广东工业大学：《金属塑性成形原理》第1章 应力分析与应变分析

第一章应力分析与应变分析 教学内容:本章讨论了应力分析和应变分析的方法及各种相关方程。应力分析和 应变分析是塑性变形的力学基础 教学重点:点的应力状态分析,应力张量的分解与几何方程,应力平衡微分方程, 点的应变状态,应变增量,应变速度张量,主应变图与变形程度表示 教学难点:应力平衡微分方程,应变增量,应变速度增量,主应变图与变形程度 表示 教学方法:课堂教学为主,结合多媒体教学 教学要求:重点掌握应力与应变的状态分析,应力平衡微分方程以及应变与位移 关系方程,主应变图与变形程度的表示。 1.1应力与点的应力状态 1.1.1外力 定义:塑性加工是利用材料塑性,在外力作用下使材料发生塑性变形,制备具有 定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因,它可以 分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力,它有集中载荷和分 布载荷之分,一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的 力,如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中,体积力的作用远远小于 表面力,因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合,体积力不能忽略 1.1.2内力 定义:内力是材料内部所受的力,它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完 整性的力。外界作用可以是外力,也可以是物理作用、化学作用,如冷热不均。 内在力则来自于组成物体的众多原子,它们总是试图保持相互之间的距离不变。 当外界作用于物体时,迫使原子间距发生变化,而原子则以力的形式与外界抗衡

第一章 应力分析与应变分析 教学内容：本章讨论了应力分析和应变分析的方法及各种相关方程。应力分析和 应变分析是塑性变形的力学基础。 教学重点：点的应力状态分析，应力张量的分解与几何方程，应力平衡微分方程， 点的应变状态，应变增量，应变速度张量，主应变图与变形程度表示。 教学难点：应力平衡微分方程，应变增量，应变速度增量，主应变图与变形程度 表示 教学方法：课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求：重点掌握应力与应变的状态分析，应力平衡微分方程以及应变与位移 关系方程，主应变图与变形程度的表示。 1．1 应力与点的应力状态 1．1．1 外力 定义：塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有 一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以 分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分 布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的 力，如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于 表面力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。 1．1．2 内力 定义：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完 整性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。 内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。 当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡

以恢复稳定位置,保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内 部各部分之间相互平衡的力 1.1.3应力 定义:应力是单位面积上的内力(见图1-1),其定义式为 S=dP/dA (1.1) 1.1.4点的应力状态 现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上 的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、dz,以四面体近似表示 点,从而斜面近似通过M点(见图1-3)。斜面外法线n的方向余弦分别为: cos(n,x)令l cos(n,y)令l cos(n,z)令L 图1-3四面体受力示意图 1.2点的应力状态

以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内 部各部分之间相互平衡的力。 1．1．3 应力 定义：应力是单位面积上的内力（见图 1-1），其定义式为： Sn=dP/dA （1.1） 1．1．4 点的应力状态 现考察变形体内任一点 M 某一斜面上的应力情况。设过 M 点三个坐标面上 的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为 dx、dy、dz，以四面体近似表示 点，从而斜面近似通过 M 点（见图 1-3）。斜面外法线 n 的方向余弦分别为： （1. 2） 1．2 点的应力状态 图 1-3 四面体受力示意图 cos( , ) cos( , ) cos( , ) x y z n x l n y l n z l       令 令 令

1.2.1主应力与应力张量不变量 主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力,该作用面称作主平面, 法线方向为主轴或主方向。 设主应力为,当n为主方向时,有 S4=a2,S,=,,S:=l,代入(式 3),整理,有: (σx-0)+xxy+zax12=0 Try,+(o, -o)7 x2lx+ry,+(a:-a)2=0 解4,y的非零解,必有系数行列式值为零,最终可得 (1.10) 其中,2,称作应力张量的第一、二、三不变量 ,+G,+O 3 11)

