第2章实验数据的处理方法科学实验的目的是为了寻找事物内在的规律性、检验理论的正确性，只有对实验过程中采集的大量数据资料进行正确的处理，才能使之成为有用的结论。在理解了前一章中测量、误差、有效数字和实验的不确定度以后，对测量过程中所记录的实验数据怎样进行正确的处理？实验结果怎样给以科学表达呢？本章主要介绍实验数据处理的基本程序和数据处理的基本方法。2.1数据处理的基本程序2.1.1直接测量数据处理的基本程序直接测量可分为多次测量和单次测量两种，数据处理的程序如流程图2-1和2-2。记录仪器的A仪1Y计算记录测量值X，的有效数字ug=0.683A（均匀分布1u-u/（正态分布）重复测量得,X…+Zx计算Xn2(3, -3)S.n(n-1)查表得a=-sL实验结果X=x土u（单位）u=yu+ug注意：末位对齐有效数字取位：E,-(p=0.683)家u首位数字≥3，取一位u首位数字<3，取两位图2-1直接多次测量数据处理流程图2.1.2间接测量数据处理的基本程序间接测量量是由直接测量量按照理论上的函数关系运算所得出的结果，间接测量的不确定度也按上一章中所述的标准差传递规律进行计算，数据处理程序如流程图2-1-3。例题2-1测量某长度L共6次，测量值分别为29.28、29.26、29.24、29.24、29.26、29.24，单位mm，仪器差限△仪=0.02mm，试计算测量结果。解：本次测量是直接多次测量，按流程图2-1所示，计算步骤如下：L=Z4=29.253mm626
26 第 2 章 实验数据的处理方法 科学实验的目的是为了寻找事物内在的规律性、检验理论的正确性，只有对实验过程中采集 的大量数据资料进行正确的处理，才能使之成为有用的结论。在理解了前一章中测量、误差、有 效数字和实验的不确定度以后，对测量过程中所记录的实验数据怎样进行正确的处理？实验结果 怎样给以科学表达呢？本章主要介绍实验数据处理的基本程序和数据处理的基本方法。 2.1 数据处理的基本程序 2.1.1 直接测量数据处理的基本程序 直接测量可分为多次测量和单次测量两种，数据处理的程序如流程图 2-1 和 2-2。 2.1.2 间接测量数据处理的基本程序 间接测量量是由直接测量量按照理论上的函数关系运算所得出的结果，间接测量的不确定度 也按上一章中所述的标准差传递规律进行计算，数据处理程序如流程图 2-1-3。 例题 2-1 测量某长度 L 共 6 次，测量值分别为 29.28、 29.26、 29.24、 29.24、 29.26、 29.24, 单位 mm，仪器差限 仪 = 0.02mm ，试计算测量结果。 解：本次测量是直接多次测量，按流程图 2-1 所示，计算步骤如下： 29.253mm 6 Li L = = 记录仪器的 记录测量值 的有效数字 重复测量得 、 . 计算 有效数字取位： u 首位数字 3，取一位 u 首位数字<3，取两位 实验结果 （单位） 注意：末位对齐 （p=0.683） 图 2-1 直接多次测量数据处理流程图
平均值的标准差为Z(L,-L)(29.2829.253)? +(29.26-29.253)*+.s(L):=0.00667mm6(61)n(n-l)查表得ta.683(n-1)=1.11后，A类不确定度为ua = to.6s3 (n-1)·s(L)=1.11×0.00667= 0.0074mmB类不确定度ug=0.683.仪=0.683×0.02=0.014mm合成不确定度为u(L)=u2+u=0.016mm（首位非零数字小于3，取2位有效数字）测量结果：L=L±u(L)=(29.253±0.016)mm(P=0.683)u(L)E.=0.05%相对误差：L函数关系N=(x,y-)1计算各直接量结果单次测量得x（有效数字）x+u,y土u."★计算=(,.)记录仪器的Λ计算N的不确定度u,=0得=g=%(x+u()"+..us=仅u-=Vxd1有效数字取位：u首位数字≥3,取一位u首位数字≥3，取一位u首位数字<3,取两位u首位数字<3，取两位1Y结果表示：N=N+U（单位）测量结果：X=x±u注意：末位对齐注意：末位对齐N相对误差；E-"相对误差：E17..x图2-3间接测量数据处理流程图图2-2直接单次测量数据处理流程图27
