y k N i B C B B C c i 0 20 3 31 29 0 | 0 : 5 20 3 2.5 5 0 31 =  =  − = =  = = −  +   + =  =    （2）研究AC梁，由平衡方程 m m k N m X X X Y R k N A i A i A C i A =  =  +  =  =  = =  = + =    0 31 1.5 50 1 96.5 0 | 0 50 31 81

§4-2梁的剪力和弯矩 同样应联系变形来定义剪力Q和弯矩M的正负。如图,规定 为正剪力使微梁段产生左上右下的相对错动时(Q≥0)。任 出对左段正弯矩使微梁段产生上凹下凸的变形(M=0) 仅力) Q m (受拉) M BRA (受拉) B

上面所分析的左段梁在 横截面m —m上的剪力和弯 矩，实际上是右段梁对左段 梁的作用。根据作用与反作 用原理可知，右段梁在同一 横截面m—m上的剪力和弯 矩，在数值上应该分别与以 上两式所表达的剪力和弯矩 相等，但右段梁上剪力的指 向和弯矩的转向则与图b中 所示相反(图c)。 §4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam • 为了计算梁的应力和位移，首先应该确定梁在外力作用下任一 横截面上的内力。当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力） 均为已知时，用截面法即可根据这些已知的外力求出内力 Y Q R m M R 。 x  i =  mm = A  Ci = 0  mm = A 对左段梁: 0 | 同样应联系变形来定义剪力Q和弯矩M的正负。如图,规定: M Q Q x M x y m m C B RB P A C RA m m (受拉) (受拉) m m M M (c) m m M M (d) (b) Q Q m m x (a) Q Q m m x 正剪力使微梁段产生左上右下的相对错动时（Q≥0）。 正弯矩使微梁段产生上凹下凸的变形（M ≥0）

81-7 55 例题4-3:图a为图4-1a所示 ∑Y=0:Q+R=0→9=-Rn= Pa+pb E C D F B ∑ 0:M-Rnd=0→ M.n, Pa+ P,b F 解:1,求支及力A和RB ∑mn=0:R=Pa-Pb=0 E LEA RB (d) Pa+ pb →R E丿M EMF B B ∑mm=0:Rl-(-a)-B(-b)=0 (-a)+P(l-b) E E 2,用截面法计算各指定横截 =0.R-=0==R,=2(+ C ∑m:=0:MB-Rc=0→M=R(-)+P2(-b)C

§4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam 例题4-3:图a为图4-1a所示 梁的计算简图。已知P1、P2，且 P2＞P1，尺寸a、b、l、c和d亦 均为已知。试求梁在E、F点处 横截面上的剪力和弯矩。 解:1, 求支反力RA和RB。 l P l a P l b R m R l P l a P l b l Pa P b R m R l Pa P b A B i A B A i B ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0 0 : 0 1 2 1 2 1 2 1 2 − + −  = = − − − − = +  = = − − =   ME c QE MF d QF F B RB (d) A E RA (b) ME QE l - c RB a - c C b - c (c) D P1 P2 E B E c l a b P1 P2 C D x y (a) A B 2,用截面法计算各指定横截 面上的剪力和弯矩。(当计算E点处 横截面上的剪力QE和弯矩ME时， 将梁沿此横截面假想地截开，并 可研究左段梁(图b)。) c l P l a P l b m M R c M R c l P l a P l b Y R Q Q R E c E A E A i A E E A ( ) ( ) 0 : 0 ( ) ( ) 0 : 0 1 2 1 2 − + − = − =  = = − + − = − =  = =   RA RB d F d l Pa P b m M R d M R d l Pa P b Y Q R Q R F c F B F B i F B F B 1 2 1 2 0 : 0 0 : 0 + = − =  = = + = + =  = − = −  