《大学物理实验》课程教学资源（实验讲义）第1章 误差理论与有效数字

第1章误差理论与有效数字1.1测量与误差在物理实验中，总要进行大量的测量工作。测量包含两个必要的过程，一是对许多物理量进行检测，二是对测量的数据进行处理。在实验前，必须对所观测的对象进行分析研究，以确定实验方法和选择具有适当精度的测量仪器。在实验后，对测得的数据加以整理、归纳，用一定的方式(列表或图解)表示出它们之间的相互关系，并对实验结果给予合理的解释，做出正确判断。以上这些过程都与误差理论密切相关。例如，计算中取几位有效数字，作图时选多大的比例值等。若处理数据不当，就会影响测量结果的准确度，因此不能随心所欲。否则，实验中精细的测量都是徒劳的。1.1.1 测量的基本概念1.测量的含义任何实验都离不开测量，没有测量就没有科学。在一定条件下，任何物理量都必然具有某一客观真实的数据。所谓测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测物理量是单位多少倍的过程。这个倍数叫做测量的读数，读数加上单位记录下来就是数据。任何物理量都是有单位的。因此，在物理实验中测量物理量记录数据时，一定要记录单位。在完成测量时，必须明确测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度，通常把这四点称为测量的四要素。2.测量的分类按测量方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量；按测量条件的不同，测量又分为等精度测量和不等精度测量。（1）、直接测量和间接测量直接测量是把一个量与同类量直接进行比较以确定待测量的量值。一般基本量的测量都属于此类，如用米尺测量物体的长度，用天平称铁块的质量，用秒表测量单摆的周期等。仪表上所标明的刻度或从显示装置上直接读取的值，都是直接测量的量值。在物理实验中，能够直接测量的量毕竞是少数，大多数是根据直接测量所得数据在一定的函数关系下，通过运算得出所需要的结果。例如，直接测出单摆的长度1和单摆的周期T，应用公式T=2元/l/g，以求重力加速度g，这种测量称为间接测量。(2)、等精度测量和不等精度测量对某一量N进行多次测量，得n个数值：N,N2,N3,"",Nk，如果每次测量都是在相同的条件下进行的，则没有理由认为所得的n个值中，某一个值比另一个值要测得准确些。在这种情况下，所进行的一系列测量称为等精度测量。所谓相同条件的含义，是指同一个人，用同一台仪器，每次测量的周围条件都相同（如测量时环境、气温、照明情况等未变动）。这种情况就可认为各测量值的精确程度是相同的。对某一量N，进行了n次测量，得到n个值：Ni,N2,N3,"",Nk，如果每次测量的条件不同，那么这些值的精确程度不能认为是相同的。在这种情况下，所进行的一系列测量叫做不等精度测量。例如，同一实验者用精度不同的3种天平称量某一物体质量m，9

9 第 1 章 误差理论与有效数字 1.1 测量与误差 在物理实验中，总要进行大量的测量工作。测量包含两个必要的过程，一是对许多物理量进 行检测，二是对测量的数据进行处理。在实验前，必须对所观测的对象进行分析研究，以确定实 验方法和选择具有适当精度的测量仪器。在实验后，对测得的数据加以整理、归纳，用一定的方 式(列表或图解)表示出它们之间的相互关系，并对实验结果给予合理的解释，做出正确判断。 以上这些过程都与误差理论密切相关。例如，计算中取几位有效数字，作图时选多大的比例 值等。若处理数据不当，就会影响测量结果的准确度，因此不能随心所欲。否则，实验中精细的 测量都是徒劳的。 1.1.1 测量的基本概念 1.测量的含义 任何实验都离不开测量，没有测量就没有科学。在一定条件下，任何物理量都必然具有某一 客观真实的数据。所谓测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测物 理量是单位多少倍的过程。这个倍数叫做测量的读数，读数加上单位记录下来就是数据。任何物 理量都是有单位的。因此，在物理实验中测量物理量记录数据时，一定要记录单位。 在完成测量时，必须明确测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度，通常把这四点称为 测量的四要素。 2.测量的分类 按测量方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量；按测量条件的不同，测量又分为等精 度测量和不等精度测量。 ⑴、直接测量和间接测量 直接测量是把一个量与同类量直接进行比较以确定待测量的量值。一般基本量的测量都属于 此类，如用米尺测量物体的长度，用天平称铁块的质量，用秒表测量单摆的周期等。仪表上所标 明的刻度或从显示装置上直接读取的值，都是直接测量的量值。 在物理实验中，能够直接测量的量毕竟是少数，大多数是根据直接测量所得数据在一定的函 数关系下，通过运算得出所需要的结果。例如，直接测出单摆的长度 l 和单摆的周期 T ，应用公式 T l g = 2 /  ，以求重力加速度 g ，这种测量称为间接测量。 ⑵、等精度测量和不等精度测量 对某一量 N 进行多次测量，得 n 个数值： , , , , , N1 N2 N3  Nk 如果每次测量都是在相同的条 件下进行的，则没有理由认为所得的 n 个值中，某一个值比另一个值要测得准确些。在这种情况 下，所进行的一系列测量称为等精度测量。所谓相同条件的含义，是指同一个人，用同一台仪 器，每次测量的周围条件都相同(如测量时环境、气温、照明情况等未变动)。这种情况就可认为各 测量值的精确程度是相同的。对某一量 N ，进行了 n 次测量，得到 n 个值： , , , , , N1 N2 N3  Nk 如果每次测量的条件不同，那么这些值的精确程度不能认为是相同的。在这种情况下，所进行的 一系列测量叫做不等精度测量。例如，同一实验者用精度不同的 3 种天平称量某一物体质量 m