27 平均值的标准差为 2 2 2 ( ) (29.28 29.253) (29.26 29.253) ( ) 0.00667mm ( 1) 6(6 1) L L i s L n n − − + − + = = = − − 查表得 t 0.683 (n − 1) = 1.11 后，A 类不确定度为 0.683 u t n s L A = − = = ( 1) ( ) 1.11 0.00667 0.0074mm B 类不确定度 uB = = = 0.683 0 683 0 02 0 014mm 仪 。 。 。 合成不确定度为 2 2 ( ) 0.016mm A B u L u u = + = （首位非零数字小于 3，取 2 位有效数字） 测量结果： L L u L = = ( ) (29.253 0.016)mm （P=0.683） 相对误差： 0.05 ( ) = = L u L Er ％ 记录仪器的 单次测量得 （有效数字） 得 有效数字取位： u 首位数字 3，取一位 u 首位数字<3，取两位 测量结果： 注意：末位对齐 相对误差： 图 2-2 直接单次测量数据处理流程图 计算 N 的不确定度 u 首位数字 3,取一位 u 首位数字<3,取两位 计算各直接量结果 . 函数关系 计算 结果表示： （单位） 注意：末位对齐 相对误差： 图 2-3 间接测量数据处理流程图
2.2数据处理的基本方法2.2.1列表法通过实验测量获得实验数据后，对数据进行合理的记录是一步十分重要的工作。记录数据时，一般要排列成表格形式。列表格记录数据既有条不紊，又简明要。既有助于表示出物理量之间的对应关系，也有助于检验和发现实验中的问题。列表记录并处理数据是一种良好的科学的工作习惯。数据在列表处理时，应该遵循下列原则（1）、各栏自均应标明名称及单位，若名称用自定义的符号，则需加以说明。(2)、列入表中的数据应主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间计算结果可列入表中。(3)、栏目的顺序应分别注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全、有条理。(4)、对数据表格应提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格（型号、量程、准确度级别或最大允许误差等），相关环境参数等。列表法是最基本的数据处理方法，一个好的数据处理表格往往就是一份简明的实验报告。下面以使用螺旋测微器测量钢球直径D为例，列表记录和处理数据如表2-1。表2-1钢球直径D仪器：螺旋测微器（一级）0--25mmA仪=0.004mm初读数/mm测量序次末读数/mm直径D/mmD/mms(D)/mmI0. 00415. 00915. 00520. 00415.00815.004315.00350.000510.00515. 00715. 00240. 00515.00715. 00250.00415.00815. 00460. 00515. 00915. 004由表2-1中数据可知：u=tp(n-1)·s(D)查表知t,(n-1)=1.11代入上式得：ua=1.11x0.00051=0.000566mm又ug=0.683仅=0.683x0.004=0.0027mm合成不确定度为u(D）=u+u=0.0028mm（首位非零数字小于3，取两位）最终结果表达为D=D±u(D)=(15.0035±0.0028)mm（p=0.683)相对误差28
28 2.2 数据处理的基本方法 2.2.1 列表法 通过实验测量获得实验数据后，对数据进行合理的记录是一步十分重要的工作。记录数据时， 一般要排列成表格形式。列表格记录数据既有条不紊，又简明扼要。既有助于表示出物理量之间 的对应关系，也有助于检验和发现实验中的问题。列表记录并处理数据是一种良好的科学的工作 习惯。 数据在列表处理时，应该遵循下列原则 ⑴、各栏目均应标明名称及单位，若名称用自定义的符号，则需加以说明。 ⑵、列入表中的数据应主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间计算结果可列入表中。 ⑶、栏目的顺序应分别注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全、有条理。 ⑷、对数据表格应提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格(型号、量程、 准确度级别或最大允许误差等)，相关环境参数等。 列表法是最基本的数据处理方法，一个好的数据处理表格往往就是一份简明的实验报告。下 面以使用螺旋测微器测量钢球直径 D 为例，列表记录和处理数据如表 2-1。 