第六章约束优化方法 概述 二.随机方向法 惩罚函数法 四.增广乘子法 2021/2/20
2021/2/20 1 第六章 约束优化方法 二. 随机方向法 三. 惩罚函数法 四. 增广乘子法 一. 概述
概述 机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化设计问 题,其数学模型为 minox)=f(Ixl,L,xn) st g(x)=8(x1,x2,L,xn)?0(1,2L,m) hk(x)=hk(x12x2,L,xn)=0G=12L,1) 求解约束优化问题的方法称为约束优化方法。 根据求解方式的不同,可分为 直接解法 间接解法
一 . 概述 • 机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问 题，其数学模型为 • 求解约束优化问题的方法称为约束优化方法。 • 根据求解方式的不同，可分为 – 直接解法 – 间接解法 ( ) ( ) 1 2 ( ) , , , 0 1, 2, , h x h x x x j l k k n = = = L L ( ) ( ) 1 2 . . ( ) , , , 0 1, 2, , j j n s t g x g x x x j m = ? L L ( ) ( ) min , , , 1 1 n f x f x x x = L
直接解法 通常适用于仅含不等式约束的问 题 它的基本思路是 k+1 xk+ arak k=1, 2, ak——步长 可行搜索方向 所谓可行搜索方向是指,当设计 点沿该方向作微量移动时,目标 函数值将下降,且不会越出可行 域 产生可行搜索方向的方法将由直 接解法中的各种算法决定 2021/2/20
2021/2/20 3 直接解法 • 通常适用于仅含不等式约束的问 题 • 它的基本思路是 • 所谓可行搜索方向是指，当设计 点沿该方向作微量移动时，目标 函数值将下降，且不会越出可行 域。 • 产生可行搜索方向的方法将由直 接解法中的各种算法决定。 1 1, 2, k k k k k k x x a d k a d + = + = L ——步长 ——可行搜索方向 x1 x2 o x 0 x *
直接解法的特点 由于整个求解过程在可行域内进行,因此,迭 代计算不论何时终止,都可以获得一个比初始 点好的设计点 ·全局最优解、局部最优解 要求可行域为有界的非空集,即在有界可行域 内存在满足全部约束条件的点,且目标函数有 定义 2021/2/20
2021/2/20 4 直接解法的特点 • 由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭 代计算不论何时终止，都可以获得一个比初始 点好的设计点 • 全局最优解、局部最优解 • 要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域 内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有 定义
间接解法 基本思路是原约束优化问题转化成为一个或一系列的 无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化 计算,从而间接地搜索到原约束问题的最优解 f(x),gi(x), hk() f(x,m,m)=f(x)+邋 八hnG(x)+mHD(x) 对f(x,m,m)进行无约束极小化计算 通过改变加权因子的大小,不断调整设计点,使其逐步逼近约束最优解 2021/2/20
2021/2/20 5 间接解法 • 基本思路是原约束优化问题转化成为一个或一系列的 无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化 计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解 1 2 1 2 1 1 ( , , ) ( ) [ ( )] [ ( )] m l j k j k f m m m m x f x G g x H h x = = = + + 邋 ( ), ( ), ( ) j k f x g x h x 1 2 对f m m ( , , ) x 进行无约束极小化计算 通过改变加权因子的大小，不断调整设计点，使其逐步逼近约束最优解
间接解法框图 开始 输入n,x01,2 构造(x,μ1,μ2) 求min中(x,1,2) 改变μ1,μ2的值 否 满足收敛条件 x0=x3 是 结束 2021/2/20 6
2021/2/20 6 间接解法框图 开始 输入n, x0 , 1, 2 构造(x, 1, 2 ) 求min (x, 1, 2 ) 满足收敛条件 结束 x 0=x* 改变1, 2的值 是 否
间接解法特点 )由于无约束优化方法的研究日趋成熟,已经研 究出不少有效的无约束最优化方法和程序,使得 间接解法有了可靠的基础。目前,这类算法的计 算效率和数值计算的稳定性也都有较大的提高 (2)可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。 (3)间接解法存在的主要问题是,选取加权因子较 为困难。加权因子选取不当,不但影响收敛速度 和计算精度,甚至会导致计算失败。 2021/2/20
2021/2/20 7 间接解法特点 • (1)由于无约束优化方法的研究日趋成熟，已经研 究出不少有效的无约束最优化方法和程序，使得 间接解法有了可靠的基础。目前，这类算法的计 算效率和数值计算的稳定性也都有较大的提高。 • (2)可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。 • (3)间接解法存在的主要问题是，选取加权因子较 为困难。加权因子选取不当，不但影响收敛速度 和计算精度，甚至会导致计算失败
求解约束优化设计问题的方法 直接解法 、复合形法、可行方向法等 间接解法 惩罚函数法和增广乘子法等 2021/2/20 8
2021/2/20 8 求解约束优化设计问题的方法 • 直接解法 – 随机方向法、复合形法、可行方向法等 • 间接解法 – 惩罚函数法和增广乘子法等
二.随机方向法 在可行域内,选择一个初始点x0 利用随机数的概率特征,产生若干个随机方向 从中选择一个能使目标函数值下降的最快的方向 作为可行搜索方向,记作d 初始点x0出发,沿d方向以一定的步长进行搜索, 得到新点x,新点应满足约束条件且f(x)<f(x0) 否 满足收敛条件 令x0=X 是 结束 2021/2/20
2021/2/20 9 二. 随机方向法 在可行域内，选择一个初始点x 0 利用随机数的概率特征，产生若干个随机方向 从中选择一个能使目标函数值下降的最快的方向 作为可行搜索方向，记作d 初始点x0出发，沿d方向以一定的步长进行搜索， 得到新点x，新点应满足约束条件且f(x)<f(x0) 令x 满足收敛条件 0＝x 结束 是 否 x1 x2 o x 0 x *
随机方向法的特 随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊 要求,程序设计简单,使用方便。 ·由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的 使目标函数值下降的最快的方向,加之步长还 可以灵活变动,所以此算法的收敛速度比较快。 它是求解小型机械优化问题的一种十分有效的 算法 2021/2/20
2021/2/20 10 随机方向法的特点 • 随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊 要求，程序设计简单，使用方便。 • 由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的 使目标函数值 下降的最快的方向，加之步长还 可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。 • 它是求解小型机械优化问题的一种十分有效的 算法