得到3个值m、m2ms，或者用3种不同的方法测量某一物质的密度p，得3个值piP2、P3，这都是不等精度测量。大学物理实验中一般都采用等精度测量。1.1.2误差的基本概念1.1.2.1真值任何一个物理量在某一时刻和某一位置或某一状态下，都存在着一个客观值，这个客观值称为真值。1.1.2.2绝对误差与相对误差1.绝对误差测量当然希望得到真值，但测量总是在一定的环境（温度、湿度等）和仪器条件下进行的，由于测量条件（环境、温度、湿度等）的变化以及仪器精度的不同，因而在任何测量中，测量结果N，与待测量客观存在的真值N之间总存在着一定的差异。测量值N，与真值N的差值叫做测量误差△N简称误差。即A'N（误差）=N（测量值）-N（真值）(1-1)由于是测量值对真值的绝对偏离，通常把它称为绝对误差。显然，绝对误差除大小外，还有正负（方向）。2.相对误差绝对误差的大小能够反映对同一被测量的测量效果的好坏。例如，对一长度为1m左右的物体进行测量，绝对误差为5cm的就比为10cm的测量效果好。但对不同的被测量就很难确定了，如测量长为1000m的物体的绝对误差是1m，测量长为100cm的物体的绝对误差为1cm，用绝对误差就不能确定了。为此，引入相对误差的概念。如果相对误差用E来表示。其定义式为E-A'N×100%(1-2)N由相对误差的大小就可以比较两个测量结果的好与坏，上述例中的第一个测量相对误差是0.1%，第二个测量相对误差是1%，显然第一个测量比第二个测量效果好。任何测量都不可避免地存在误差，所以，一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个部分。1.1.2.3.误差的分类误差按其性质和产生原因可分为三大类：系统误差、随机误差和粗大误差。1.系统误差系统误差的特征是：在同一条件下，多次测量同一个量时，误差的大小和方向保持恒定，或在条件改变时，误差的大小和方向按一定规律变化。增加测量次数并不能减少这种误差对测量结果的影响。(1)、系统误差的主要来源①仪器误差这是由于测量工具或仪器本身的缺陷而产生的，如天平臂不等长，码标称质量不准确，尺子刻度偏大，表盘刻度不均匀等。②方法误差这是由于实验方法或理论不完善而导致的。如采用伏安法测电阻时，电表的内阻产生的误差，采用单摆周期公式T=2元/l/g测量周期时，摆角引起的误差，这些都是方法误差10

10 得到 3 个值 m1、 m2 、 m3 ，或者用 3 种不同的方法测量某一物质的密度  ，得 3 个值 1 、  2、  3 ，这都是不等精度测量。大学物理实验中一般都采用等精度测量。 1.1.2 误差的基本概念 1.1.2.1 真值 任何一个物理量在某一时刻和某一位置或某一状态下，都存在着一个客观值，这个客观值称为 真值。 1.1.2.2 绝对误差与相对误差 1.绝对误差 测量当然希望得到真值，但测量总是在一定的环境（温度、湿度等)和仪器条件下进行的，由 于测量条件（环境、温度、湿度等）的变化以及仪器精度的不同，因而在任何测量中，测量结果 Ni 与待测量客观存在的真值 N 之间总存在着一定的差异。测量值 Ni 与真值 N 的差值叫做测量误 差 'N 简称误差。即 'N（误差) = N（测量值） i − N（真值） (1-1) 由于是测量值对真值的绝对偏离，通常把它称为绝对误差。显然，绝对误差除大小外，还有正 负（方向）。 2.相对误差 绝对误差的大小能够反映对同一被测量的测量效果的好坏。例如，对一长度为 1m 左右的物体 进行测量，绝对误差为 5cm 的就比为 10cm 的测量效果好。但对不同的被测量就很难确定了，如 测量长为 1000m 的物体的绝对误差是 1m，测量长为 100cm 的物体的绝对误差为 1cm，用绝对误 差就不能确定了。为此，引入相对误差的概念。如果相对误差用 E 来表示。其定义式为 100% '   = N N E （1-2） 由相对误差的大小就可以比较两个测量结果的好与坏，上述例中的第一个测量相对误差是 0.1%，第二个测量相对误差是 1%，显然第一个测量比第二个测量效果好。 任何测量都不可避免地存在误差，所以，一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个部 分。 1.1.2.3 .误差的分类 误差按其性质和产生原因可分为三大类：系统误差、随机误差和粗大误差。 1.系统误差 系统误差的特征是：在同一条件下，多次测量同一个量时，误差的大小和方向保持恒定，或 在条件改变时，误差的大小和方向按一定规律变化。增加测量次数并不能减少这种误差对测量结 果的影响。 ⑴、系统误差的主要来源 ①仪器误差 这是由于测量工具或仪器本身的缺陷而产生的，如天平臂不等长,砝码标称质量不准确，尺子 刻度偏大，表盘刻度不均匀等。 ②方法误差 这是由于实验方法或理论不完善而导致的。如采用伏安法测电阻时，电表的内阻产生的误 差，采用单摆周期公式 T l g = 2 /  测量周期时，摆角引起的误差，这些都是方法误差