表 2-1 钢球直径 D 仪器： 螺旋测微器(一级) 0-25mm = 仪 0.004mm 测量序次 初读数/mm 末读数/mm 直径 D/mm D / mm s D( ) / mm 1 0.004 15.009 15.005 15.0035 0.00051 2 0.004 15.008 15.004 3 0.005 15.007 15.002 4 0.005 15.007 15.002 5 0.004 15.008 15.004 6 0.005 15.009 15.004 由表 2-1 中数据可知： u t (n 1) s(D) A P = − 查表知 t (n − 1) = 1.11 P 代入上式得： uA = = 1.11 0.00051 0.000566mm 又 uB = = = 0.683 0 683 0 004 0 0027mm 仪 。 。 。 合成不确定度为 2 2 ( ) 0.0028mm A B u D u u = + = （首位非零数字小于 3，取两位） 最终结果表达为 D D u D = = ( ) (15.0035 0.0028)mm （ p = 0.683 ） 相对误差
u(D)E.:0.02%D运算过程中，平均值D和平均值的标准差s(D)应多留一位，但D的最终结果与不确定度u(D)的末位对齐，以“末位对齐”原则来确定D的有效数字位数。例2-2用天平、游标卡尺测量圆柱体的密度实验中，直径和高度采用多次测量，质量采用单次测量，实验数据记录如表：2-2表 2-2圆柱体密度天平：游标卡尺：4卡尺=0.02mm△天平=0.05g测量序号圆柱高度H/mm圆柱直径D/mm圆柱质量m/g140.0219.96240.0419.98340.0220.0299.15440. 0020.02539.9820.00平均值40.01219.996标准差s(x)0. 01020. 0117要求：（1)、分别写出圆柱高度、直径、质量的测量结果(2)、计算密度并正确表达实验结果解：（1)、按照流程图2-1和图2-2数据处理程序，圆柱高度：H=40.012mm高度H测量的A类不确定度u,(H)=to683(5-1)-s(H)=1.14×0.0102=0.0116mmB类不确定度ug(H)=0.683.△卡尺=0.014mm合成不确定度u(H)= Ju, +u =0.019mm圆柱高度的测量结果H=H±u(H)=(40.012±0.019)mm同理，直径的测量结果D= D±u(D)=(19.996±0.020)mm质量是单次测量获得的，其不确定度为：u(m)=△天平=0.05g测量结果为29
29 0.02 ( ) = = D u D Er ％ 运算过程中，平均值 D 和平均值的标准差 s(D) 应多留一位，但 D 的最终结果与不确定度 u(D) 的末位对齐，以“末位对齐”原则来确定 D 的有效数字位数。 例 2-2 用天平、游标卡尺测量圆柱体的密度实验中，直径和高度采用多次测量，质量采用单 次测量，实验数据记录如表:2-2 表 2-2 圆柱体密度 天平: = 天平 0 05g 。 游标卡尺： = 卡尺 0 02mm 。 测量序号 圆柱高度 H/mm 圆柱直径 D/mm 圆柱质量 m/g 1 40.02 19.96 99.15 2 40.04 19.98 3 40.02 20.02 4 40.00 20.02 5 39.98 20.00 平均值 40.012 19.996 标准差 s(x) 0.0102 0.0117 要求：⑴、分别写出圆柱高度、直径、质量的测量结果 ⑵、计算密度并正确表达实验结果 解：⑴、按照流程图 2-1 和图 2-2 数据处理程序，圆柱高度： H = 40.012mm 高度 H 测量的 A 类不确定度 0.683 u H t s H A ( ) (5 1) ( ) 1.14 0.0102 0.0116mm = − = = B 类不确定度 u H B ( ) 0.683 0 014mm = = 卡尺 。 合成不确定度 2 2 ( ) 0.019mm A B u H u u = + = 圆柱高度的测量结果 H H u H = = ( ) (40.012 0.019)mm 同理，直径的测量结果 D D u D = = ( ) (19.996 0.020)mm 质量是单次测量获得的，其不确定度为： u m( ) 0.05g = = 天平 测量结果为