1．2．1 主应力与应力张量不变量 主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面， 法线方向为主轴或主方向。 设主应力为  ，当 n 为主方向时，有 x x S = l ， y y S = l ， z z S =l ，代入（式 1.3），整理，有： （1. 9） 解 x y z l , l , l 的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得 0 2 3 2 1 3  − I  − I  − I = （1. 10） 其中 1 2 3 I , I , I 称作应力张量的第一、二、三不变量。 （1. 11） ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 x x yx y zx z xy x y y zy z xz x yz y z z l l l l l l l l l             − + + =   + − + =   + + − =               = − = + + = + + x z y z z x y y z y x y x z x z x x z x z y z z y z y x y y x y x x y z I I I                         3 2 1

可以证明,式(1.10)有三个不同的实根设为可,0203且它们是相互正交 的,习惯上有O1202203的约定 以上分析表明,一定,主应力与五,l,l的大小就完全确定。因此,一点的 应力状态也可用主应力来表示。特别是,当坐标轴与主轴相重合时,的表现 形式最为简洁。同样五,,l3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化,一点的 主应力与应力张量不变量保持恒定。 求得主应力12,0之后,代回式(1.9)中的任意二式,再结合=1 便可求出12:73相对于xy=轴的方向余弦 1.2.2主切应力 改变方向,总有若干方向使为主切应力,其作用面为主切平面 若以主应力表示,则式(1.8)为 zn=√G2+a212+a3l3-(012+a2+a2l2) =0 0 0 求解G 结合=1,可得以下六组解 1.2.3八面体应力与等效应力 在主应力空间中,每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面,八个掛限共有八组,构成正八 面体,简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。因为有 l1=l2=l3=l V3

可以证明，式（1. 10）有三个不同的实根设为 1 2 3  , , 且它们是相互正交 的，习惯上有  1  2  3 的约定。 以上分析表明，  ij 一定，主应力与 I1，I2，I3的大小就完全确定。因此，一点的 应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，  ij 的表现 形式最为简洁。同样 I1，I2，I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，一点的 主应力与应力张量不变量保持恒定。 求得主应力 1 2 3  , , 之后，代回式（1. 9）中的任意二式，再结合 = 1 i i l l ， 便可求出 1 2 3  , , 相对于 x, y,z 轴的方向余弦。 1．2．2 主切应力 改变方向，总有若干方向使 n  为主切应力，其作用面为主切平面。 若以主应力表示，则式（1. 8）为： 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 l l l ( l l l )  n =  +  +  −  +  +  （1. 12） 求解 0, 0, 0 2 2 2 2 3 2 1 2 =   =   =   z n n n l l l    ，结合 = 1 i i l l ，可得以下六组解。 1．2．3 八面体应力与等效应力 在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八 面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。因为有： 3 1 l 1 = l 2 = l 3 = l = 

由式(1.7),式(1.12),有: 借助于l1,互,又有: (ax+σ,+:)=m=11 T8 12+32 )2+(o +6(r+r+ (1.15) 为了使不同应力状态具有可比性,定义了等效应力°(应变能相同的条件 下),也称相当应力 {o,-a)+(a,-a)+(-a,)+6xn,+2+x2) (1.16) 至此,由可。=f(灬1)xn=f(1)引出了三种殊应力面,如图1-4所示。 它们是: III I:三组主平面,应力空间中构成平 Ⅱ1:六组主切平面,在应力空间构成 Ⅲ:四组八面体面,构成正八面体。 图1-4应力球与特殊面

由式（1. 7），式（1.12），有： 2 3 1 2 2 3 2 8 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 1  =  − +  − +  − 借助于 I1， I2，又有： 8 1 3 1 ( ) 3 1 I  =  x + y + z = m = （1. 14） 2 2 8 1 3 3 2  = I + I ( ) ( ) ( ) 6( ) 3 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z z x =  − +  − +  − +  + + （1. 15） 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力  e （应变能相同的条件 下），也称相当应力。 8 2 3  =  e ( ) ( ) ( ) 6( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z z x =  − +  − +  − +  + + （1.16） 至此，由 ( , ), ( , ) n i j i n i j i  f  l  f  l =  =  引出了三种殊应力面，如图 1-4 所示。 它们是： Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。 图 1-4 应力球与特殊面

