第2章传感器的基本特性与测量误差 为了更好地理解和掌握传感器的原理、构造、应用，本章对传感器的基本特性及测 量误差做以下介绍 2.1传感器的基本特性 2.1.1传感器的静态特性 静态特性所表征的是测量装置在被测量处于稳定状态时的输出输入特性，衡量静 态特性的指标有以下几个 2.1.1.1线性度 线性度是用来说明输出量与输入量的实际关系曲线偏离直线的程度。通常总是希望 测量装置的输出与输入之间呈线性关系。因为在线性情况下，模拟式仪表的刻度就可以 做成均匀刻度，而数字式的仪表就不必采用线性环节。此外，当线性测量装置作为控制 系统的一个组成部分时，它的线性性质可使整个系统的设计、分析得到简化。 线性度通常用实际测得的输出一输入特性曲线（称为标定曲线）与其理论拟合直 线之间的最大偏差与测量装置满量程输出范围之比来表示 (2-1)
第 2 章 传感器的基本特性与测量误差 为了更好地理解和掌握传感器的原理、构造、应用，本章对传感器的基本特性及测 量误差做以下介绍。 静态特性所表征的是测量装置在被测量处于稳定状态时的输出-输入特性，衡量静 态特性的指标有以下几个。 2.1.1.1 线性度 线性度是用来说明输出量与输入量的实际关系曲线偏离直线的程度。通常总是希望 测量装置的输出与输入之间呈线性关系。因为在线性情况下，模拟式仪表的刻度就可以 做成均匀刻度，而数字式的仪表就不必采用线性环节。此外，当线性测量装置作为控制 系统的一个组成部分时，它的线性性质可使整个系统的设计、分析得到简化。 线性度通常用实际测得的输出——输入特性曲线（称为标定曲线）与其理论拟合直 线之间的最大偏差与测量装置满量程输出范围之比来表示 max . . f 100% F S = （2-1）
第2章传感器的基本特性与测量误差 式中，r为线性度（又称非线性误差）；△m为标 定曲线对于理论拟合直线的最大偏差（以输出量的单位 计算)；△F.s为测量装置的满量程输出范围（输出平均 值，。图2-1给出了理论线性度示意图 0 图2-2表示出了同一特性曲线在选取不同基准线时 图21理论线性度示意图 所得出的误差值。由于非线性误差的大小是以一定的拟合直线或理论直线为基准直线计 算出来的。因此，基准线不同，所得线性度就不同。例如，以理论直线为基准计算出来 的线性度，称为理论线性度；以连接零点输出和满量程输出的直线为基准计算出来的线 性度称为端基线性度；以平均选点法获得的拟合直线作基准计算出来的线性度称为平均 选点线性度；以最小二乘法拟合直线作基准计算出来的线性度称为最小二乘法线性度。 在上述几种线性度的表示方法中，最小二乘法线性度的拟合精度最高，平均选点线性度 次之，端基线性度最低。但最小二乘法线性度的计算最繁琐。 )端基线性度拟合直线 ()平均选点法拟合直线 (⊙最小二乘法拟合直线 图22不同拟合方法的基准线
2 ·7· 式中，δf 为线性度（又称非线性误差）；△max 为标 定曲线对于理论拟合直线的最大偏差（以输出量的单位 计算）；△F.S.为测量装置的满量程输出范围（输出平均 值）。图 2-1 给出了理论线性度示意图。 图 2-2 表示出了同一特性曲线在选取不同基准线时 所得出的误差值。由于非线性误差的大小是以一定的拟合直线或理论直线为基准直线计 算出来的。因此，基准线不同，所得线性度就不同。例如，以理论直线为基准计算出来 的线性度，称为理论线性度；以连接零点输出和满量程输出的直线为基准计算出来的线 性度称为端基线性度；以平均选点法获得的拟合直线作基准计算出来的线性度称为平均 选点线性度；以最小二乘法拟合直线作基准计算出来的线性度称为最小二乘法线性度。 在上述几种线性度的表示方法中，最小二乘法线性度的拟合精度最高，平均选点线性度 次之，端基线性度最低。但最小二乘法线性度的计算最繁琐。 图 2-2 不同拟合方法的基准线 图 2-1 理论线性度示意图