m=m±u(m)=(99.15±0.05)g(2)、按流程图2-3所示，间接测量数据密度p的计算如下：密度的平均值4m4×99.15P:XDH3.14×19.9962×40.012=0.0078949g/mm2=7.8949x10*kg/m密度的相对不确定度u(p)(u(m) +(() +(2"D)?HDpm0.050.0190.0202+(2)2=0.0021219.99699.1540.012密度测量的不确定度u(p)=u(p)p=0.00192×7.8949×103=0.017×10kg/mp实验结果：p=p±u(p)=(7.895±0.017)×10"kg/m(P=0.683)相对误差：E, - "P)% = 0.2%p通过上例看出，在数据处理过程应注意以下几点：（1)、数据运算一定遵循“有效数字运算法则”(2)、数据的运算中，应注意各物理量的单位和单位的换算。(3）、各测量量的合成不确定度的取舍，应依照首位非零数字大于等于或小于3而定位。(4)、实验结果的表达要做到“末位对齐”，并标明置信概率。（5）、要给出相对误差，以便评价测量值准确性。相对误差一般保留1位有效数字2.2.2、图示法和图解法物理规律以及物理量之间的函数关系，既可以用解析函数关系表示，也可以借助图线表示。实验产生的大量数据间的相互关系是不太直观的，仅仅通过对这些数据的观察是难以把握其中的科学内涵的。然而，通过手动作图（或算机作图）能有效地帮助人们形象地看到这些数据间的关系：从而更有效地进行处理分析与推理，这正是数据的可视化。它把形象思维和逻辑思维有机地联系在一起，从而达到启迪思维、促进科学创新的目的。工程师和科学家一般对定量的图线最感兴趣，因为定量图线能形象地、直观地表明两个变量之间的关系。特别是对那些尚未找到适当解析函数表达式的实验结果，可以从所画出的图线中去寻找相应的经验公式与可能的规律和特点。利用作图分析物理量间的关系有下列优点：(1)、把数据间的函数关系形象直观化：(2)、有利于发现个别不服从规律的数据：30
30 m m u m = = ( ) (99.15 0.05)g ⑵、按流程图 2-3 所示，间接测量数据密度 的计算如下： 密度的平均值 3.14 19.996 40.012 4 4 99.15 2 2 = = D H m 3 3 3 = 0.0078949g / mm = 7.894910 kg / m 密度的相对不确定度 2 2 2 ) ( ) ) (2 ( ) ) ( ( ) ( ( ) D u D H u H m u u m = + + 0.05 0.019 0.020 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) 0.00212 99.15 40.012 19.996 = + + = 密度测量的不确定度 .3 3 3 ( ) ( ) 0.00192 7.8949 10 0.017 10 / u u kg m = = = 实验结果： 3 3 = = u kg m ( ) (7.895 0.017) 10 / （P=0.683） 相对误差： 0 0 0 0 0.2 ( ) = = u Er 通过上例看出，在数据处理过程应注意以下几点： ⑴、数据运算一定遵循“有效数字运算法则”。 ⑵、数据的运算中，应注意各物理量的单位和单位的换算。 ⑶、各测量量的合成不确定度的取舍，应依照首位非零数字大于等于或小于 3 而定位。 ⑷、实验结果的表达要做到“末位对齐”，并标明置信概率。 ⑸、要给出相对误差，以便评价测量值准确性。相对误差一般保留 1 位有效数字 2.2.2、图示法和图解法 物理规律以及物理量之间的函数关系，既可以用解析函数关系表示，也可以借助图线表示。 实验产生的大量数据间的相互关系是不太直观的，仅仅通过对这些数据的观察是难以把握其中的 科学内涵的。然而，通过手动作图(或算机作图)能有效地帮助人们形象地看到这些数据间的关系， 从而更有效地进行处理分析与推理，这正是数据的可视化。它把形象思维和逻辑思维有机地联系 在一起，从而达到启迪思维、促进科学创新的目的。工程师和科学家一般对定量的图线最感兴趣， 因为定量图线能形象地、直观地表明两个变量之间的关系。特别是对那些尚未找到适当解析函数 表达式的实验结果，可以从所画出的图线中去寻找相应的经验公式与可能的规律和特点。 利用作图分析物理量间的关系有下列优点： ⑴、把数据间的函数关系形象直观化； ⑵、有利于发现个别不服从规律的数据；
