第三章杆系结构单元分析 最基本的概念都在第三、四童, 因此必须下功夫学好 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 第三章 杆系结构单元分析 最基本的概念都在第三、四章， 因此必须下功夫学好
第三章杆系结构单元分析 引 等直杆单元的单元分析 杆系结构单元分析的实质 杆系结构单元分析子程序 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 第三章 杆系结构单元分析 引 言 等直杆单元的单元分析 杆系结构单元分析的实质 杆系结构单元分析子程序
319 言 结点:杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。 单元:两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为 单元。 编码:黑的结点编号称整体码。3 红的1、2局限于单元,称 局部码。 x 坐标:兰的坐标称 右手系12x 整体坐标。红的x、y局限于单元,称局部坐标 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.1 引 言 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。 单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为 单元。 编码：黑的结点编号称整体码。 红的1、2局限于单元，称 局部码。 坐标：兰的坐标称 整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标 1 3 4 2 y x x y 1 2 1 1 2 2 右手系
32等直杆单元的单元分析 目的:像位移法一样,通过“一拆、一合”来解决 结构分析。为此,必须首先掌握单元的特性。 杆系最简单,由它介绍思想和方法容易掌握, 可为以后学习奠定基础,因此必须深刻理解 y EA, I 321等直拉压杆 1F11P2u2F2 结构中拆出的单元如图际示。iL 右手系 1)广义坐标法 广义坐标,边界条件只两个 设任意点位移为u=l+ax一幂级数简单 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2 等直杆单元的单元分析 目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决 结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。 杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握， 可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。 3.2.1 等直拉压杆 结构中拆出的单元如图所示。 1）广义坐标法 设任意点位移为 u=a1+ a2x 广义坐标，边界条件只两个 幂级数简单 右手系 i x j y u1 ,F1 1 2 u2 ,F2 p EA，l
32等直杆单元的单 利用边界条件可得 本点处为 a1=l1:a2=(u2-a1)/l 它点处为0 将广义坐标代回a+x处总和为 u=(l-r/Du1+ uyy 2)形函数及性质形函数自然坐标 N,=1 =1 N 任意点的位移可用形函数表为 l=(1-x/la1+2x/=M1u1+N2a2 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2 等直杆单元的单元分析 利用边界条件可得 a1＝ u1； a2＝(u2 - u1 )／l 将广义坐标代回 u=a1+ a2x，整理后可得 u=(1-x／l)u1+ u2x／l 右手系 i x j y u1 ,F1 1 2 u2 ,F2 p EA，l 2）形函数及性质 1 =1- =1- l x N 2 = = l x N 形函数 自然坐标 1 1 本点处为1 它点处为0 处总和为1 任意点的位移可用形函数表为 u=(1-x／l)u1+ u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２
32等直杆单元的单元分析 3)用虚位移原理列式 1 EA, I 3-1)虚位移 p 2 uF 设结点虚位移为61(i=1,2),右手系 则δu=N18u1+N28u2 3-2)外力虚功 6W外=∑F1M1+m(xod 3-3)虚变形功 轴力FN=EA du EA dx dN sN 变」 FN8adx=F 2021/2/21 哈尔滨工业大学土术号院王焕字dx
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 轴力 右手系 i x j y u1 ,F1 1 2 u2 ,F2 p ３）用虚位移原理列式 EA，l 3-1）虚位移 设结点虚位移为ui （i=1，2）， 则 u=Ｎ1 u1＋Ｎ２ u２ δ δ ( )δ d l i i i W F u p x u x 外 = + 0 3-2）外力虚功 3-3）虚变形功 = = = = l i i i l i i i u x N W F x F u x N EA x u F EA 0 N 0 N N δ d d δ δ d d d d d 变 ∑ 3.2 等直杆单元的单元分析
32等直杆单元的单元分析 3-4)用矩阵表示 Y EA P-2 u2, F2 右手系 2 u=[Nu 6|uL2=|6a16m2 INsul d EAN lak=EA[B]ul δE=B F=F F2]N δW 外={F+Npol W 2021/2/21 变 [B]u (EAB T[B]druk O滨工业天学士木学院土焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 右手系 i x j y u1 ,F1 1 2 u2 ,F2 p EA，l N = N1 N2 3-4）用矩阵表示 u = N u e T u e = u1 u2 T δ u e = δu1 δu2 u N u e δ = δ N u e EA B u e x F = EA = d d N B u e δ = δ e l δW F e δ u e p N dxδ u 0 T 外 = + T F e = F1 F2 e e l δW (EA B u ) B dxδ u T 0 变 = 3.2 等直杆单元的单元分析
32等直杆单元的单元分析 3-5)单元刚度方程 EA1-1 由虚位移原理可得 引入如下矩阵 单元刚度矩阵 k]=ClE [B] EalB dx 0 单元等效荷载[F 列x)Ndr 则单元刚度方程改写为 F+=网l 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 i x j y u1 ,F1 1 2 u2 ,F2 p EA，l 3-5）单元刚度方程 由虚位移原理可得 e l l F e p N dx B EA B dx u T 0 0 T + = 引入如下矩阵： 单元刚度矩阵 = l e k B EA B x 0 T d 单元等效荷载 = l e F p x N x 0 T E ( ) d 则单元刚度方程改写为 e e e e F + FE = k u − − = 1 1 1 1 l EA k e 3.2 等直杆单元的单元分析
32等直杆单元的单元分析 4)小结 4-1)单元位移场可用“广义坐标法”建立。 4-2)形函数“本点1,它点0,任意点总和1”。 4-3)虚位移原理列式结果单元刚度方程为 Fk+Fk=kluk 满跨均布轴力时 hl=05m乎 EA1-1 FEl- Cp(x[ne dx 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4）小结 e e e e F + FE = k u 4-1）单元位移场可用“广义坐标法”建立。 4-2）形函数“本点1，它点0，任意点总和1”。 4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为 − − = 1 1 1 1 l EA k e = l e F p x N x 0 T E ( ) d 满跨均布轴力时 T E F 0.5 pl 1 1 e = 3.2 等直杆单元的单元分析
32等直杆单元的单元分析 1 GJ, Z 322等直杆扭转 81, M1 1-m 2 02M2 结构中拆出的单元如图所示 1)试凑法由性质试凑得到 右手系 设任意点自然坐标为ξ,为满足“本1,它0 可设N1=1-,N2=。=N11+N202 2)势能原理列式 21)外力势能P=(∑F1+m(x)ax) 2-2)应变能 d e de GJ(du 20d 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.2 等直杆扭转 结构中拆出的单元如图所示。 1）试凑法 设任意点自然坐标为 ，为满足“本1，它0” 可设 N1=1- ，N2= 。 = N1 1+ N2 2。 由性质试凑得到 右手系 i x j y 1 ,M1 1 2 2,M2 m GJ，l 2）势能原理列式 2-1）外力势能 ( ( ) d ) 0 f = − + i l i i P F m x x 2-2）应变能 x x GJ x U l )d d d ) ( d d ( 2 1 0 T = 3.2 等直杆单元的单元分析