第七章关于优化设计中的几个问题 数学模型的改进处理 二.多目标问题的评价函数 2021/2/20
2021/2/20 1 第七章 关于优化设计中的几个问题 二.多目标问题的评价函数; 一.数学模型的改进处理;
数学模型的改进处理 目的:改善性态;加快收敛速度;提高计算稳定性 (1)设计变量应取相同的数量级 设计变量常存在量级差异 模数:1-10毫米; 齿轮齿数:12-100多; 杆长:几百一几千毫米 这在一维方法中选取初始进退距产生了困难 改进办法:将设计变量全部无量纲化和规格化 2021/2/20 产( 2
2021/2/20 2 一.数学模型的改进处理 目的: 改善性态; 加快收敛速度; 提高计算稳定性. (1)设计变量应取相同的数量级 设计变量常存在量级差异: 模 数: 1-10 毫米; 齿轮齿数: 12-100多; 杆 长: 几百—几千毫米. 这在一维方法中选取初始进退距产生了困难. 改进办法: 将设计变量全部无量纲化和规格化
①用初始点的各分量进行标度 若初始点x=[)x9)xo为优化问题的近似解,可 改用x=x,/x,=12,作设计变量 求出最优解后再转换成原设计变量:x=x2*x0),12n 新问题的初始点应为:X0=[1…. ②通过设计变量的变化范围进行标度 当有x2≤x1≤x812 作变换x di=1,2,,n 这样可使x2的值在(0-1)变化 其反变换公式为 i=12.n *也可通过调整单位来达到目的 2021/2/20 产(
2021/2/20 3 ①用初始点的各分量进行标度 若初始点 为优化问题的近似解, 可 改用 作设计变量. T n X x x x (0) (0) 2 (0) 1 (0) = ... i i i i n x x x 1,2,..., (0) / , = = 新问题的初始点应为: T X 1 1 ... 1 (0) = 求出最优解后再转换成原设计变量: i i i i n x x x 1,2,..., (0) , = = ②通过设计变量的变化范围进行标度 当有 i n g i i d i x x x 1,2,..., , = 作变换 d i n i g i d i i i x x x x x 1,2,..., , = − − = 这样可使 xi 的值在(0--1)变化. 其反变换公式为 i n d i d i g i i i x x x x x 1,2,..., ( ) , = = − + * 也可通过调整单位来达到目的
(2)各约束函数值应取相同的数量级 利用罚函数法解题时灵敏度高的先满足,灵敏度低的则很 难满足 ①利用系数来调整约束的数量级 n(X)≥0→k,81(X)≥0k为正数 ②将约束条件规格化 例1s[o]→>g(X)=1-;≥0 O 例2a≤x≤b(b>0)→2≤x≤1 g;(X)=1-x≥0 b 82(X)= b b 2021/2/20 产(
2021/2/20 4 (2)各约束函数值应取相同的数量级 利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足, 灵敏度低的则很 难满足. ①利用系数来调整约束的数量级 gu (X) 0 ku gu (X ) 0 ku 为正数 ②将约束条件规格化 例1 例2 ( 0) → 1 b x b a a x b b i i 1 ( ) =1− 0 b x g X i 2 ( ) = − 0 b a b x g X i 0 [ ] [ ]→ ( ) =1− g X
(3)尽量降低维数和减少约束条件 ①尽可能消去等式约束 ②去掉消极约束 ③通过变换减少约束 如a≤x≤b,(a,b>0 作代换x=a+(b-a)sn2y 可消去上述两约束 因为当x=a时,sn2y=0 当x=b时,sm2y=1 可自动满足 2021/2/20 产(
2021/2/20 5 (3) 尽量降低维数和减少约束条件 ①尽可能消去等式约束 ②去掉消极约束 ③通过变换减少约束 如 a x b,(a,b 0) 可消去上述两约束. 作代换 x a b a y 2 = + ( − )sin 可自动满足. 因为 ,sin 1 ,sin 0 2 2 = = = = x b y x a y 当 时 当 时
(4)目标函数的尺度变换 对于二次函数,若 Hess ion矩阵的主对角线元素 的大小很悬殊,则其等值线是一族扁平的椭圆.利用梯 度法和共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索 方向便有较大的偏离 办法:通过变换,使 Hess ion矩阵的主对角线元素 变为相同值 2021/2/20 产( 6