1.3应力张量的分解与几何表示 3.1应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零,只有形状变化。因此,可以把分解成与体 积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量,后者称应力偏张量。设 0m为平均应力,则有 (ax+,+:)=l1 17) 按照应力叠加原理,“具有可分解性。因此有: o.+o (j=x,y,=) 式中,当=/时, 6.=0 上式第一项为应力偏张量,其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量,其任何方向都是主方向,且主应力相同 值得一提的是,。只影响体积变化,不影响形状变化,但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量,同样有三个不变量,分别为

1．3 应力张量的分解与几何表示 1．3．1 应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把  ij 分解成与体 积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设  m 为平均应力，则有： 1 3 1 ( ) 3 1 I  m =  x +  y +  z = （1. 17） 按照应力叠加原理，  ij 具有可分解性。因此有： i j i j m i j m i j  = ( −   ) +   ' (i, j x, y,z) = i j+ m i j = （1. 18） 式中，当 i = j 时， = 1 i j  ；当 i  j 时， = 0 i j  。 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。 值得一提的是， m i j   只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 1 2 3 I' , I' , I'

1=a'+a'+o'=0 1=0表明应力偏张量已不含平均应力成份。2与屈服准则有关(见第二章), 反映了物体形状变化的程度。反映了变形的类型:3>0表示广义拉伸变形 3=0表示广义剪切变形,30,所以可应该有九种可能 主应囡性公坵朔性加T叶件受力状况类型的一种手段。 图15主应力图 1.3.3主应力空间与面 若以可可2,为坐标轴,构成主应力空间,则一点的应力状态可用一矢量来 表示,如图1-6所示。 =σ1i+2j+σ3k

         = = − + − + − + + + = + + = i j x y y z z x x y y z z x x y z I I I ' ' ( ) ( ) ( ) 6( ) 6 1 ' ' ' ' ' 0 3 2 2 2 2 2 2 2 1              （1. 19） ' 0 I 1 = 表明应力偏张量已不含平均应力成份。 2 I' 与屈服准则有关（见第二章）， 反映了物体形状变化的程度。 3 I ' 反映了变形的类型： ' 0 I 3  表示广义拉伸变形； 3 I ' =0 表示广义剪切变形， 3 I ' <0 表示广义压缩变形。 1. 3. 2 主应力图 表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具 有九种可能的组合，如图 1-5 所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加 以理解。由 ' = 0  i i ，决定了 ij  ' 只可能有三种状态，而也有三种可能，即  0, = 0,  0  m  m  m ，所以  ij 应该有九种可能。 主应力图是定性分析塑性加工时工件受力状况类型的一种手段。 1. 3. 3 主应力空间与π面 若以 1 2 3  , , 为坐标轴，构成主应力空间，则一点的应力状态可用一矢量来 表示，如图 1-6 所示。 OP i j k =1 + 2 + 3 图 1-5 主应力图

(σ1-om)+(2-om)+ (σ3-om)k+σm(+j+k) +ON 这是OO为应力偏量对应的矢量,ON与,2O3成等倾角,为应力球张量对应 的矢量。可以证明C⊥CN。ON必正交于下列过原点的平面 σ,+、+,=0 20) 这是一个平均应力为零的平面,称为应力x平面。因O的三个分量可12,3 满足下列关系 σ2+o2+o3=0 所以OD总是在x平面内,可以用二个几何参数来表示 OM= 3om=l 方向:与 3方向:丌平面 图1-7π平面与8角的关系 C的方向可用O在丌平面上投影1与CO的夹角表示。求法如下:将 坐标系旋转,使丌平面成水平面。如图1-7所示。过Q点作以D为法线的平面 该平面与101投影面交于AB,显然AB⊥兀平面。则四面体OQBA为直角△四 面体。而