(3)、通过描点作图具有取平均的效果；(4)、从曲线图较容易地得出某些实验结果。2.2.2.1.图示法在研究两个物理量之间的关系时，把实验测得的一系列相应的数据及变化情况用曲线或直线表示出来，这就是图示法。在图示法中，作图的基本步骤包括：①图纸的选择：②坐标的分度和标记；③实验数据点的标出：④作出与实验数据点基本拟合的图线；③注解和说明等。(1）、图纸的选择：图纸通常有线性直角坐标纸（毫米方格纸）、单对数坐标纸、双对数坐标纸、极坐标纸等，应根据具体实验情况选取合适的坐标纸。由于图线中直线最易绘制，也便于使用，所以在已知函数关系的情况下作两变量之间的关系图线时，最好通过变量代换将某种原来不是线性函数关系的曲线改为线性函数关系的直线，这种方法称为曲线改直。例如：①y=ax+b，y与x为线性函数关系：11②y=a=+b，若令u==.则得y=au+b，y与u为线性函数关系；u③y=ax，取对数得logy=loga+blogx，logy与logx成线性函数关系y=ae，取自然对数得lny=lna+bx，Iny与x为线性函数关系。对于①选用线性直角坐标纸就可得直线：对于②以y和u为坐标，在线性直角坐标纸上也是一条直线；对于③和④在选用双<或单》对数坐标纸后，不必对x、y作对数计算，就能得一条直线。如果只有线性直角坐标纸，而又要作③和④两类函数关系的直线，则应将相应的测量值取对数后再作图，只是在对实验数据取对数，既不能损失有效数据的位数，也不能增加有效数据的位数。(2)、坐标的分度和标记：绘制图线时，应以自变量作横坐标，因变量作纵坐标，并标明各坐标轴所代表的物理量（可用相应的符号表示）及单位，坐标的分度要根据实验数据的有效数字和对结果的要求来确定。原则上，数据中的可靠数字在图中也应是可靠的，而最后一位的估读数在图中亦是估计的，不能因作图而引进额外的误差。在坐标轴上每隔一定间距应均匀地标出分度值，标记用有效数字位数应与原始数据的有效数字位数相同，单位应与坐标轴的单位一致。坐标的分度应以不用计算便能确定各点的坐标为原则，为便于读图，通常只用1、2、5、10等进行分度，而不用3、7等进行分度。My40403020F3510Fy30%0.0a025.050.075.0100.0x75.0100.0x(a)不正确(b）正确图2-4坐标的标记、分度和标点为了充分利用坐标纸，并使图线布局合理，坐标分度值不一定从零开始，可以用低于原始数据的某一整数作为坐标分度的起点，用高于测量所得最高值的某一整数作为终点，这样图线就能31
31 ⑶、通过描点作图具有取平均的效果； ⑷、从曲线图较容易地得出某些实验结果。 2.2.2.1．图示法 在研究两个物理量之间的关系时，把实验测得的一系列相应的数据及变化情况用曲线或直线 表示出来，这就是图示法。在图示法中，作图的基本步骤包括：①图纸的选择；②坐标的分度和 标记；③实验数据点的标出；④作出与实验数据点基本拟合的图线；⑤注解和说明等。 (1)、图纸的选择：图纸通常有线性直角坐标纸(毫米方格纸)、单对数坐标纸、双对数坐标纸、 极坐标纸等，应根据具体实验情况选取合适的坐标纸。由于图线中直线最易绘制，也便于使用， 所以在已知函数关系的情况下作两变量之间的关系图线时，最好通过变量代换将某种原来不是线 性函数关系的曲线改为线性函数关系的直线，这种方法称为曲线改直。例如： ① y = ax + b，y 与 x 为线性函数关系； ② b x y = a + 1 ，若令 u u 1 = ．则得 y = au + b， y 与 u 为线性函数关系； ③ b y = ax ，取对数得 log y = log a + blog x ，log y 与 log x 成线性函数关系 ④ bx y = ae ，取自然对数得 ln y = lna + bx ，ln y 与 x 为线性函数关系。 对于①选用线性直角坐标纸就可得直线；对于②以 y 和 u 为坐标，在线性直角坐标纸上也是 一条直线；对于③和④在选用双<或单》对数坐标纸后，不必对 x、y 作对数计算，就能得一条直 线。如果只有线性直角坐标纸，而又要作③和④两类函数关系的直线，则应将相应的测量值取对 数后再作图，只是在对实验数据取对数，既不能损失有效数据的位数，也不能增加有效数据的位 数。 (2)、坐标的分度和标记：绘制图线时，应以自变量作横坐标，因变量作纵坐标，并标明各坐 标轴所代表的物理量(可用相应的符号表示)及单位，坐标的分度要根据实验数据的有效数字和对 结果的要求来确定。原则上，数据中的可靠数字在图中也应是可靠的，而最后一位的估读数在图 中亦是估计的，不能因作图而引进额外的误差。 在坐标轴上每隔一定间距应均匀地标出分度值，标记用有效数字位数应与原始数据的有效数 字位数相同，单位应与坐标轴的单位一致。坐标的分度应以不用计算便能确定各点的坐标为原则， 为便于读图，通常只用 1、2、5、10 等进行分度，而不用 3、7 等进行分度。 为了充分利用坐标纸，并使图线布局合理，坐标分度值不一定从零开始，可以用低于原始数 据的某一整数作为坐标分度的起点，用高于测量所得最高值的某一整数作为终点，这样图线就能 图 2-4 坐标的标记、分度和标点