2021/2/20 6 (4)目标函数的尺度变换 对于二次函数, 若Hession矩阵的主对角线元素 的大小很悬殊, 则其等值线是一族扁平的椭圆. 利用梯 度法和共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索 方向便有较大的偏离. 办法:通过变换,使Hession矩阵的主对角线元素 变为相同值
假定F(X)=ax2+bx2+cx2+akx+ex2+f Hession矩阵的主对角线元素 OF(X F-F(X a 2c 作变换x= 2c a2F ax 可将 Hession矩阵的主对角线元素全部化为1 *因要用到二阶导数,较麻烦 2021/2/20 产(
2021/2/20 7 Hession矩阵的主对角线元素 * 因要用到二阶导数, 较麻烦. 假定 F X = ax + bx x + cx + dx + ex + f 1 2 2 1 2 2 2 1 ( ) 2 , ( ) 2 1 2 a x F X = c x F X 2 ( ) 2 2 2 = 作变换 , ˆ 2 ˆ 2 1 2 1 1 1 x F x a x x = = 2 2 2 2 2 2 ˆ 2 ˆ x F x c x x = = 可将Hession矩阵的主对角线元素全部化为1
二、多目标问题的评价函数 常要求实现:成本、重量、体积↓ 利润、产量、承载能力↑ 若兼顾多方面的要求,则成为多目标问题。 (1)主要目标法 在m个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余 全部转化为约束条件 (2)统一目标法 权系数 ①线性加权和法F(X)=∑mf(X 式中,w=WnW2 校正权系数(反映量级差异) 本征权系数(反映相对重要程度) 2021/2/20 产看(H5)
2021/2/20 8 二.多目标问题的评价函数 常要求实现: 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力 若兼顾多方面的要求，则成为多目标问题。 (1)主要目标法 ①线性加权和法 在m个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余 全部转化为约束条件. (2)统一目标法 = = m i F X wi f i X 1 ( ) ( ) ----权系数 式中, wi = wi1 wi2 ----校正权系数(反映量级差异) ----本征权系数(反映相对重要程度)
②分数法(乘除法) 先将单目标分成两类: a.越小越好的单目标一成本、重量、体积等; b.越大越好的单目标—利润、产量、承载能力等; 然后如下建立目标函数: 越小越好 ∑mf(X F(X ∑m2f(x 越大越好 2021/2/20 产(
2021/2/20 9 ②分数法(乘除法) 先将单目标分成两类: a. 越小越好的单目标---成本、重量、体积等; b. 越大越好的单目标---利润、产量、承载能力等; 然后如下建立目标函数: = = = 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) m j j m i i w f X w f X F X 越小越好 越大越好
③平方加权和法 若已知各单目标相应有理想的希望值:f,f2,…,,通常如下 建立误差函数 F(X)=∑m[/(X-f0 权系数由各单目标允许的宽容值[△门决定:-s[4 显然,[A门大,不重要,反之则重要因而可将权系数取为: 故有F(X)=∑( f(r [△门 ④极大极小法 对于误差问题,可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标 函数 (X)=max(x)=(=2m 2021/2/20 产(
2021/2/20 10 ③平方加权和法 若已知各单目标相应有理想的希望值: , 通常如下 建立误差函数: 0 0 2 0 1 , ,..., m f f f 2 1 0 ( ) [ ( ) ] = = − m i i i i F X w f X f [ ] 0 i i i 权系数由各单目标允许的宽容值 决定 f − f f : [ ] i f [ ] i 显然, f 大,不重要,反之则重要.因而可将权系数取为: 2 [ ] 1 = i i f w 故有 2 1 0 ) [ ] ( ) ( ) ( = − = m i i i i f f X f F X ④极大极小法 对于误差问题,可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标 函数: F X f i X f i i 1,2,..., m 0 ( ) max ( ) , = − =