4.2相乘器电路 421非线性器件的特性及相乘作用 非线性器件相乘作用的一般分析 一个非线性器件,如二极管电路、三极管电路, 若加到器件输入端的电压为,流过器件的电流为, 则伏安特性为 f( (4.2.1) 其中D=10++B2,为静态工作点电压 ie U,=Vm cos@, t D,=v cos @,t
4.2 相乘器电路 4.2.1 非线性器件的特性及相乘作用 一个非线性器件，如二极管电路、三极管电路， 若加到器件输入端的电压为，流过器件的电流为， 则伏安特性为 i f = ( ) （4.2.1） 其中 = + + VQ 1 2 ， VQ 为静态工作点电压 设 1 1 1 cos =V t m 2 2 2 cos =V t m 一、非线性器件相乘作用的一般分析
将伏安特性采用幂级数逼近,即将i=f(U)在U=V 处展开为泰勒级数 i=f(o)=ao 2 +a1U+a2D+a3+…+anb(4.22) 式中b=+2,a4a,a2,4…a可以由下列通式表示 I d"f(u f o (4.2.3) n dv 由于U"=(+2)y=∑ 4.2.1
将伏安特性采用幂级数逼近，即将 i f = ( ) 在 =VQ 处展开为泰勒级数 2 3 0 1 2 3 ( ) n n i f a a a a a = = + + + + + （4.2.2） 式中 1 2 = + ， 0 1 2 3 , , , , n a a a a a 可以由下列通式表示 4.2.1 1 ( ) ( ) ! ! Q n n Q n n V d f f V a n d n = = = （4.2.3） 由于 1 2 1 2 0 ! ( ) !( )! n n n n m m m n m n m − = = + = −
故式(422)可以改写为 i=f()=∑∑ n!(1-m (4.2.4) 由式(424)知,当m=1,n=2时,2a2uU2,实现了 ∽U1和υ2的相乘运算,可以起到频谱搬移的作用。 若将0和D的表达式带入到式(424)中,利用三角 函数变换,不难看出,电流中包含的频率分量为 f=/1±2 (4.2.5) 式中,p和q是包含零在内的正整数。 4.2.1
故式（4.2.2）可以改写为 1 2 0 0 ! ( ) !( )! n n m m n n m n i f a m n m − = = = = − （4.2.4） 由式（4.2.4）知，当m=1，n=2时， 2 1 2 i a = 2 ，实现了 1 和 2 的相乘运算，可以起到频谱搬移的作用。 若将 1 和 2 的表达式带入到式（4.2.4）中，利用三角 函数变换，不难看出，电流 i 中包含的频率分量为 4.2.1 p q, 1 2 f pf qf = （4.2.5） 式中，p和q是包含零在内的正整数
因此,为了实现理想的相乘运算可以采取如下措施 (1)从器件的特性考虑。必须尽量减少无用的高 阶相乘项及其产生的组合频率分量。为此,应选择合 适的静态工作点使器件工作在特性接近平方律的区域, 或者选用具有平方律特性的非线性器件(如场效应管) 户科学与工学 等 (2)从电路考虑。可以用多个非线性器件组成平衡 电路,用以抵消一部分无用的频率分量;或采用补偿 或负反馈技术实现理想的相乘运算。 4.2.1
因此，为了实现理想的相乘运算可以采取如下措施： （1）从器件的特性考虑。必须尽量减少无用的高 阶相乘项及其产生的组合频率分量。为此，应选择合 适的静态工作点使器件工作在特性接近平方律的区域， 或者选用具有平方律特性的非线性器件（如场效应管） 等。 4.2.1 （2）从电路考虑。可以用多个非线性器件组成平衡 电路，用以抵消一部分无用的频率分量；或采用补偿 或负反馈技术实现理想的相乘运算
(3)从输入信号的大、小考虑。采用大信号使 器件工作在开关状态或工作在线性时变状态,以获 得优良的频谱搬移特性 二、线性时变状态 若U2是小信号,是大信号,将式(4.24)改写为 户科学与工学 U的幂级数,即将式(4.21) f(=f(o+u,+D 在V+上对U2展开为泰勒级数式,得到 4.2.1
（3）从输入信号的大、小考虑。采用大信号使 器件工作在开关状态或工作在线性时变状态，以获 得优良的频谱搬移特性。 4.2.1 若 2 是小信号， 1 是大信号，将式（4.2.4）改写为 2 的幂级数，即将式（4.2.1） 1 2 ( ) ( ) Q i f f V = = + + 在 VQ +1 上对 2 展开为泰勒级数式，得到 二、线性时变状态