③环境误差这是由于周围环境与实验要求不一致而引起的误差。如测量时实际温度与所要求的温度有偏差，测量过程中温度、湿度、气压等按一定规律变化的因素引起的误差。④人身误差这是由于测量者本身的生理特点或固有习惯所引起的误差，例如某些人在进行动态测量记录某一信号时有滞后的倾向等。系统误差一般都有较明显的原因，因此可以采用适当的措施加以限制或消除它对测量结果的影响。系统误差是测量误差的重要组成部分，所以发现系统误差，弄清其产生原因，进而消除它对测量结果的影响则是物理实验的一项重要任务。(2)、发现系统误差的方法提高测量精度，首要问题是发现系统误差，然而在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误差。下面简单介绍几种适用于发现某些系统误差的常用方法。①实验对比法。这种方法主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量。例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表明至少有一种方法存在系统误差。还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改变实验条件对比法、改变实验操作人员对比法等，测量时可根据具体实验情况选用。②理论分析法。主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件是否满足，实验所依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果这些要求没有满足，则实验必有系统误差。③数据分析法。主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法等方法。(3)、系统误差的减小和消除在实际测量中，如果判断出有系统误差存在，就必须进一步分析可能产生系统误差的因素，设法减小和消除系统误差。由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面简单介绍几种减小和消除系统误差的方法和途径。①从产生系统误差的根源上消除。从产生系统误差的根源上消除误差是最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。可以从下面几个方面采取措施从根源上消除或减小误差：：采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式所要求的实验条件，选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格保证仪器设备所要求的测量条件，采用多人合作，重复实验的方法，②引入修正项消除系统误差。通过预先对仪器设备将要产生的系统误差进行分析计算，找出误差规律，从而找出修正公式或修正值，对测量结果进行修正。③采用能消除系统误差的方法进行测量。对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。采用什么方法要根据具体的实验情况及实验者的经验来决定。无论采用哪种方法都不可能完全将系统误差消除，只要将系统误差减小到测量误差要求允许的范围内，或者系统误差对测量结果的影响小到可以忽略不计，就可以认为系统误差已被消除。2.随机误差（偶然误差）在同一条件下多次测量同一物理量时，每次出现的误差时大时小，时正时负，没有确定的规律，但就总体来说服从一定的统计规律，这种误差称为随机误差。11

11 ③环境误差 这是由于周围环境与实验要求不一致而引起的误差。如测量时实际温度与所要求的温度有偏 差，测量过程中温度、湿度、气压等按一定规律变化的因素引起的误差。 ④人身误差 这是由于测量者本身的生理特点或固有习惯所引起的误差，例如某些人在进行动态测量记录 某一信号时有滞后的倾向等。 系统误差一般都有较明显的原因，因此可以采用适当的措施加以限制或消除它对测量结果的 影响。系统误差是测量误差的重要组成部分，所以发现系统误差，弄清其产生原因，进而消除它 对测量结果的影响则是物理实验的一项重要任务。 ⑵、发现系统误差的方法 提高测量精度，首要问题是发现系统误差，然而在测量过程中形成系统误差的因素是复杂 的，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进 行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误 差。下面简单介绍几种适用于发现某些系统误差的常用方法。 ①实验对比法。 这种方法主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，进行不同 条件的测量。例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表明至少有一种方法存在系 统误差。还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改变实验条件对比法、改变实验操作人员对比 法等，测量时可根据具体实验情况选用。 ②理论分析法。主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件是 否满足，实验所依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果这些要求没有满足， 则实验必有系统误差。 ③数据分析法。主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、残 余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法等方法。 ⑶、系统误差的减小和消除 在实际测量中，如果判断出有系统误差存在，就必须进一步分析可能产生系统误差的因素， 设法减小和消除系统误差。由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有 一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面简单介绍几种减小和消除系统误差的方法和途 径。 ①从产生系统误差的根源上消除。从产生系统误差的根源上消除误差是最根本的方法，通过 对实验过程中的各个环节进行认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。可以从下面几个方 面采取措施从根源上消除或减小误差：:采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足 理论公式所要求的实验条件，选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格保证仪器设备所 要求的测量条件，采用多人合作，重复实验的方法。 ②引入修正项消除系统误差。通过预先对仪器设备将要产生的系统误差进行分析计算，找出 误差规律，从而找出修正公式或修正值，对测量结果进行修正。 ③采用能消除系统误差的方法进行测量。对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采 用交换法、抵消法、补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。采用什么 方法要根据具体的实验情况及实验者的经验来决定。 无论采用哪种方法都不可能完全将系统误差消除，只要将系统误差减小到测量误差要求允许 的范围内，或者系统误差对测量结果的影响小到可以忽略不计，就可以认为系统误差已被消除。 2. 随机误差(偶然误差) 在同一条件下多次测量同一物理量时，每次出现的误差时大时小，时正时负，没有确定的规 律，但就总体来说服从一定的统计规律，这种误差称为随机误差