·8· 传感器技术设计与应用 2.1.1.2灵敏度 灵敏度是指测量装置在稳定状态下输出变化对输入变化的比值。灵敏度k计算公式 为线性测量装置的灵敏度k是一个常数，可直接表示为k=y/x,如图2-3()所际；非线 性测量装置的灵敏度k是一个变量，可表示为k=d1本，如图2-3b)所示。式(2-2)】 中的输出量指测量装置的实际输出信号，而不是它所表征的物理量。例如，某位移传感 器在位移变化1mm(输入信号的变化量)时输出电压变化有300mV(输出信号的变化量)， 则其灵敏度为300mV/mm. 太=输出量的出化量 输人量的变化量 (2-2)》 入、 (a)线性测量装置 b)非线性测量装置 图23灵敏度定义 2.1.1.3迟滞（滞后） 迟滞又称滞后，它表征了在正向（输入量增大）和反向（输入量减小）行程期间， 测量装置的输出-输入特性曲线的不重合程度。即在外界条件不变的情况下，对应于同 一大小的信号，测量装置在正、反行程时输出信号的数值不相等。例如，弹簧管压力表
·8· 2.1.1.2 灵敏度 灵敏度是指测量装置在稳定状态下输出变化对输入变化的比值。灵敏度 k 计算公式 为线性测量装置的灵敏度 k 是一个常数，可直接表示为 k y x = / ，如图 2-3(a)所示；非线 性测量装置的灵敏度 k 是一个变量，可表示为 k dy dx = / ，如图 2-3(b)所示。式（2-2） 中的输出量指测量装置的实际输出信号，而不是它所表征的物理量。例如，某位移传感 器在位移变化 1mm(输入信号的变化量)时，输出电压变化有 300mV(输出信号的变化量)， 则其灵敏度为 300 mV/mm。 （2-2） 图 2-3 灵敏度定义 2.1.1.3 迟滞（滞后） 迟滞又称滞后，它表征了在正向（输入量增大）和反向（输入量减小）行程期间， 测量装置的输出－输入特性曲线的不重合程度。即在外界条件不变的情况下，对应于同 一大小的信号，测量装置在正、反行程时输出信号的数值不相等。例如，弹簧管压力表
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·9. 的输入压力缓慢而平稳地从零上升到最大值，然后再降回到零，在没有机械摩擦的情况 下，其输出输入特性可能如图24所示的那样，加载与卸载过程的曲线不重合，这种现 象称为迟滞。 迟滞现象的产生，主要是由于测量装置内有吸收能量的元件（如弹性元件等)，存 在着间隙、内摩擦和滞后阻尼效应，使得加载时进入这些元件的全部能量，在卸载时不 能完全恢复。迟滞的大小一般由实验确定，其值以满量程输出U:s的百分数表示，即 (2-3) 式中，6，为迟滞；△为输出值在正反行程间的最大差值。 2.1.1.4重复性 重复性表示测量装置在输入量按同一方向作全量程连续多次变动时，所得特性曲线 不一致的程度，若特性曲线一致，说明重复性好，重复性误差小，如图2-5所示，分别 求出沿正、反行程多次循环测量的各个测试点输出值之间的最大偏差△1m△2mm,再 取这两个最大偏差中之较大者为△m,然后根据△w与满量程U.s来计算重复性误差 =坑10% （2-4)
2 ·9· 的输入压力缓慢而平稳地从零上升到最大值，然后再降回到零，在没有机械摩擦的情况 下，其输出-输入特性可能如图 2-4 所示的那样，加载与卸载过程的曲线不重合，这种现 象称为迟滞。 迟滞现象的产生，主要是由于测量装置内有吸收能量的元件（如弹性元件等），存 在着间隙、内摩擦和滞后阻尼效应，使得加载时进入这些元件的全部能量，在卸载时不 能完全恢复。迟滞的大小一般由实验确定，其值以满量程输出 UF.S.的百分数表示，即 max . . t 100% UF S = （2-3） 式中， t 为迟滞； max 为输出值在正反行程间的最大差值。 2.1.1.4 重复性 重复性表示测量装置在输入量按同一方向作全量程连续多次变动时，所得特性曲线 不一致的程度，若特性曲线一致，说明重复性好，重复性误差小。如图 2-5 所示，分别 求出沿正、反行程多次循环测量的各个测试点输出值之间的最大偏差△1max、△2max，再 取这两个最大偏差中之较大者为△max，然后根据△max 与满量程 UF.S.来计算重复性误差 δz max . . Z UF S = ×100％ （2-4）
