第9章功平衡法和上限 法及其应用 891功平衡法 §9.2极值原理及上限法 §9.3速度间断面及其速度特性 §9,4 Johns0m上限模式友应用 §95小V乙tm上限模式及应用
第9章 功平衡法和上限 法及其应用 §9.1 功平衡法 §9.2 极值原理及上限法 §9.3 速度间断面及其速度特性 §9.4 Johnson上限模式及应用 §9.5 Aviztur上限模式及应用
§91坊平衡法 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原 理來计算变形力的一种鈣似方法,又称变形功 法。 功平衡原理是指塑性变形过程外力沿其位 移方向上所作的外部功(WP)-于物体望性变形 所消耗的应变功(Wd)和接触摩擦功(Wf)之 和,即 w≥=Wd+Wf 对变形过程的某一瞬时,上式可写成功增量形 式 dWP=dwd+dWf
§9.1 功平衡法 ➢ 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原 理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功 法。 ➢ 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位 移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形 所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之 和，即 WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形 式 dWP = dWd + dWf
§92极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理,它们都是根据虚 功原理和最大塑性功耗原理得出的,但各自分析问题的出 发点不同。 上限定通是按运动学许可速度场(生要足速度边界亲 件和体积不变永件)来确定变形荷的近似解,这一变形 载荷它总是大于(理想情况下才等于)真实载荷,即高估 的近队值,故称上限解 下限定理仅换静力学许可应力场(主要满足力的边界杀 件和静力平衡条件)来确定变形载荷的近以解,是小 于(理想情况下才等于)真实载荷,即高低的近似解,故 称下限解
➢ 极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚 功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出 发点不同。 ➢ 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形 载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估 的近似值，故称上限解； ➢ 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小 于（理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似解，故 称下限解。 §9.2 极值原理及上限法
虚功原理 稳定平稳状态的变形体中,当给予变形体一几 何约束所许可的微小位移(因为该位移只是几 何约束所许可,实际上并未发生,故称虚位移 时,则外力在此虚位移上所作的功(称虚功) 必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚 应动,其我式为 P,ou,dS- ∫∫o,dsn+x∫J, d ud s+ 安示应用带用动率形式表达 ∫p=+ 7,Avd+∑N k
稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几 何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几 何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移） 时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功）， 必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚 应变功，其表达式为： 实际应用常用功率形式表达 i = V i j i j + t i + Ak p u d S d d V d u d s S s 1 s p i i = V i j i j + t i + Nk p v ds dV v ds S 虚功原理
起功原理 式中,左边为外力所作虚动虚功,右这 第一项为虚应变功耗或应变功率消耗,第兰 项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消 耗等。(Aw为所在界面上的相对滑动速度)。 第兰项为裂纹形成等的功耗咸功率消耗。虚功 原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力 学问题都是适用的
虚功原理 式中，左边为外力所作虚功或虚功率，右边 第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗，第二 项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消 耗等。（ 为所在界面上的相对滑动速度）。 第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功 原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力 学问题都是适用的。 i v
虚拟的动学许可速度场模式 到目前为止,上限法中虚拟的运动学许可 速度场模式大体有三种模式 Johnso模式,通常称为简化滑移线场的刚 性三角形上限模式,主要适用于平面应变问题 (2) tzar式,通常称为连续速度场的上限 模式,它既可适用平面应变问题、轴对称问题, 也可用于某些三维题,用途比较广。 (3)上限单元技术(UBET),自前比较实用的 是圆柱坐标系的國环单元技术。它可用于解轴 对称问题,以及某些非对称轴的三维问题 具体实例在硕士阶段将详细分析
到目前为止，上限法中虚拟的运动学许可 速度场模式大体有三种模式： （1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚 性三角形上限模式，主要适用于平面应变问题。 （2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限 模式，它既可适用平面应变问题、轴对称问题， 也可用于某些三维问题，用途比较广泛。 （3）上限单元技术（UBET），目前比较实用的 是圆柱坐标系的圆环单元技术。它可用于解轴 对称问题，以及某些非对称轴的三维问题。 具体实例在硕士阶段将详细分析。 虚拟的运动学许可速度场模式
893速度间断面及其速度特性 t }) 图94速度间断面上的速度间断 a)物理平面b)速度图
§9.3 速度间断面及其速度特性 (1) (2) A v2 v1 x x A B C D φ H 图9-4 速度间断面上的速度间断 a）物理平面 b）速度图
§94 Johnson上限模式及应用 基本思路是设想塑性变形区由若千个刚性三 角形构成,塑性变形时完全依常三角形场间的 相对滑动产生,变形过程中每一个刚性块是 个均勻速度场,块內不发生塑性变形,于是块 内的应变速度。因此,式(9=6)的能量基本方 程中。若不计附加外力及其他功率消耗的话 其塑性变形功率消耗部分也为零,则限功率 表达式变为:一 z.△vcs sv t
§9.4 Johnson上限模式及应用 基本思路是设想塑性变形区由若干个刚性三 角形构成，塑性变形时完全依靠三角形场间的 相对滑动产生，变形过程中每一个刚性块是一 个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块 内的应变速度。因此，式（9-6）的能量基本方 程中，若不计附加外力及其他功率消耗的话， 其塑性变形功率消耗部分也为零，则上限功率 表达式变为： p v ds v ds s p i i s v t i '
Johnson上限模式求解的基本步骤 1.根据变形的具体情况,或参照该问题 的滑移线场。确定变形区的几何位置 与形状,再根据金属流动的大体趋势 将变形区划分为若干个刚性三角形块; 2.根据变形区划分刚性三角形块情况 以及速度边界条件,绘制速端图
Johnson上限模式求解的基本步骤 1.根据变形的具体情况，或参照该问题 的滑移线场，确定变形区的几何位置 与形状，再根据金属流动的大体趋势， 将变形区划分为若干个刚性三角形块； 2.根据变形区划分刚性三角形块情况， 以及速度边界条件，绘制速端图；
ohnson上限模式求解的基本步骤 3.根据所作几何图形,计算各则性三角形 边长及速端图计算各刚性块之的速度 间断量,然后计算其剪切功率消耗 求问题的最佳上限解,一般划分的刚性 三角形块时,几何形状上包含若干个待 定几何参数,所以须对待定参数求其极 值,确定待定参数的具体数值以及最佳 的上限解
Johnson上限模式求解的基本步骤 3.根据所作几何图形，计算各刚性三角形 边长及速端图计算各刚性块之间的速度 间断量，然后计算其剪切功率消耗； 4.求问题的最佳上限解，一般划分的刚性 三角形块时，几何形状上包含若干个待 定几何参数，所以须对待定参数求其极 值，确定待定参数的具体数值以及最佳 的上限解