(1)、随机误差产生的原因这种误差是由于人的感官灵敏度和仪器精密程度的限制，周围环境的干扰以及伴随着测量而来的不可预料的随机因素的影响而造成的。(2)、随机误差的特征随机误差的特征是单个测量具有随机性，不可预知，多次测量呈现一定的统计规律。当测量次数很大时，可以认为近似服从正态分布（高斯分布），如图4f(AM)1-1所示。横坐标△N表示随机误差；纵坐标f(△M)表示误差出现的概率密度函数。由图可知，随机误差具有下面的一些特性性。①单峰性。测量值与真值相差越小，其可能性越大：与真值相差很大，其可能性较小。AN②对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性0是相等的。图1-1偶然误差的正态分布③有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。④抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。3.粗大误差由于测量时，观测者不正确的使用仪器、粗心大意观察错误或记错数据而引起的不正确的结果。这种误差称为粗大误差。它实际上是一种测量错误，相应数据应当予以剔除。1.1.3直接测量的误差估计由于在测量过程中不可避免地存在有随机误差，因而对某一物理量进行多次测量的结果不会是完全相同的。设对某一物理量在相同条件下进行重复测量，获得了一组数据：N,，N，，"，N，。一般地讲，这n个数据是彼此不同的，如果把它们全部写出来作为测量结果当然是不方便的，用其中任一个测量值作为测量结果显然也是不全面的，那么应该用怎样一个数来表达这一结果才合适呢？1.用算术平均值表示真值(1)、算术平均值原理在相同条件下对某物理量进行n次等精度重复测量，每次的测量值分别为N,，N2，N，，真值为N，则任意一次测量的误差△'N,=N-N。对此式求和得：ZAN,=Z(N,-N)-2ZN,-nN1=li=li=1IZAN,=ZN-N两边同除以n，得：ni=lnlN-!ZN令：ni=l12

12 ⑴、随机误差产生的原因 这种误差是由于人的感官灵敏度和仪器精密程度的限制，周围环境的干扰以及伴随着测量而 来的不可预料的随机因素的影响而造成的。 ⑵、随机误差的特征 随机误差的特征是单个测量具有随机性，不可预知，多次测量呈现一定的统计规律。当测量 次数很大时，可以认为近似服从正态分布（高斯分布），如图 1-1 所示。横坐标 N 表示随机误差；纵坐标 f (N) 表示误差 出现的概率密度函数。由图可知，随机误差具有下面的一些特 性性。 ①单峰性。测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真 值相差很大，其可能性较小。 ②对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性 是相等的。 ③有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过 一定的限度。 ④抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。 3.粗大误差 由于测量时，观测者不正确的使用仪器、粗心大意观察错误或记错数据而引起的不正确的结 果。这种误差称为粗大误差。它实际上是一种测量错误，相应数据应当予以剔除。 1.1.3 直接测量的误差估计 由于在测量过程中不可避免地存在有随机误差，因而对某一物理量进行多次测量的结果不会 是完全相同的。设对某一物理量在相同条件下进行重复测量，获得了一组数据： N1 ， N2 ，.， Nn 。一般地讲，这 n 个数据是彼此不同的，如果把它们全部写出来作为测量结果当然是不方便 的，用其中任一个测量值作为测量结果显然也是不全面的，那么应该用怎样一个数来表达这一结 果才合适呢？ 1 .用算术平均值表示真值 ⑴、算术平均值原理 在相同条件下对某物理量进行 n 次等精度重复测量，每次的测量值分别为 N1 ， N2 ，.， Nn ，真值为 N ，则任意一次测量的误差 'Ni = Ni − N 。对此式求和得： 1 1 1 ' ( ) n n n i i i i i i N N N N nN = = =     = − = − 两边同除以 n ，得： N N n N n n i i n i  i =  − =1 =1 1 ' 1 令： = = n i Ni n N 1 1 图 1-1 偶然误差的正态分布

1得CA'N=N-N(1-3)n=A"N,→0。因而当n足够大时，算术平均值又根据随机误差的性质，当n一→>o时，n台N将趋近于真值N，我们可以用算术平均值作为多次测量的最近真值，即多次测量的最佳值。(2)、算术平均值在实验中的指导意义根据算术平均值原理，在多次重复测量时，由于偶然误差的抵偿性，使得算术平均值趋近于真值，即算术平均值的误差趋近于零。所以增加测量次数可以减小测量的随机误差，这对于提高测量结果的可靠性是有利的。因此，在实验中如有可能，都应当进行多次测量。但是并不是测量次数越多越好，因为增加测量次数必定要延长测量时间，这将给保持稳定的测量条件增加困难。同时，增加测量次数也会给测量者造成疲劳，这又可能引起较大的观测误差。所以实际测量次数不必过多，一般在科学研究中，取10至20次：而在我们的物理实验中由于时间有限可以取5到10次。2.测量列的标准误差（方差）测量列是指在相同的条件下对同一个物理量进行多次重复测量所得测量值的集合。由于随机误差的存在，测量列中各个测量数据相互稍有差异，标准误差就是对这组数据可靠性的一种评价。（1)、测量列标准误差（方差）的概念测量列标准误差的定义为：测量列中各测量值误差的平方和的平均值的平方根。EZ(N,-N)(1-4)SN=/Vni=l由于被测量的真值N是未知数，各测量值的误差也都无法求出，因此不可能按式（1-4）计算标准误差。(2)、测量列标准误差（方差）的计算公式根据算术平均值原理，我们知道，测量列中测量值的算术平均值N是该测量列表示的待测量真值的最佳值。因此，在实验中我们用算术平均值代表真值，这样我们就可以得到测量列中各个测量值与算术平均值的差，称之为偏差。即AN, =N,-N(1-5)如果用偏差△N,来计算测量列的方差，理论分析表明，偏差△N,与误差△'N,的关系为：Z(AN,) ="Z(AN)(1-6)n-1将式（1-6）代入（1-4）式，就得到用偏差表示的标准误差的计算公式：--(1-7)(3)、测量列标准误差（方差）的统计意义标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。13