·10: 传感器技术设计与应用 X X 图2-4迟滞特性 图2-5重复性 重复性误差δz是属于随机性的误差。由于重复测量的次数不同，其各个测试点输出 值之间的最大偏差值也不一样。因此，按上式算出的数据不够可靠。比较合理的计算方 法是根据多次循环测量的全部数据，求出其相应行程的标准偏差。，并按极限误差△m =（2-3)σ代入式(2-4)中计算重复误差。 σ前的系数取2时，误差完全依从正态分布，置信概率为95%；取3时，置信概率 为99.7%. 标准偏差σ的具体计算方法有标准法与极差法两种： (1)标准法：根据均方根误差公式，可计算。式中，y,为测量值；为测量值的算 术平均值；n为测量次数。 20y-列 n-1 (2)极差法：所谓极差法是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差，例如 图2-5中的△1mx与△m之差。根据极差计算标准偏差公式为式中，".为极差；dn为 极差系数。极差系数的大小与测量次数有关，其对应关系如表21
·10· 图 2-4 迟滞特性 图 2-5 重复性 重复性误差 δz 是属于随机性的误差。由于重复测量的次数不同,其各个测试点输出 值之间的最大偏差值也不一样。因此，按上式算出的数据不够可靠。比较合理的计算方 法是根据多次循环测量的全部数据，求出其相应行程的标准偏差 ，并按极限误差△max =（2-3） 代入式（2-4）中计算重复误差。 前的系数取 2 时，误差完全依从正态分布，置信概率为 95％；取 3 时，置信概率 为 99.7％。 标准偏差 的具体计算方法有标准法与极差法两种： （1）标准法：根据均方根误差公式，可计算 式中， i y 为测量值； y 为测量值的算 术平均值； n 为测量次数。 2 1 ( ) 1 n i i y y n = − = − （2）极差法：所谓极差法是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差，例如， 图 2-5 中的 Δ1max 与 Δ2max 之差。根据极差计算标准偏差公式为式中，wn 为极差； n d 为 极差系数。极差系数的大小与测量次数有关，其对应关系如表 2-1
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·11· 吃 由极差和极差系数求得标准偏差。后，即可计算出重复性误差2。这种方法的计算 工作量较少。 表21级差系数与测量次数的对应关系 2.1.1.5分辨率和灵敏限 (1)分辨率：分辨率表征的是测量装置可能检测出被测信号的最小变化的能力，有 时又称为分辨能力。当输入量从某个任意值（非零值）缓慢增加，直至可以观测到输出 量的变化时为止的输入增量即为测量装置的分辨率。分辩率可用绝对值也可用满度 (F.S)的百分比来表示 (2)灵敏限：灵敏限的定义与分辨率很接近，但有区别。如果测量装置的输入量从 零起缓慢地增加，当输入量小于某个最小限值时不会引起输出量的变化，一旦超过这个 最小限值，则将引起输出量的变化，这个最小限值叫做灵敏限。一般说来，灵敏限的具 体数值是难以明确测定的。 2.1.2传感器的动态特性 动态特性是指传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。实际被测量随时间变化 的形式是各种各样的，在研究动态特性时通常根据标准输入特性来考虑传感器的响应特
2 ·11· n n w d = 由极差和极差系数求得标准偏差 后，即可计算出重复性误差 δz。这种方法的计算 工作量较少。 表 2-1 级差系数与测量次数的对应关系 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dn 1.41 1.91 2.24 2.48 2.67 2.88 2.96 3.08 3.18 2.1.1.5 分辨率和灵敏限 （1）分辨率：分辨率表征的是测量装置可能检测出被测信号的最小变化的能力，有 时又称为分辨能力。当输入量从某个任意值（非零值）缓慢增加，直至可以观测到输出 量的变化时为止的输入增量即为测量装置的分辨率。分辨率可用绝对值也可用满刻度 （F.S）的百分比来表示。 （2）灵敏限：灵敏限的定义与分辨率很接近，但有区别。如果测量装置的输入量从 零起缓慢地增加，当输入量小于某个最小限值时不会引起输出量的变化，一旦超过这个 最小限值，则将引起输出量的变化，这个最小限值叫做灵敏限。一般说来，灵敏限的具 体数值是难以明确测定的。 动态特性是指传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。实际被测量随时间变化 的形式是各种各样的，在研究动态特性时通常根据标准输入特性来考虑传感器的响应特