7=f(0)=f(a+u+u2) f(o+u)+f(o+u1)U2+f"(Vo+u1)2+ 2 (4.2.6) 式中,(+)=∑a为函数=f(U)在D=V+1 处的函数值; 户科学与工学 f(+u1)=∑mau1为函数=f()在U +U 处的一阶导数值 ∑42为函数=f()在U=V+ (n-2) 处的二阶导数值;
1 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 ! Q Q Q Q i f f V f V f V f V = = + + = + + + + + + （4.2.6） 1 1 0 ( ) n Q n n f V a = 式中， + = 为函数 i f = ( ) 在 = + VQ 1 处的函数值； 1 1 1 1 ( ) n Q n n f V na − = + = 为函数 i f = ( ) 在 = + VQ 1 处的一阶导数值； 2 1 1 2 ! ( ) ( 2)! n Q n n n f V a n − = + = − 为函数 i f = ( ) 在 = + VQ 1 处的二阶导数值；
当U2足够小时,可以忽略二次方以上的各高次方项 则上式可简化为 i=f(V++2)≈f(a+)+f(VQ+)儿2(4.27) 式中0(un)=f(Vo+u)是U2=0时的电流,称为时变静 户科学与工学 态(U2=0时的工作状态)电流,与b2无关,是U的非 线性函数 式(4.27)可以改写为 i≈l0(1)+g(1) (4.2.8) 4.2.1
当 2 足够小时，可以忽略二次方以上的各高次方项， 则上式可简化为 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) Q Q Q i f V f V f V = + + + + + （4.2.7） 式中 0 1 1 ( ) ( ) Q I f V = + 是 2 = 0 时的电流，称为时变静 态（ 2 = 0 时的工作状态）电流，与 2 无关，是 1 的非 线性函数。 4.2.1 式（4.2.7）可以改写为 0 1 1 2 i I g + ( ) ( ) （4.2.8）
上式表明,电流2之间的关系是线性的,类似于 线性器件,但系数是时变的,所以将这种器件的工作状 态称为线性时变状态 如当u= V cos o时,则g(u)的傅立叶展开式为 户科学与工学 g0=g(m cos a, t)=go+8im cos O, t+82m cos 2a,t+ (4.29) 4.2.1
上式表明，电流 i与 2 之间的关系是线性的，类似于 线性器件，但系数是时变的，所以将这种器件的工作状 态称为线性时变状态。 如当 1 1 1 cos =V t m 时，则 1 g( ) 的傅立叶展开式为 1 1 1 0 1 1 2 1 ( ) ( cos ) cos cos2 m m m g g V t g g t g t = = + + + （4.2.9） 4.2.1
其中8= godo, (4.2.10)(a) 8u)cos na, tdo, t (n21) (42.10)(b) 户科学与工学 当t2=V2 coS a2t时,电流i中包含的组合频率分量 的通式为n士f|。其中的有用频率分量为A土 由 gIm cos @,t·t2项获得。 4.2.1
由 1 1 2 cos g t m 项获得。 当 2 2 2 cos =V t m 时，电流 i 中包含的组合频率分量 的通式为 1 2 pf f 。其中的有用频率分量为 1 2 f f 4.2.1 1 1 1 1 ( )cos ( 1) g g n td t n nm − = （4.2.10）(b) 其中 0 1 1 （4.2.10）（a） 1 ( ) 2 g g d t − =
4.2.2、二极管电路 一、单二极管电路 (b) 图4.2.1二极管电路 (a)原理电路()伏安特性动画) 犬单二极管电路如图421(a)所示,二极管的伏安特 性如图4.2.1(b)所示。 设D=1+U2当U1=V Im cos a1t、U2 2m cos O 4.2.2
4.2.2、二极管电路 一、单二极管电路 图4.2.1 二极管电路 （a）原理电路 (b) 伏安特性 单二极管电路如图4.2.1（a）所示，二极管的伏安特 性如图4.2.1(b)所示。 设 = +1 2 当 1 1 1 cos =V t m 、 2 2 2 cos =V t m 时， 4.2.2 (动画)