13 得 N N N n n i  i = − =1 ' 1 （1-3） 又根据随机误差的性质，当 n → 时， ' 0 1 1  → = n i Ni n 。因而当 n 足够大时，算术平均值 N 将趋近于真值 N ，我们可以用算术平均值作为多次测量的最近真值，即多次测量的最佳值。 ⑵、算术平均值在实验中的指导意义 根据算术平均值原理，在多次重复测量时，由于偶然误差的抵偿性，使得算术平均值趋近于 真值，即算术平均值的误差趋近于零。所以增加测量次数可以减小测量的随机误差，这对于提高 测量结果的可靠性是有利的。因此，在实验中如有可能，都应当进行多次测量。但是并不是测量 次数越多越好，因为增加测量次数必定要延长测量时间，这将给保持稳定的测量条件增加困难。 同时，增加测量次数也会给测量者造成疲劳，这又可能引起较大的观测误差。所以实际测量次数 不必过多，一般在科学研究中，取 10 至 20 次；而在我们的物理实验中由于时间有限可以取 5 到 10 次。 2. 测量列的标准误差（方差） 测量列是指在相同的条件下对同一个物理量进行多次重复测量所得测量值的集合。由于随机 误差的存在，测量列中各个测量数据相互稍有差异，标准误差就是对这组数据可靠性的一种评 价。 ⑴、测量列标准误差（方差）的概念 测量列标准误差的定义为：测量列中各测量值误差的平方和的平均值的平方根。 = = − n i N Ni N n S 1 2 ( ) 1 （1-4） 由于被测量的真值 N 是未知数，各测量值的误差也都无法求出，因此不可能按式（1-4）计算 标准误差。 ⑵、测量列标准误差（方差）的计算公式 根据算术平均值原理，我们知道，测量列中测量值的算术平均值 N 是该测量列表示的待测量 真值的最佳值。因此，在实验中我们用算术平均值代表真值，这样我们就可以得到测量列中各个 测量值与算术平均值的差，称之为偏差。即 Ni = Ni − N （1-5） 如果用偏差 Ni 来计算测量列的方差，理论分析表明，偏差 Ni 与误差 Ni ' 的关系为： 2 2 ( ) ( ) 1 i n N N n  =   −   （1-6） 将式（1-6）代入（1-4）式，就得到用偏差表示的标准误差的计算公式： = − − = n i N Ni N n S 1 2 ( ) 1 1 (1-7) ⑶、测量列标准误差（方差）的统计意义 标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计

标准误差小，测量的可靠性就大一些。反之，则测量不大可靠。那么，标准误差和各测量值的实际误差之间有什么关系呢？按照随机误差的高斯理论，测量列的标准误差为S时，此测量列中任一测量值的误差有68.3%的可能性落在[-SN，+S]区间之内。我们把区间[-S，+S]称为置信区间，其相应的概率P(S)=68.3%称为置信概率。(4)、算术平均值的标准误差（方差）根据算术平均值原理，当测量次数无限增多时，其算术平均值就无限接近真值。然而，实际测量次数总是有限的，因而有限次测量的算术平均值与真值之间总是有一定的偏离的。换句话说，有限次测量的算术平均值也是有误差的。例如我们通过测量获得了一组数据，并得出一个算术平均值作为测量的结果。那么以后别人，甚至我们自己再按完全相同的情况重复这种测量时，由于随机误差的影响，不一定能得出完全相同的平均值。这种现象就是算术平均值误差的具体表现。理论分析表明，一组n个测量值的测量列标准误差S与其算术平均值标准误差S之间的关系是：SN(1-8)SVn用偏差表示则为：1Z(N, -N)?(1-9)S=Vn(n-1)台它表示在N-S，N+S，范围内包含真值N的概率为68.3%。由式（1-8）可知，随着测量次数增加S减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减小随机误差。但由于S与n成反比，S的下降比n的增长速率慢得多，n>10后S变化极慢，所以实际测量次数一般取5～20次。但n≤10时，要获得n>10时同样的测量置信概率，S~应乘一因子。4元21例1-1：用单摆测重力加速度公式为g对摆长7测量10次，测得值如下表：T223456A8910测量次序1l/cm100.299.899.9100.2100.0100.199.9100.099.9100.1对周期T测量5次，测得值如下表：123A5测量次序T/s2.0012.0021.9982.0031.997求1和T的算术平均值I、T，算术平均偏差N、△T，某一次测量结果的I、T的标准偏差14