·12· 传感器技术设计与应用 性。标准输入有两种：呈正弦变化和阶跃变化的输入。传感器的动态特性分析和动态标 定都以这两种标准输入状态为依据。对于任一传感器，只要输入量是时间的函数，则其 输出量也应是时间的函数， 2.1.21动态特性的一般数学模型 实际的测量装置一般都能在一定程度和一定范围内看成常系数线性系统。因此，通 常认为可以用常系数线性微分方程来描述输入与输出的关系。对于任意线性系统，其数 学模型的一般表达式为 a+a++a密+a=6+6++%空+(25) 式中，y为输出量；x为输入量；T为时间；a,4,a,为仅取决于测量装置本身特性的常 数：么4,4.为仅取决于测量装置本身特性的常数：票为输出量对时间的阶号数： 票为输入量对时间：的价得数 如果用算子D代表ddt时，式(15)可改写成 (aD°+aD++aD+ay=(6D+bD++hD+4x（2-6) 对于此类微分方程式，可用经典的D算子方法求解，也可以用拉氏变换方法求解。 用D算子方法解上述非齐次阶常微分方程式(2-6)时，方程式的解由通解和特 解两部分组成，即 y=片+为 （2-7)
·12· 性。标准输入有两种：呈正弦变化和阶跃变化的输入。传感器的动态特性分析和动态标 定都以这两种标准输入状态为依据。对于任一传感器，只要输入量是时间的函数，则其 输出量也应是时间的函数。 2.1.2.1 动态特性的一般数学模型 实际的测量装置一般都能在一定程度和一定范围内看成常系数线性系统。因此，通 常认为可以用常系数线性微分方程来描述输入与输出的关系。对于任意线性系统，其数 学模型的一般表达式为 1 1 1 0 1 . n n n n n n d y d y dy a a a a y dt dt dt − − − + + + + = 1 1 1 0 1 . m m m m m m d x d x dx b b b b x dt dt dt − − − + + + + （2-5） 式中, y 为输出量； x 为输入量；T 为时间； 0 1 , ., n a a a 为仅取决于测量装置本身特性的常 数； 0 1 , ., m b b b 为仅取决于测量装置本身特性的常数； n n d y dt 为输出量对时间的 n 阶导数； m m d x dt 为输入量对时间 t 的 m 阶导数。 如果用算子 D 代表 d/dt 时，式（1-5）可改写成 1 1 1 0 ( . ) n n n n a D a D a D a y − + + + + − 1 1 1 0 ( . ) m m m m b D b D b D b x − = + + + + − （2-6） 对于此类微分方程式，可用经典的 D 算子方法求解，也可以用拉氏变换方法求解。 用 D 算子方法解上述非齐次 n 阶常微分方程式（2-6）时，方程式的解由通解和特 解两部分组成，即 1 2 y y y = + （2-7）
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·13- 式中y1为通解；y2为特解 由特征方程式a,D心+aD++aD+a,=0,可以求出通解。其根有四种情况： （1)1,.n都是实数，并目无重根，通解为 片=ke"+ke+.+ke (2-8) （2)根r1.,都是实数，但其中有p个重根，因此，有r二.Tp于是通 解为 =(C+C!++C)e"+ke+.+e (2-9) （3)根r1,2n中无重根，但有共轭复根，并设r1=a+jb,r2=ajb,则通解为 y =ke"sin(bt+)+ke"+.+ke (2-10)） （4)含有p个共轭复重根，即有r1=T2=.=可-at+jb,1=可p+2三=p=a-b 这时，通解为： =(C+C++C)e"sin(b++ke++e (2-11) 在上述各种情况下，根据待定系数法就可求出特解y2。 2.1.2.2传递函数 在分析、设计和应用传感器时，传递函数的概念很有用。传递函数的定义是在初始 条件为零时输出函数拉氏变换对输入函数拉氏变换之比，用G(s)表示， G6)=-b产+b++s+么 x)a,s°+an-+.+a3+a （2-12) 式中，s为拉氏变换中的复变量：y($)为初始条件为零时，测量装置输出量的拉普拉