充满所选用的整个图纸（如图2-2-1所示）。(3）、标点：标点又称实验数据点，根据测量数据，用“+”或“”记号标出各数据点在坐标纸上的位置，“+”记号的交叉点或“”的圆心应是测y量点的坐标位置，“+”中的横竖线段大小或“”中的半30.0径大小表示测量点的误差范周。欲在同一图纸上画不同图线，标点应该用不同符号，20.0以便区分（如图2-5所示）。同时应在不同的曲线旁加上文字标注，以便识别。也可用不同颜色对不同的曲线加以10.0-区分。（4）、作实验点的连接线：作实验点连线时必须使用工0.003.004.005.006.00x具（最好用透明的直尺、三角板、曲线板等），所绘的曲线或直线，应光滑匀称，而且要尽可能使所绘的图线通过较图2-5不同实验线的区别多的测量点，但不能连成折线：对那些严重偏离曲线或直线的个别点，应检查一下标点是否有误，若有错误，在连线时可舍去不考虑，其他不在图线上的点，应使它们均匀地分布在图线的两侧.（如图2-6所示）对于仪器仪表的校正曲线时，连接线应将相邻的两点连成直线，使整个校正曲线呈折线形式*2.002.0041.001.00+0.000.001.00*0.50)0.000.501.000.00(b) 正推(8)不正确图2-6连线方法（如图2-7所示）。(5)、注解与说明：在图纸的明显部位应写清楚图的名称，注明作者、作图日期和必要的简短的说明或计算公式、计算结果等。2.2.2.2图解法利用已作好的实验图线定量求出待测量或经验公式称电流表校正曲线为图解法，当图线为直线时，采用此方法尤为方便。直线的图解法一般是先求出斜率和截距，再写出完整的线性方程，其步骤为：(1)、选点。为求直线的斜率，通常用两点法。选点一般不选实验点，而是在所画的直线上选取两点A(x、y）和7B(x2、J2），如图2-8所示，两点尽量分开些，但不能超出图2-7电表校正曲线实验数据范围，以保证所选点的数据具有实验依据，(2、求斜率：由直线方程y=ax+b，将两点数值代入，可得到直线的斜率a=2一片。X2-X(3)、求截距：若坐标起点为零，可将直线用虚线延长，得到直线与纵坐标的交点即可得截距：32
32 充满所选用的整个图纸（如图 2-2-1`所示)。 (3)、标点：标点又称实验数据点，根据测量数据，用“+”或“⊙”记号标出各数据点在坐 标纸上的位置，“+”记号的交叉点或“⊙”的圆心应是测 量点的坐标位置，“+”中的横竖线段大小或“⊙”中的半 径大小表示测量点的误差范周。 欲在同一图纸上画不同图线，标点应该用不同符号， 以便区分（如图 2-5 所示）。同时应在不同的曲线旁加上 文字标注，以便识别。也可用不同颜色对不同的曲线加以 区分。 (4)、作实验点的连接线：作实验点连线时必须使用工 具(最好用透明的直尺、三角板、曲线板等)，所绘的曲线 或直线，应光滑匀称，而且要尽可能使所绘的图线通过较 多的测量点，但不能连成折线．对那些严重偏离曲线或直 线的个别点，应检查一下标点是否有误，若有错误，在连线时可舍去不考虑，其他不在图线上的 点，应使它们均匀地分布在图线的两侧．(如图 2-6 所示) 对于仪器仪表的校正曲线时，连接线应将相邻的两点连成直线，使整个校正曲线呈折线形式 （如图 2-7 所示）。 ⑸、注解与说明：在图纸的明显部位应写清楚图的名称，注明作者、作图日期和必要的简短 的说明或计算公式、计算结果等。 2.2.2.2 图解法 利用已作好的实验图线定量求出待测量或经验公式称 为图解法，当图线为直线时，采用此方法尤为方便。直线的 图解法一般是先求出斜率和截距，再写出完整的线性方程， 其步骤为： ⑴、选点。为求直线的斜率，通常用两点法。选点一般 不选实验点，而是在所画的直线上选取两点 ( ) 1 1 A x 、y 和 ( ) 2 2 B x 、y ，如图 2-8 所示，两点尽量分开些，但不能超出 实验数据范围，以保证所选点的数据具有实验依据， ⑵、求斜率：由直线方程 y = ax + b ，将两点数值代入，可得到直线的斜率 2 1 2 1 x x y y a − − = 。 ⑶、求截距：若坐标起点为零，可将直线用虚线延长，得到直线与纵坐标的交点即可得截距； 图 2-5 不同实验线的区别 图 2-6 连线方法 图 2-7 电表校正曲线