14 标准误差小，测量的可靠性就大一些。反之，则测量不大可靠。那么，标准误差和各测量值的实 际误差之间有什么关系呢？按照随机误差的高斯理论，测量列的标准误差为 N S 时，此测量列中任 一测量值的误差有 68.3%的可能性落在[- N S ，+ N S ]区间之内。 我们把区间[- N S ，+ N S ]称为置信区间，其相应的概率 P( N S )=68.3%称为置信概率。 ⑷、算术平均值的标准误差（方差） 根据算术平均值原理，当测量次数无限增多时，其算术平均值就无限接近真值。然而，实际 测量次数总是有限的，因而有限次测量的算术平均值与真值之间总是有一定的偏离的。换句话 说，有限次测量的算术平均值也是有误差的。例如我们通过测量获得了一组数据，并得出一个算 术平均值作为测量的结果。那么以后别人，甚至我们自己再按完全相同的情况重复这种测量时， 由于随机误差的影响，不一定能得出完全相同的平均值。这种现象就是算术平均值误差的具体表 现。 理论分析表明，一组 n 个测量值的测量列标准误差 N S 与其算术平均值标准误差 N S 之间的关 系是： n S S N N = （1-8） 用偏差表示则为： = − − = n i N Ni N n n S 1 2 ( ) ( 1) 1 （1-9） 它表示在 , N S N S N N   − +   范围内包含真值 N 的概率为 68.3%。 由式（1-8）可知，随着测量次数增加 N S 减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减小随 机误差。但由于 N S 与 n 成反比， N S 的下降比 n 的增长速率慢得多， n 10 后 N S 变化极慢，所 以实际测量次数一般取 5 ～20 次。但 n 10 时，要获得 n 10 时同样的测量置信概率， N S 应乘 一因子。 例 1-1：用单摆测重力加速度公式为 2 2 4 T l g  = ，对摆长 l 测量 10 次，测得值如下表： 测量次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l/cm 100.2 99.8 99.9 100.2 100.0 100.1 99.9 100.0 99.9 100.1 对周期 T 测量 5 次，测得值如下表： 测量次序 1 2 3 4 5 T/s 2.001 2.002 1.998 2.003 1.997 求 l 和 T 的算术平均值 l、T ，算术平均偏差 l、T ，某一次测量结果的 l、T 的标准偏差

S、St，算术平均值i、T的标准偏差S,S。i=(100.2 +99.8 + 99.9 +100.2 +100.0 +100.1+99.9 +100.0+ 99.9 +100.1)cm解10100.01cmT(2.001+2.002+1.998+2.003+1.997)s~2.0002sS101N=(0.2+0.2+0.1+0.2+0.0+0.1+0.1+0.1+0.0+0.1+0.1)cm-710台10=0.11cm15AT=T-T=(0.001+0.002+0.002+0.003+0.003)s=0.0022s5台510(,- 7)2oC中0.17=cm=0.137cmS, =910- 1oa(l,- T)227° 10 6i=1ST:s=0.00260s5- 140.14S,S, =cm=0.0443cm3.1610ST-0.0026Su=s=0.00116s52.241.1.4.仪器误差1仪器的最大误差测量是用仪器或量具进行的。有的仪器比较粗糙或灵敏度较低：有的仪器比较精确或灵敏度较高，但任何仪器都存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差，用符号△夜表示。仪器精度的级别通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，检定比较后给出的。下面列出常见仪器的最大误差。表 1-1物理实验教学中正确使用仪器时仪器的最大误差仪仪器备注米尺0.5mm最小刻度Imm游标卡尺取卡尺分度值螺旋测微计0.004mm量程在0~50mm物理天平0.05g感量0.1g15

15 Sl、ST ，算术平均值 l、T 的标准偏差 l T S 、S 。 解 : 100.01cm (100.2 99.8 99.9 100.2 100.0 100.1 99.9 100.0 99.9 100.1)cm 10 1  l = + + + + + + + + + T (2.001 2.002 1.998 2.003 1.997)s 2.0002s 5 1 = + + + +  10 1 1 1 (0.2 0.2 0.1 0.2 0.0 0.1 0.1 0.1 0.0 0.1 0.1)cm 10 10 i i l l l =  = − = + + + + + + + + + +  = 0.11cm T T T s s i i (0.001 0.002 0.002 0.003 0.003) 0.0022 5 1 5 1 5 1  =  − = + + + + = = 10 2 1 ( ) 0.17cm 0.137cm 10 1 9 i i l l l S = - = = = - å 5 2 6 1 ( ) 27 10 0.00260 5 1 4 i i T l l S s s - = - ´ = = = - å 0.14 cm 0.0443cm 10 3.16 l l S S = = = 0.0026 s 0.00116s 5 2.24 T T S S = = = 1.1.4.仪器误差 1 仪器的最大误差 测量是用仪器或量具进行的。有的仪器比较粗糙或灵敏度较低；有的仪器比较精确或灵敏度 较高，但任何仪器都存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大 误差，用符号 仪 表示。 仪器精度的级别通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，检定比较后给出 的。下面列出常见仪器的最大误差。 表 1-1 物理实验教学中正确使用仪器时仪器的最大误差 仪器 仪 备注 米尺 0.5mm 最小刻度 1mm 游标卡尺 取卡尺分度值 螺旋测微计 0.004mm 量程在 0 ～50mm 物理天平 0.05g 感量 0.1g