2 ·13· 式中 y1 为通解；y2 为特解。 由特征方程式 1 1 1 0 . 0 n n n n a D a D a D a − + + + + = − ，可以求出通解。其根有四种情况： （1）r1,r2.rn 都是实数，并且无重根，通解为 1 2 1 1 2 . n rt r t r t n y k e k e k e = + + + （2-8） （2）根 r1,r2.rn，都是实数，但其中有 p 个重根，因此，有 r1=r2=.=rp 于是通 解为 1 1 1 2 ( . ) . n p n p rt r t r t p n p n y C C t C t e k e k e − − = + + + + + + − （2-9） （3）根 r1,r2.rn 中无重根，但有共轭复根，并设 r1=a+jb, r2=a-jb，则通解为 3 1 3 sin( ) . n at r t r t n y ke bt k e k e = + + + + （2-10） （4）含有 p 个共轭复重根，即有 r1=r2=.=rp=a+jb，rp+1=rp+2=.=r2p=a-jb 这时，通解为： 1 2 1 1 2 2 ( . ) sin( ) . n p n p at r t r t p n p n y C C t C t e bt k e k e − − = + + + + + + + − （2-11） 在上述各种情况下，根据待定系数法就可求出特解 y2。 2.1.2.2 传递函数 在分析、设计和应用传感器时，传递函数的概念很有用。传递函数的定义是在初始 条件为零时输出函数拉氏变换对输入函数拉氏变换之比，用 G(s)表示， 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) . ( ) ( ) . m m m m n n n n y s b s b s b s b G s x s a s a s a s a − − − − + + + + = = + + + + （2-12） 式中，s 为拉氏变换中的复变量；y(s)为初始条件为零时，测量装置输出量的拉普拉
·14· 传感器技术设计与应用 斯变换式；XS)为初始条件为零时，测量装置输入量的拉普拉斯变换式， 传递函数G(s)表达了测量装置本身固有的动态特性。当知道传递函数之后，就可以 由系统的输入量按式(212)示出，其输出量（动态响应）的拉式变换，在通过求逆变换 可得其输出量y(t。此外，传递函数并不表明系统的物理性质。许多物理性质不同的 测试装置，可以由相同的传递函数，因此通过对传递函数的分析研究，能统一处理各种 物理性质不同的线性测量系统。 2.123动态响应 通常，输入信号并非任意形状，为了便于研究传感器的动态性能，可以对输入信号 作适当规定。下面分析在正弦输入和阶跃输入情况下的动态响应。 （1)正弦输入时的频率响应。 频率响应函数：输入信号是正弦波x(t)=Asinwt(见图2-6)时，输出信号y()的模 型是：由于暂态响应的影响，开始并不是正弦波，随着时间的增长，暂态响应部分逐渐 衰减以至消失，经过一定时间后，只剩下正弦波。输出量y()与输出量x)的频率相同， 但幅值不等，并有相位差，即y)Bsi(ot+p)。因此，输入信号振幅A即使一定，只要 ®有所改变，输出信号的振幅和相位也会发生变化。所谓频率响应，就是在稳定状态下 B/A幅值比和相位比p随a而变化的状况. 在正弦输入下用j。代替公式(2-12)中的复变量s,即可得到传感器的频率传递函