=(1 − m )i +( 2 − m )j + ( ) ( ) 3 k i j k  − m + m + + =OQ+ON 这是 OQ 为应力偏量对应的矢量， ON 与 1 2 3  , , 成等倾角，为应力球张量对应 的矢量。可以证明 OQ⊥ON 。ON 必正交于下列过原点的平面。 0  1 + 2 + 3 = （1. 20） 这是一个平均应力为零的平面，称为应力  平面。因 OQ 的三个分量 1 2 3  ' , ' , ' 满足下列关系 ' ' ' 0  2 + 2 + 3 = （1. 21） 所以 OQ 总是在  平面内，可以用二个几何参数来表示。 1 3 1 ON 3 I =  m = ，方向：与 1 2 3  , , 成等倾角 , 3 2 ' ' ' 2 3 2 2 2 OQ =  1 + + =  e 方向：  平面内 OQ 的方向可用  1 在  平面上投影 1  ' 与 OQ 的夹角  表示。  求法如下：将 坐标系旋转，使  平面成水平面。如图 1-7 所示。过 Q 点作以 OQ 为法线的平面， 该平面与  1 O 1  ' 投影面交于 AB，显然 AB⊥  平面。则四面体 OQBA 为直角△四 面体。而 图 1-7 π平面与θ角的关系

00=oo(B,i+B2j+B, k) 其中,B,B3,B为Q在O2空间的方向余弦。由四面体几何关系,有 B1= -oose 同理:V3∞1200) B3 cS(120+) 所以 @P V301200) 3v3∞0120+0) 三式相乘,得: P oe co s(30) 27 2 于是,只要知道任意一点的应力状态,就可通过下式求出可,02,O3

( ) 1 2 3 OQ = OQ  i +  j +  k 其中， 1 3 3  ,  ,  为 OQ 在 O 1 2 3 空间的方向余弦。由四面体几何关系，有  co s 3 2 3 2 / / 1 = OQ OA = OQ OB  = 同理： co s(120 ) 3 2  2 = − co s(120 ) 3 2  3 = +  所以            = =  + = =  − = =  co s(120 ) 3 2 3 2 ' co s(120 ) 3 2 3 2 ' co s 3 2 3 2 ' 3 3 2 3 1 1             e e e OQ OQ OQ （1. 22） 三式相乘，得： co s(3 ) 2 7 3 ' 3 I 3 =  e          = 3 3 2 2 7 ' arcco s 3 1 e I   （1. 23） 于是，只要知道任意一点的应力状态  ij ，就可通过下式求出 1 2 3  , ,

2 3cos(120-6) 3=an+3=am+=a3cos(1206) (1.24) 引入应力空间和丌平面后,使得一点的应力状态表示更为直观。尤其是丌平面的 引入,可以使与塑性变形有关的应力表示和分析更为简单。 1.4应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间关系,可以通过微体沿 坐标轴力平衡来得到,一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。 1.4.1直角坐标下的平衡微分方程 假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为 x,y,=) x+dxy+dh=+d)(见图1-8)。假设“的连续可导则有 假设连续可导,则有 σ(x+dx,y+dy,2+d)=σ(x,y,=)+ k(i,j, k=x,yz 列六面体力平衡,则有 0 01y (1.25)

         = + = + + = + = + − = + = + co s(1 2 0 ) 3 2 ' co s(1 2 0 ) 3 2 ' co s 3 2 ' 3 3 3 2 2 3 1 1                   m m m m m m e （1. 24） 引入应力空间和  平面后，使得一点的应力状态表示更为直观。尤其是  平面的 引入，可以使与塑性变形有关的应力表示和分析更为简单。 1．4 应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间  ij 关系，可以通过微体沿 坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。 1.4.1 直角坐标下的平衡微分方程 假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为 ( x, y , z)  i j ， ( x d x,  i j + y+dy,z+dz) （见图 1-8）。假设  ij 的连续可导则有 假设  ij 连续可导，则有 ( d , d , d ) ( , , ) d (i, j ,k = x ,y ,z)   + + + = + k k i j i j i j x x x x y y z z x y z    列六面体力平衡，则有            =   +   +   =   +   +   =   +   +   0 0 0 8 x y z x y z x y z x z y z x y y z y x y x z x          （1. 25）