电表(AK)%A量程，K准确度等级数字式仪表仪器最小读数R为示值，α是直流电阻箱准确度等级，b是与准直流电阻箱(aR+ bm)%确度等级有关的系数，m是所使用的电阻箱的旋钮数其它仪器由实验室给出2.仪器的标准误差仪器的标准误差与仪器的最大误差有如下关系A仪S=J3(1-10)(1)、仪器误差密度函数呈均匀分布时4仪S=(1-11)(2)、仪器误差密度函数呈正态分布时1.1.5间接测量的误差传递直接测量所得的结果都是有误差的，由直接测量值经过运算而得到的间接测量值也有误差。估算间接测量误差的方法叫做误差传递。1.误差的一般传递公式设N = f(A,B,C...H)(1-12)若各直接测量值的绝对误差分别为△A、△B、AC、△H，则间接测量值N的绝对误差为△W，其计算方法如下：将式(1-12)求全微分，得afafafafdN=dB+dA+-dc+:-dH(1-13)aAaBacaH由于△A、AB、AC、、AH分别相对于A、B、C、.、H是一个很小量，将式(1-13)中dA、dB、dC、...、dH用AA、AB、AC、...、AH代替，则afafafafAN=AB+-AHAA+AC+...(1-14)aAaBacaH由于具体误差的符号并不知道，为谨慎起见，只能作最不利考虑，认为各项误差将累加，这样可能导致误差估算偏大，因此将式（1-14)中各项分别取绝对值相加。即aflafafafA+1△B+AHAN-AC-(1-15)aAaB[acaH相对误差为ANANE=(1-16)Nf(A,B,C,..,H)式(1-13)和(1-14)称为误差传递的一般公式，或称为误差的算术合成。2.标准误差的传递公式若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差S、S.、Sc、、S，等，则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即绝对误差为16

16 电表 ( )% AK A 量程, K 准确度等级 数字式仪表 仪器最小读数 直流电阻箱 (aR bm + )% R 为示值， a 是直流电阻箱准确度等级， b 是与准 确度等级有关的系数， m 是所使用的电阻箱的旋钮 数 其它仪器 由实验室给出 2.仪器的标准误差 .仪器的标准误差与仪器的最大误差有如下关系 ⑴、仪器误差密度函数呈均匀分布时 S= 3 仪 (1-10) ⑵、仪器误差密度函数呈正态分布时 3 仪 s = （1-11） 1.1.5 间接测量的误差传递 直接测量所得的结果都是有误差的，由直接测量值经过运算而得到的间接测量值也有误差。 估算间接测量误差的方法叫做误差传递。 1.误差的一般传递公式 设 N f A B C H =  ( , , ) (1-12) 若各直接测量值的绝对误差分别为      A B C H 、 、 、 、 ，则间接测量值 N 的绝对误差为 N ，其计算方法如下： 将式(1-12)求全微分，得 H H f C C f B B f A A f dN d d d d   +  +   +   +   = (1-13) 由于      A B C H 、 、 、 、 分别相对于 A B C H 、 、 、、 是一个很小量，将式(1-13)中 d d d A B C H 、d 、 、、 用      A B C H 、 、 、 、 代替，则 H H f C C f B B f A A f N     +  +    +    +    = (1-14) 由于具体误差的符号并不知道，为谨慎起见，只能作最不利考虑，认为各项误差将累加，这 样可能导致误差估算偏大，因此将式(1-14)中各项分别取绝对值相加。即 H H f C C f B B f A A f N     +  +    +    +    = (1-15) 相对误差为 f (A B C H) N N N E ， ， ，，  =  = (1-16) 式(1-13)和(1-14)称为误差传递的一般公式，或称为误差的算术合成。 2.标准误差的传递公式 若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差 A S 、 B S 、 C S 、.、 H S 等，则间接测量值的 误差估算需要用误差的方根合成，即绝对误差为

afafforSNSS(1-17)2aaBacCA相对误差为SNSNE=(1-18)Nf(A,B,C,..,H)式(1-17)和式(1-18)称为标准误差的传递公式。表1-1列出了一些常用函数的标准误差传递公式。误差传递公式不仅可以用来计算间接测量值N的误差，而且还可以用来分析各直接测量值的误差对最后结果影响的大小。对于那些影响大的直接测量值，预先考虑采取措施，以减小它们的影响，从而为合理选用仪器和实验方法提供依据。表1-2常用函数的标准误差传递公式函数表达式标准误差传递公式S=/S?+s?N=x±yN=x-y或xySw=ks.w_N=kxNxSN.SN=xn=n.-N+S-I.S.N=/xNnxN=XPy9- p() +α()+r()zrLS% =|cosx|SxN= sinxSw=SN= Inxx实验不确定度及测量结果的表示1.2在科学、工程、工农业生产和商业贸易等各个领域都需要提供测量结果及其测量结果可信任度的数据。以往人们习惯于用误差来表示测量结果的可信任度。由于误差是测量结果与被测量（真）值之差，而被测量（真）值大多数情况下是未知量，从而使得这种表示方法受到质疑。1993年国家标准化组织（ISO）在国际计量局、国际电工委员会、国际理论物理与应用物理联合会、国际理论化学与应用化学联合会、国际临床化学联合会等7个国际组织的支持下出版了《测17