X2J1-XiJ2得截距。若坐标起点不为零，可由式b=X2 -X,yy4AY.-.0X2Xx1X(b)不正确（a）正确图2-8选点求斜率和截距下面以热敏电阻的阻值随温度变化的关系为例进行图示和图解热敏电阻的阻值R，随温度T的变化关系为bRr=aeT式中a、b为待定常数，T为热力学温度，为使函数变为线性关系，将两边取对数得DInR,=Ina+TR/243500上310027002300190015001100300.0310.0340.0T/K320.0330.0图2-9R,-T关系曲线1将其作代换，令y=lnR，a'=lna，得直线方程y=a+x，实验测得热敏电阻x=T在不同温度下的阻值后，以变量x、y作图，如果得到o-xy坐标下的直线线型，就证明了R,与T的理论关系式的正确性。若某同学实验测的数据和变量转换值列表2-3，图2-9为所作R,-T关系曲线，图2-10为33
33 若坐标起点不为零，可由式 2 1 2 1 1 2 x x x y x y b − − = 得截距。 下面以热敏电阻的阻值随温度变化的关系为例进行图示和图解： 热敏电阻的阻值 RT 随温度 T 的变化关系为 T b RT = ae 式中 a、b 为待定常数，T 为热力学温度，为使函数变为线性关系，将两边取对数得 T b ln RT = lna + 将其作代换，令 RT y = ln ， a = lna ， T x 1 = ，得直线方程 y = a + bx ，实验测得热敏电阻 在不同温度下的阻值后，以变量 x、y 作图，如果得到 o-xy 坐标下的直线线型，就证明了 RT 与 T 的理论关系式的正确性。 若某同学实验测的数据和变量转换值列表 2-3，图 2-9 为所作 RT − T 关系曲线，图 2-10 为 图 2-8 选点求斜率和截距 图 2-9 关系曲线
1InR关系曲线。T表2-3热敏电阻的测量数据序1t/°cT/KR./Q/(10-3Ty=In(R /Q)x=号T1342727.0300.23. 3318.139229.5302.731243.3048.047332.0305.228243. 2777. 946436.0309.224943. 2347.822538.03.213311.222617. 724.......953.5326.713533. 0617.2101057.51193330.63. 0247. 084由图2-10中点A(3.050,7.175)和B(3.325,8.120)两点可得In R, In R8.120-7.175b==3.436×10*K11(3.3253.050)x10-3TT11-In R, --In R,TT(3.325×7.175-3.050×8.120)×10-3a==-3.30611(3.3253.050)×10-3T,T,由于a=lna，所以a=0.03672，可以得到热敏电阻阻值与温度的关系是3.436x10/R,=0.0367e/TQIn(R/)8.200B(3.325,8.120)8.0007.8007.6007.4007.200A(3.050,7.175)d7.0003.0003.1003.2003.3003.400I/(10"k-)1关系曲线图2-10InR，T2.2.3、逐差法在物理实验和测量实践中，常常通过自变量等间隔变化来获取各项实验数据，把这些等间隔的数据进行逐项相减或分成前后两组进行对应项相减的方法叫逐差法。逐差法具有减少相对误差和对数据求平均的效果，是物理实验中常用的数据处理方法之一。34
34 T RT 1 ln − 关系曲线。 表 2-3 热敏电阻的测量数据 序 号 t C 0 / T / K RT / /(10 ) 1 −3 −1 = T T x = ln( / ) RT y 1 27.0 300.2 3427 3.331 8.139 2 29.5 302.7 3124 3.304 8.047 3 32.0 305.2 2824 3.277 7.946 4 36.0 309.2 2494 3.234 7.822 5 38.0 311.2 2261 3.213 7.724 . . . . . . 9 53.5 326.7 1353 3.061 7.210 10 57.5 330.6 1193 3.024 7.084 由图 2-10 中点 A(3.050,7.175)和 B(3.325,8.120)两点可得 2 1 3 3 2 1 ln ln 8.120 7.175 3.436 10 K 1 1 3.325 3.050 10 R R b T T − − − = = = − − （ ） 3.306 (3.325 3.050) 10 (3.325 7.175 3.050 8.120) 10 1 1 ln 1 ln 1 3 3 2 1 2 1 1 2 = − − − = − − = − − T T R T R T a 由于 a = lna ，所以 a = 0.0367 ，可以得到热敏电阻阻值与温度的关系是 = T T R e 3 3.436 10 0.0367 2.2.3、逐差法 在物理实验和测量实践中，常常通过自变量等间隔变化来获取各项实验数据，把这些等间隔 的数据进行逐项相减或分成前后两组进行对应项相减的方法叫逐差法。逐差法具有减少相对误差 和对数据求平均的效果，是物理实验中常用的数据处理方法之一。 图 2-10 关系曲线