·14· 斯变换式；x(s)为初始条件为零时，测量装置输入量的拉普拉斯变换式。 传递函数 G(s)表达了测量装置本身固有的动态特性。当知道传递函数之后，就可以 由系统的输入量按式(2-12)示出，其输出量（动态响应）的拉式变换，在通过求逆变换 可得其输出量 y（t）。此外，传递函数并不表明系统的物理性质。许多物理性质不同的 测试装置，可以由相同的传递函数，因此通过对传递函数的分析研究，能统一处理各种 物理性质不同的线性测量系统。 2.1.2.3 动态响应 通常，输入信号并非任意形状，为了便于研究传感器的动态性能，可以对输入信号 作适当规定。下面分析在正弦输入和阶跃输入情况下的动态响应。 （1）正弦输入时的频率响应。 频率响应函数：输入信号是正弦波 x（t）=Asinwt（见图 2-6）时,输出信号 y(t)的模 型是：由于暂态响应的影响，开始并不是正弦波，随着时间的增长，暂态响应部分逐渐 衰减以至消失，经过一定时间后，只剩下正弦波。输出量 y(t)与输出量 x(t)的频率相同， 但幅值不等，并有相位差，即 y(t)=Bsin(ωt+φ)。因此，输入信号振幅 A 即使一定，只要 有所改变，输出信号的振幅和相位也会发生变化。所谓频率响应，就是在稳定状态下 B/A 幅值比和相位比 φ 随 而变化的状况。 在正弦输入下用 j 代替公式（2-12）中的复变量 s，即可得到传感器的频率传递函
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·15- 数为 GUo)-)b+bo)h (2-13) x(j@)a(jo)"+a(j)+.+a(jo)+do 式中，j为√万；。为角频率 对于任意给定频率。，方程式(2-13)具有复数形式，用复数来处理频率响应问题 时，表达式甚为简单。为此用Ae代替图2-6中的输入信号Asinot,在稳定情况下， 输出信号就是B+p,可以用极坐标形式表示这个复数，其中A"是大小为A的矢量， 在复数平面上以角速度a绕原点旋转。Be则是大小为B的分量，以相同角速度旋 转，但相位差为。，见图2-7所示.图中4cos0m和Bcos(0m+)分别为上述二矢量在实 轴上的投影。 Asin of→传感器→Bsin(o+) 时间藩后 Be sin ot B+) 实轴 图2-6正弦输入时的频率响应 图2-7输入与输出的复数表示法 把x=Ae,y=Be代入式(2-13)，便得频率响应的通式 GUa-Be”Uor+6Uo++Uo+2 a(jo)"+a(jo)+.+a(jo)+a (2-14)
2 ·15· 数为 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) m m m m n n n n y j b j b j b j b G j x j a j a j a j a − − − − + + + + = = + + + + （2-13） 式中，j 为 −1 ； 为角频率。 对于任意给定频率 ，方程式（2-13）具有复数形式，用复数来处理频率响应问题 时，表达式甚为简单。为此用 j t Ae 代替图 2-6 中的输入信号 A t sin ，在稳定情况下， 输出信号就是 j t ( ) Be + 。可以用极坐标形式表示这个复数。其中 j t Ae 是大小为 A 的矢量， 在复数平面上以角速度 绕原点旋转。 j t ( ) Be + 则是大小为 B 的分量，以相同角速度旋 转，但相位差为 ，见图 2-7 所示。图中 A t cos 和 B t cos( ) + 分别为上述二矢量在实 轴上的投影。 图 2-6 正弦输入时的频率响应 图 2-7 输入与输出的复数表示法 把 j t x Ae = ， j t ( ) y Be + = 代入式（2-13），便得频率响应的通式 ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) j t m m m m j t n n n n Be b j b j b j b G j Ae a j a j a j a + − − − − + + + + = = + + + + （2-14）