17 2 2 2 2          +  +         +         +        N = A B C S H H f S C f S B f S A f S (1-17) 相对误差为 f (A, B,C, , H) S N S E N N  = = (1-18) 式(1-17)和式(1-18)称为标准误差的传递公式。表 1-1 列出了一些常用函数的标准误差传递公 式。 误差传递公式不仅可以用来计算间接测量值 N 的误差，而且还可以用来分析各直接测量值的 误差对最后结果影响的大小。对于那些影响大的直接测量值，预先考虑采取措施，以减小它们的 影响，从而为合理选用仪器和实验方法提供依据。 表 1-2 常用函数的标准误差传递公式 函数表达式 标准误差传递公式 N = x  y 2 2 SN = Sx + Sy y x N = x  y或 2 2          +      = y S x S N SN x y N = kx x S N S S k S N x N = x； = n N = x x S n N SN x =  n N = x x S N SN x =  n 1 r p q z x y N = 2 2 z 2 2 y 2 2 x z S r y S q x S p       +          +      = N SN N = sinx Sx SN = cosx N = lnx x Sx SN = 1.2 实验不确定度及测量结果的表示 在科学、工程、工农业生产和商业贸易等各个领域都需要提供测量结果及其测量结果可信任 度的数据。以往人们习惯于用误差来表示测量结果的可信任度。由于误差是测量结果与被测量 （真）值之差，而被测量（真）值大多数情况下是未知量，从而使得这种表示方法受到质疑。 1993 年国家标准化组织（ISO）在国际计量局、国际电工委员会、国际理论物理与应用物理联合 会、国际理论化学与应用化学联合会、国际临床化学联合会等 7 个国际组织的支持下出版了《测

量不确定度表示法则》，建议用“不确定度”（Uncertainty）一词，取代误差(Error)来表示实验结果，用以评定实验测量结果的质量，表征被测量真值在某个量值的范围。每个测量结果总存在着不确定度，作为一个完整的测量结果不仅要标明其量值大小，还要标出测量不确定度，以表明该测量结果的可信赖程度。1.2.1不确定度的分类不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度是被测量列能用统计方法估算出来的不确定度分量，用u，表示：B类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不确定度分量，用u表示。1.2.2直接测量不确定度的简化估算1.测量次数n≤10时，A类不确定度分量的估算我们知道测量次数较多时，偶然误差呈现正态分布。可用S-来估算测量结果的标准误差，因此，在不确定度表示中，可以用它作为A类分量。对有限次测量，由误差理论可知，要得到与无限次测量相同的置信概率，A类分量应在S前乘一因子tp(n-1)，即A类不确定度为[-(,-)u^= tp(n-1) Ss =tp(n-1) n(n-1)2(1-19)因子tp(n-1)的值，在置信概率P及测量次数n确定后，可从专门的数学表中查到。在置信概率P=0.683时，相应的部分n与tp(n-1)的数值，如下表所示。表1-3P=0.683时不同测量次数下tp(n-1)的值7测量次数234568910234156789自由度v=n-11.111.091.071.06to.683(n- 1)1.841.321.201.141.082．B类不确定度分量的简化估算B类不确定度原则上应考虑影响量的各种可能值，作为基础训练，我们简化处理，主要考虑仪器标准误差。由1.1.4小节可知，仪器误差的概率密度函数遵循正态分布时，其“等价标准误差”S=△仅/3（P=0.683），此时B类分量为：仪(P=0.683)(1-20)UB =-318

18 量不确定度表示法则》，建议用“不确定度”(Uncertainty)一词，取代误差(Error)来表示实验结果， 用以评定实验测量结果的质量，表征被测量真值在某个量值的范围。每个测量结果总存在着不确 定度，作为一个完整的测量结果不仅要标明其量值大小，还要标出测量不确定度，以表明该测量 结果的可信赖程度。 1.2.1 不确定度的分类 不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为 A 类不确定度和 B 类不确定度。 A 类不确定度 是被测量列能用统计方法估算出来的不确定度分量，用 A u 表示； B 类不确定度则是不能用统计方 法估算的所有不确定度分量，用 B u 表示。 1.2.2 直接测量不确定度的简化估算 1. 测量次数 n 10 时， A 类不确定度分量的估算 我们知道测量次数较多时，偶然误差呈现正态分布。可用 N S 来估算测量结果的标准误差，因 此，在不确定度表示中，可以用它作为 A 类分量。 对有限次测量，由误差理论可知，要得到与无限次测量相同的置信概率， A 类分量应在 N S 前乘一因子 tp(n −1) ，即 A 类不确定度为 ( ) = − − = −  = −  n i A N Ni N n n u tp n S tp n 1 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) (1-19) 因子 tp(n −1) 的值，在置信概率 P 及测量次数 n 确定后，可从专门的数学表中查到。在置信 概率 P = 0.683 时，相应的部分 n 与 tp(n −1) 的数值，如下表所示。 表 1-3 P = 0.683 时不同测量次数下 tp(n −1) 的值 测量次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 自由度  = n −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( 1) t 0.683 n − 1.84 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 2. B 类不确定度分量的简化估算 B 类不确定度原则上应考虑影响量的各种可能值，作为基础训练，我们简化处理，主要考虑 仪器标准误差。 由 1.1.4 小节可知，仪器误差的概率密度函数遵循正态分布时，其“等价标准误差” S = 仪 / 3 （ P = 0.683 ），此时 B 类分量为： 3 仪 uB = ( P = 0.683 ) (1-20)