《材料力学》第九章 应力与应变分析 Analysis of Stress & Strain

材料力学 第九章应力与应变分析 Analysis of Stress Strain

材 料 力 学 第九章 应力与应变分析 Analysis of Stress & Strain

导言 Introduction 前面我们介绍了在拉(压)、剪切、扭转、弯曲四种基本 变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形 计算公式。对图示梁上C截面上的k点(翼缘与腹板交点下 侧),既有M(=Pa)引起的σ又有Q(=P)引起的τ,其强度条件应 是什么形式?组合变形(拉弯、扭弯、…)的截面如何确定 最危险点及建立相应的强度条件?为解决这些问题,需要 研究构件 上一点的 P 应力随截 面方位的 变化而改A D 变的规律 即一点的 应力状态

导言 Introduction l a a k 前面我们介绍了在拉(压)、剪切、扭转、弯曲四种基本 变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形 计算公式。对图示梁上C－截面上的k点(翼缘与腹板交点下 侧),既有M(=Pa)引起的s又有Q(=P)引起的t,其强度条件应 是什么形式?组合变形(拉弯、扭弯、…)的截面如何确定 最危险点及建立相应的强度条件？为解决这些问题,需要 研究构件 上一点的 应力随截 面方位的 变化而改 变的规律。 即一点的 应力状态

§9-1应力状恋的概念 . Stress state at a point 在§1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。过一点各方向 截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。但怎样描述一点的应力情 况 点的应力状态? 我们可以用三对 n12)D取出 通常叫微单元体 EleM=1xno1x2[垂直的平 点(M的应力状态。并 . T. Winsor)来描 当M点的微元体坐标Oyz改变为Ox1y1z时,有: 因为两者表示同一点M的应力状态,其各分 量间必然有一定的相互转换规律。这些规律的数 学形式是什么? 弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存 在三个主平面( Principal planes其上τ≡0),其上 的应力(61≥62≥63)叫该点的主应力 Principal y stresses。且这三个主平面相互垂直,围成一个 主单元体( Element of Principal Stresses微元体

我们可以用三对相互垂直的平面,绕此点(M)取出一个微小的正六面体(如图, 通常叫:微单元体Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此 点(M)的应力状态。并可将其用一个二阶张量(Tensor)来描述。 §9-1 应力状态的概念 I. Stress state at a point M           = z x z y z yx y yz x xy xz M t t s t s t s t t s           = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z x z y z y x y y z x x y x z M t t s t s t s t t s 因为两者表示同一点M的应力状态,其各分 量间必然有一定的相互转换规律。这些规律的数 学形式是什么？ 弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存 在三个主平面(Principal planes,其上τ≡0),其上 的应力(б1≥б2≥б3)叫该点的主应力(Principal stresses)。且这三个主平面相互垂直,围成一个叫 主单元体(Element of Principal Stresses)的微元体。 在§1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。过一点各方向 截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。但怎样描述一点的应力情 况——一点的应力状态? 当M点的微元体坐标Oxyz改变为Ox1y1z1时,有:

§9-1应力状恋的概念 IL. Principal Stress and Classification of Stresses State 根据一点的主应力大小我们通常将一点的应力状态 分为三类 1单向应力状态 Uniaxial Stress state 61≠0,62=63-0(拉)or61=62=0,63≠0(压) 如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点 2双向应力状态 Biaxial! Stress State(or平面应力状态 Plane stress state)61,62,03中有,且只有一个为0。 如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点 3,三向应力状态 Triaxial stress state(or空间应力状态 Spacial Stress State):01>62>63均不为0 如:火车车轮与钢轨的接触应力 其中1又叫简单应力状态 Simple stress state 2,3又叫复杂应力状态 Complex Stress state

§9-1 应力状态的概念 II. Principal Stress and Classification of Stresses State 根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态 分为三类: 1.单向应力状态Uniaxial Stress State б1≠0,б2=б3=0(拉) or б1=б2=0,б3≠0(压) 如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点 2.双向应力状态Biaxial Stress State(or 平面应力状态 Plane Stress State):б1,б2,б3中有,且只有一个为0。 如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点。 3 .三向应力状态Triaxial Stress State(or 空间应力状态 Spacial Stress State):б1>б2>б3均不为0。 如:火车车轮与钢轨的接触应力。 其中1又叫简单应力状态Simple Stress State 2,3又叫复杂应力状态Complex Stress State

§9-2平面应力状态分析(基本公式 Stress analysis of 在杆件中我们经常遇到的一点 平面应力状态。一般的空间应力状态(b) 力学中讨论。我们现在来研究平面应 的任意斜截面上的应力 如右图我们由微三棱柱bef来求 截面法线n与x轴夹角的任意斜截面 上的应力σa,τ与x,o,Tx(=τ), α的关系(其中α以由x轴正向到斜截面 外法线为逆时针转为正反之为负 (c) σ以受拉为正,反之为负。(与τx, τ,一样)以绕微元体内任一点为顺时 针转为正反之为负。 设ef面的面积为dA;则:eb面 -dacos a 了f 由F=0得: fb面一 dasin a