用逐差法处理数据的条件是自变量x必须是等间隔变化，处理数据的关键是将等间隔的数据合理分组，一般是将这些等间隔的实验数据对半分成前、后两组，然后进行逐差求平均。若实验中的等间隔数据为x、X2、、x，（n为偶数），这将这组数据分为前组（x、x2、"、x/2）和后组（xx/2+1、X/2+2、…、X，），对应项逐项相减得逐差量Ax,=(X/2+-x,），（i=1、2、.、n2），逐差量的平均值为xAr=[Ax]n/2台n/2(n/2)2例如；用拉伸法测定弹簧的劲度系数k，已知在弹性限度内伸长量Ar与弹簧所受拉力F满足胡克定理F=k△r，等间隔的改变拉力（负荷），测得一组数据列表2-4表2-4测定弹簧的劲度系数次数拉力（负荷）F/10~N伸长量x/10~m100.0022X9.81.5033.014X9.846X9.84.5058×9.86. 01610×9.87.5079. 0012×9.8814×9.810.50(1)、验证F与Ax的线性关系：逐相差△x=Xi+-X,分别为1.50、1.51、1.49、1.51、1.49、1.50、1.50，4x基本相等，验证了F与4x的线性关系。这一“逐项验证”工作在实验测量过程中随时进行，以便判别测量数据正确与否。(2)、分组逐差求弹簧的劲度系数K：将上述试验数据分成前组（x4、X3、x2、x）和后组（Xg、X、X、X），再将对应项相减并求平均值得= 1. ( -x)+(x, -x,)+(。-x)+(x, -±) =1.50×10- mAr=A4这样全部数据都用上了，发挥了多次测量求平均的作用，且不存在中间数据相消的现象。通过这样的逐差求得的Ax误差减小了，相应的弹簧的劲度系数的误差也将减少。由胡克定理求得弹簧的劲度系数为AFk=（单位）Ar若不对实验数据进行分组，直接进行逐项差，则△r为35
35 用逐差法处理数据的条件是自变量 x 必须是等间隔变化，处理数据的关键是将等间隔的数据 合理分组，一般是将这些等间隔的实验数据对半分成前、后两组，然后进行逐差求平均。若实验 中的等间隔数据为 1 x 、 2 x 、.、 n x （ n 为偶数），这将这组数据分为前组（ 1 x 、 2 x 、.、xn 2 ） 和后组（ xn 2+1 、 xn 2+2 、 . 、 n x ），对 应 项 逐项 相 减 得逐差量 ( ) xi = xn 2+i − xi , ( i = 1、2、 、n 2 )，逐差量的平均值为 x / 2 2 / 2 1 2 1 1 2 2 ( / 2) n n n i i i i x x x x n n n + = − = = 例如；用拉伸法测定弹簧的劲度系数 k，已知在弹性限度内伸长量 x 与弹簧所受拉力 F 满足 胡克定理 F = kx ，等间隔的改变拉力（负荷），测得一组数据列表 2-4 表 2-4 测定弹簧的劲度系数 ⑴、验证 F 与 x 的线性关系：逐相差 x = xi+1 − xi 分别为 1.50、1.51、1.49、1.51、1.49、 1.50、1.50，x 基本相等，验证了 F 与 x 的线性关系。这一“逐项验证”工作在实验测量过程 中随时进行，以便判别测量数据正确与否。 ⑵、分组逐差求弹簧的劲度系数 K：将上述试验数据分成前组（ 4 x 、 x3 、 2 x 、 1 x ）和后组 （ x8 、 7 x 、 x6 、 x5 ），再将对应项相减并求平均值得 8 4 7 3 6 2 5 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1.50 10 m 4 4 x x x x x x x x x − + − + − + − − = = 这样全部数据都用上了，发挥了多次测量求平均的作用，且不存在中间数据相消的现象。通过这 样的逐差求得的 x 误差减小了，相应的弹簧的劲度系数的误差也将减少。由胡克定理求得弹簧 的劲度系数为 x F k = （单位） 若不对实验数据进行分组，直接进行逐项差，则 x 为 次数 拉力（负荷） F N 3 / 10 − 伸长量 x m 2 / 10− 1 0 0.00 2 2×9.8 1.50 3 4×9.8 3.01 4 6×9.8 4.50 5 8×9.8 6.01 6 10×9.8 7.50 7 12×9.8 9.00 8 14×9.8 10.50