§9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State 如右图,我们由微三棱柱bef来求 截面法线n与x轴夹a角的任意斜截面 上的应力sa ,ta与sx,sy,tx(=-ty), a的关系(其中a以由x轴正向到斜截面 外法线为逆时针转为正,反之为负。 sa以受拉为正,反之为负。 ta(与tx , ty一样)以绕微元体内任一点为顺时 针转为正,反之为负。 设ef面的面积为dA;则:eb面—dAcos a fb面—dAsin a 在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或 平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性 力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直 的任意斜截面上的应力。  = 0 n 由 F 得:

§9-2平面应力状态分析基本公式) Stress analysis of Plane Stress State o,dA+(t dAcos a)sin a-(o dAcos a cosa+(t, dAsin a)cos a-(o, dAsin a sin a=0 t, da(T, dAcos a)cosa(o dAcos a)sin a+(t dAsin a )sin a+(o, dAsin a) cosa=0 由剪应 1 +cos 2a 1-c0s2a,方向为正,故 cos C= sin a= y 利用 2 sin a cos a= sin 2a 化简上两式,得 τ d acos 0xdA R+o 2-coS2a-t sin 2a oruAcosaq tdA sin 2a +t cos 2a 2 +a 如以2代入上两式,易得 Td asina 与α斜面垂直的另一斜面上的正应 力和剪应力。且有:7+可a O.+0 a-H d Asina

§9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State s + (t cosa)sin a − (s cosa)cosa + (|t | sin a)cosa − (s sin a)sin a = 0 a dA x dA x dA y dA y dA 由  = 0 得: t t − (tF cosa)cosa − (s cosa)sin a + (|t | sin a)sin a + (s sin a)cosa = 0 a dA x dA x dA y dA y dA a t a s s t a t a s s s s s a a sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − + + = 由剪应力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到图中tx方向为正,故|ty|=tx, a a a a a a a 2sin cos sin 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos2 2 = − = + = 利用 化简上两式,得: a  a = + 2 ' 如以 代入上两式,易得 与a斜面垂直的另一斜面上的正应 力和剪应力。且有: x y a s s s s t t  a  a a + = + = − + + 2 2

§9-2平面应力状态分析(应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 由基本公式易得 R +O O cos 20-t sin 2a 2 将此两式分别平方 然后对应相加,可得 sin 2a+t cos 2a 2 R+O 此式表示一圆的方程如图所示。 2 此圆叫相应单元体的应力圆 (or摩尔圆 Mohrs circle)。在Ooτ 坐标系中,其圆心在σ轴上。圆心 与坐标原点0的距离为:{G,+σ 2 其半径为 ( or-o) T 下面介绍应力圆的作法 1(o+0)

§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 下面介绍应力圆的作法: a t a s s t a t a s s s s s a a sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − = + − 2 2 2 2 2 2 x x y x y t s s t s s s a a +         − + =         + − 2 s x +s y 2 2 2 x x y r t s s +         − = 由基本公式易得: 将此两式分别平方, 然后对应相加,可得: 此式表示一圆的方程,如图所示。 此圆叫相应单元体的应力圆 (or摩尔圆Mohr’s Circle)。在Ost 坐标系中,其圆心在s轴上。圆心 与坐标原点O的距离为: 其半径为:

§9-2平面应力状态分析 Stress Analysis of Plane Stress State (a) 对图a所示平面应力状态微元体 (已知:o3oT时,作应力圆如下 I O MPa

§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 对图a所示平面应力状态微元体 (已知:sx ,sy ,tx时),作应力圆如下: t O s *** MPa sx sy C D1 D2 sI sII A1 A2 tx ty

§9-2平面应力状态分析P Stress Analysis of Plane Stress State ca) 作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元a 体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的on,tn如下:a Ifx/o口作DPdc,P为与D1P应力圆的 交点。叫极点。1τ 应力圆上 E(on,τ E点的坐标,即 为 o.t 20 O P(极点pole) MPa X

§9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元 体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的sa ,ta如下: t O s *** MPa sx sy C D1 D2 tx ty If x//s 作D1P//dc,P为与D1P应力圆的 交点。叫极点。 P(极点pole) E(sa ,ta ) a 2a 应力圆上 E点的坐标,即 为sa ,ta

§9-2平 Stress Analys (a) 下面证明前述图角 如图应有 OF=OC +CF=OC +CEcos( 2do +2a) naoI oC+Cecos 2a cos 2a-CEsin 2a sin 2a R+o cOs20-t.sn∠c=O 2 2 F 2a EF=CEsin( 2a +2a CEsin 2a cos 2a+CE cos 2a sin 2a I cos 2a 2- sIn 2a=Ta

§9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 下面证明前述图解法的正确性: 如图,应有: a s a a t s s s s a a a a a a − = − + + = = + − = + = + + cos 2 sin 2 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos(2 2 ) 0 0 0 x x y x y OC CE CE OF OC CF OC CE a a t s s t a a a a a a a = − = + = + = + sin 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin( 2 2 ) 0 0 0 x y x CE CE EF CE